Файл: Методические указания к выполнению лабораторной работы 5 Исследование устойчивости линейных систем по дисциплине.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 93
Скачиваний: 2
-
Цель работы
имеется один нулевой или пара мнимых корней, а остальные корни имеют отрицательные вещественные части.
Существуют правила, которые позволяют судить о знаках действительных частей корней без решения самого характеристического уравнения системы. Эти правила называют критериями устойчивости.
Критерий устойчивости Гурвица
Согласно критерию Гурвица для устойчивости линейной системы, описываемой характеристическим уравнением
(1)
необходимо и достаточно, чтобы при 
были положительны главный определитель Гурвица
(2)
и все диагональные миноры
,
,
…..
Если главный определитель или один из диагональных миноров равен нулю, то система находится на границе устойчивости.
Критерий устойчивости Михайлова
Частотный критерий Михайлова позволяет определить устойчивость системы по частотному годографу (кривой Михайлова), полученному из ее характеристического многочлена
(3)
путем подстановки 
, (4)
где 
- вещественная часть 
;
- мнимая часть .
Годограф Михайлова есть кривая, которую описывает конец вектора на комплексной 
плоскости при изменении 
от 0 до 
. Годограф начинается при 
на вещественной оси в точке а0 и при 
уходит в бесконечность в соответствующем квадранте.
Если характеристическое уравнение 
имеет m правых и n - m левых корней, то при изменении от 0 до приращение аргумента вектора 
будет равно
.
Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф Михайлова начинался на положительной вещественной полуоси и, нигде не обращаясь в нуль, обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов. Если система находится на границе устойчивости, то годограф Михайлова проходит через начало координат.
Критерий устойчивости Найквиста
Частотный критерий Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы по виду ее амплитудно-фазочастотной характеристики (АФЧХ) в разомкнутом состоянии.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
,
тогда передаточная функция замкнутой системы равна
.
Введем функцию
.
Числитель этой функции представляет собой характеристический полином замкнутой системы, а знаменатель - характеристический полином разомкнутой системы. Степени этих многочленов одинаковы и равны n. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы уравнение A(s) + B(s) не имело корней с положительной действительной частью. Тогда .Таким образом, если система в разомкнутом состоянии устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы суммарный поворот вектора при изменении от 0 до был равен нулю. Полученное условие устойчивости можно распространить на плоскость амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы .Для того, чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ системы в разомкнутом состоянии не охватывала точку (-1,j0) (рис. 1).Рис. 1. АФЧХ устойчивой системыДля исследования устойчивости линейных систем удобно использовать логарифмические амплитудную (ЛАЧХ) и фазовую частотные (ЛФЧХ) характеристики, определяемые по формулам , ,которые строятся в логарифмическом масштабе. По взаимному расположению ЛАЧХ и ЛФЧХ находятся показатели устойчивости - запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе (рис. 2).Рис. 2. К определению запаса устойчивости по амплитуде и по фазе
Здесь - частота пропускания системы, - частота, на которой сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного равен -π радиан.Если запас устойчивости по амплитуде или по фазе равен нулю , то замкнутая система находится на границе устойчивости.3. Исходные данные Вид передаточной функции разомкнутой системы .Варианты заданий исходных данных приведены в таблице.Таблица.
-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
t1,c
T1,c
T2,c
T3,c
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
6
7
8
9
6
7
8
9
5
6
7
8
4
5
6
7
3
4
5
6
2
3
4
5
1
2
3
4