Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего

образования

Национальный исследовательский

Томский политехнический университет


УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора ИК

По учебной работе

_____________С.А. Гайворонский

«___»_________________2014г.


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ
Методические указания к выполнению лабораторной работы № 5
«Исследование устойчивости линейных систем»

по дисциплине

«Математические основы теории систем»

для студентов направления 010400

«Прикладная математика и информатика»

Томск 2014г.

УДК 681.513.2

Математические основы теории систем. Методические указания к выполнению лабораторной работы № 5. «Исследование устойчивости линейных систем» по дисциплине «Математические основы теории системе» для студентов направления 010400 «Прикладная математика и информатика». – Томск: Изд. НИ ТПУ, 2014. – 9 с.
Составитель – доц. канд. техн. наук Ю. В. Бабушкин

Резензент – доц. канд. техн. наук В. Г. Гальченко

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изучению методическим семинаром кафедры прикладной математики «___»_________2014г.

Зав. кафедрой

Доцент, к.т.н. _________________Гергет О.М.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 5
Тема: исследование устойчивости линейных систем

1. 
   Цель работы
   

Исследование устойчивости линейных систем при помощи критериев устойчивости Гурвица, Михайлова и Найквиста.
2. Краткая теория

Устойчивость - это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Для линейных систем определены следующие условия устойчивости:

- линейная система асимптотически устойчива, если все корни характеристического уравнения системы имеют отрицательные вещественные части;

- линейная система неустойчива, если среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один корень с положительной ве­щественной частью;

- линейная система устойчива неасимптотически, если среди корней характеристического уравнения

---

имеется один нулевой или пара мнимых корней, а остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

Существуют правила, которые позволяют судить о знаках действительных частей корней без решения самого характеристического уравне­ния системы. Эти правила называют критериями устойчивости.

Критерий устойчивости Гурвица

Согласно критерию Гурвица для устойчивости линейной системы, описываемой характеристическим уравнением

(1)
необходимо и достаточно, чтобы при были положительны главный определитель Гурвица

(2)

и все диагональные миноры

,

,

…..
Если главный определитель или один из диагональных миноров равен нулю, то система находится на границе устойчивости.

Критерий устойчивости Михайлова

Частотный критерий Михайлова позволяет определить устойчивость системы по частотному годографу (кривой Михайлова), по­лученному из ее характеристического многочлена

(3)

путем подстановки

, (4)

где - вещественная часть ;

- мнимая часть .

Годограф Михайлова есть кривая, которую описывает конец вектора на комплексной

---

плоскости при изменении от 0 до . Годограф начинается при на вещественной оси в точке а₀ и при уходит в бесконечность в соответствующем квадранте.

Если характеристическое уравнение имеет m правых и n - m левых корней, то при изменении от 0 до приращение аргумента вектора будет равно

.

Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф Михайлова начинался на положительной вещественной полуоси и, нигде не обращаясь в нуль, обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов. Если система находится на границе устойчивости, то годограф Ми­хайлова проходит через начало координат.
Критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы по виду ее амплитудно-фазочастотной характеристики (АФЧХ) в разомкнутом состоянии.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

,

тогда передаточная функция замкнутой системы равна

.

Введем функцию

.

---

Числитель этой функции представляет собой характеристический полином замкнутой системы, а знаменатель - характеристический по­лином разомкнутой системы. Степени этих многочленов одинаковы и равны n. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы уравнение A(s) + B(s) не имело корней с положительной действи­тельной частью. Тогда

.

Таким образом, если система в разомкнутом состоянии устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы суммарный поворот вектора при изменении от 0 до был равен нулю. Полученное условие устойчивости можно распространить на плоскость амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы .

Для того, чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ системы в разомкнутом состоянии не охватывала точку (-1,j0) (рис. 1).



Рис. 1. АФЧХ устойчивой системы
Для исследования устойчивости линейных систем удобно использовать логарифмические амплитудную (ЛАЧХ) и фазовую частотные (ЛФЧХ) характе­ристики, определяемые по формулам

,

,

которые строятся в логарифмическом масштабе. По взаимному расположению ЛАЧХ и ЛФЧХ находятся показатели устойчивости - запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе (рис. 2).


Рис. 2. К определению запаса устойчивости по амплитуде и по фазе

---

Здесь - частота пропускания системы, - частота, на которой сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного равен -π радиан.

Если запас устойчивости по амплитуде или по фазе равен нулю , то замкнутая система находится на границе устойчивости.
3. Исходные данные

Вид передаточной функции разомкнутой системы

.

Варианты заданий исходных данных приведены в таблице.
Таблица.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
t1,c T1,c T2,c T3,c	1 2 3 4	2 3 4 5	3 4 5 6	4 5 6 7	5 6 7 8	6 7 8 9	6 7 8 9	5 6 7 8	4 5 6 7	3 4 5 6	2 3 4 5	1 2 3 4

4. Порядок выполнения и содержание работы

4.1. Для заданного варианта аналитически найти условия устойчивости замкнутой системы с единичной обратной отрицательной связью для параметра К_р по критерию Гурвица, Михай­лова и Найквиста. Выбрать величину К_р из области устойчивости самостоятельно.

4.2. Запустить пакет программ MATLAB приложение SIMULINK.

4.3. С помощью графических средств составить схему экспериментальных исследований.

4.4. Задать параметры передаточной функции системы согласно задан­ному варианту для шести значений К_р (K_p, К_р/2, K_p/4, 2*K_p, 5*K_p, 10*K_p) и снять:

- корневые годографы;

---

Смотрите также файлы

• Освобождение от уголовной ответственности.docx

• Ас корыту жуйесі 2 улкен топка белінеді.docx

• Технологической.docx

• Общение Общение это сложный многоплановый процесс установления и развития.docx

• Концепция ответственного самолечения.pdf