Файл: Обработка результатов лабораторного физического эксперимента.pdf

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА АЛЕКСАНДРА I»
(ФГБОУ ВО ПГУПС)
Кафедра «Физика»
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЛАБОРАТОРНОГО
ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Методические указания к лабораторной работе № 100
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2016

2
УДК 530.1
ББК 22.3
О-23
Обработка результатов лабораторного физического эксперимен- та : метод. указания к лабораторной работе № 100 / Сост. Е. С. Громова,
Е. Н. Бодунов. – СПб. : ФГБОУ ВО ПГУПС, 2016. – 33 с.
В методических указаниях рассмотрены методы обработки резуль- татов физических лабораторных измерений, способы вычисления погреш- ностей при многократных и однократных измерениях, правила графиче- ского представления экспериментальных данных. Приведены примеры вывода формул погрешностей при косвенных измерениях. Дано подроб- ное описание лабораторной работы, направленной на ознакомление с нормальным законом распределения и на освоение студентами алгоритма обработки результатов прямых многократных измерений.
Методические указания предназначены для студентов технических вузов, выполняющих лабораторные работы по курсу общей физики.
УДК 530.1
ББК 22.3
© ФГБОУ ВО ПГУПС, 2016
О-23

3
Введение
Основная задача всякого физического эксперимента, в том числе ла- бораторного, состоит в измерении физических величин. Измерить какую- либо физическую величину – значит сравнить ее с другой однородной фи- зической величиной, условно принятой за единицу измерения. В результа- те каждого отдельного измерения (оно называется наблюдением) получают числовое значение измеряемой величины.
Измерения не могут быть абсолютно точными. Никакие измерения не дают возможности получить истинное значение измеряемой величины, что объясняется как принципиально ограниченной точностью приборов, так и природой самих объектов измерения. Всегда имеется некоторая не- определенность в значении измеряемой величины. Эта неопределенность характеризуется погрешностью – отклонением измеренного значения ве- личины от ее истинного значения.
Многократно измеряя любую физическую величину, можно, вообще говоря, получить какие угодно результаты. Например, измеряя длину не- которого тела, получили значения: 171, 172, 169, 173, 170, 169, 171 см, а также 170 мм и 169 дм. Результаты двух последних измерений могут быть и ошибочными, являясь, например, следствием небрежного ведения запи- сей. Однако их наличие подчеркивает то обстоятельство, что принципи- ально и результат измерений, и его погрешность могут быть любыми, сле- довательно, оценивать точность измерения указанием результата и его по- грешности неверно – они могут принимать любые значения.
Вместе с тем из анализа вышеприведенного ряда результатов видно, что большие по величине погрешности (соответствующие, по-видимому, двум последним результатам) маловероятны. Отсюда следует, что для пра- вильной характеристики точности результата необходимо указывать не только величину погрешности, но и соответствующее ей значение вероят-
ности.
Таким образом, при выполнении измерений и обработке их резуль- татов каждый экспериментатор должен иметь в виду следующие обстоя- тельства:
1) всякое измерение должно по возможности быть проверено путем многократного повторения;
2) при измерении может быть получен лишь приближенный результат;
3) степень приближенности результата должна быть задана величи- ной погрешности;
4) степень доверия к найденным границам погрешности выражается значением ее вероятности.
АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

4
Абсолютная погрешность
i
x
∆
i
-го наблюдения какой-либо физиче- ской величины определяется разностью
,
i
i
x
x
x
∆ =
−
(1) где
i
x
– значение физической величины, найденное в
i
-м наблюдении;
x
– истинное значение измеряемой величины, которое принципиально полу- чить невозможно.
На практике вместо истинного значения величины
x
используют его наилучшее приближение.
Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина. Значения абсолютной погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными.
Для характеристики точности измерений недостаточно оперировать только значением абсолютной погрешности. Важно знать, какую долю со- ставляет эта погрешность от значения измеряемой величины. Отношение
i
x
E
x
∆
=
(2) называется относительной погрешностью
i
-го наблюдения какой-либо фи- зической величины и выражается в долях или процентах. Относительная погрешность характеризует качество измерений.
Заметим, что выражения (1) и (2) определяют истинные значения аб- солютной и относительной ошибок, которые не могут быть определены так же, как истинное значение самой измеряемой величины.
ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
При обработке результатов измерений любой физической величины возникают две задачи. Первая состоит в нахождении по набору данных наилучшей оценки измеряемой величины наил
x
, которую с наибольшим основанием можно принять за приближенное значение величины
x
. Вто- рая – в определении точности полученного результата.
Результат измерения физической величины представляют в виде наил
,
х
х
х
=
± ∆
P
=
Приведенная запись означает, что существует определенная степень уверенности в том, что значение измеряемой величины находится в преде- лах рассчитанного по результатам наблюдений интервала
наил
(
;
x
x
− ∆
наил
)
x
x
+ ∆
, называемого доверительным. Величина
x
∆
называется дове-
рительной погрешностью.

5
Указание значения доверительной вероятности
P
0 1
(
)
P
<
<
озна- чает, что при проведении большого числа наблюдений в
100
(
) %
P
⋅
случа- ев результаты наблюдений измеряемой физической величины, выполнен- ных с одинаковой тщательностью и одними и теми же измерительными приборами, попадут внутрь доверительного интервала.
Значения доверительной погрешности и доверительной вероятности однозначно связаны друг с другом, а именно: чем большим выбирается значение доверительной вероятности, тем больший доверительный интер- вал ей соответствует, и наоборот.
ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ
По характеру, происхождению, а также по способам оценки и ис- ключения влияния на результат измерений погрешности делят на три ос- новные группы: случайные, систематические и грубые (промахи).
Систематической называется погрешность, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся во времени при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности связаны с огра- ниченной точностью прибора и метода измерений, а также с округлением при считывании значения со шкалы. Когда причины, вызывающие эти по- грешности, известны, их можно исключить, уточняя метод измерения и вводя поправки к показаниям приборов.
Грубые погрешности (промахи) обычно связаны с отсутствием дос- таточной квалификации экспериментатора, неправильным отсчетом по прибору, неправильной записью результата наблюдения, невнимательно- стью и т. п. Обычно грубые погрешности хорошо заметны, так как при многократно проделанных измерениях соответствующие промахам резуль- таты резко отличаются от остальных. Такие погрешности могут возникать в результате неустойчивой работы установки или отдельного прибора. Они могут быть устранены путем повторных измерений или снятием показаний другим экспериментатором.
Случайные погрешности обусловливаются большим количеством труд- но учитываемых факторов, влияющих как на измерительные устройства, исследуемый физический объект или процесс, так и на самого эксперимен- татора. Такими факторами могут быть, например, колебания температуры элементов установки, напряженностей электрического и магнитного полей, движение воздуха, вибрация зданий и приборов, трение в движущихся эле- ментах, погрешности при отсчете делений шкалы и т. п. Исключить случай- ные погрешности отдельных измерений невозможно, но величину таких по- грешностей можно оценить, проводя повторные (многократные) измерения.
Величина случайных погрешностей оценивается с помощью аппарата мате- матической статистики и теории вероятностей.

6
ПРЯМЫЕ И КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
По способу получения результата измерения делятся на прямые и косвенные. Если значение физической величины находят непосредствен- ным отсчетом по шкале прибора, то такие измерения называются прямыми
(измерения давления барометром, температуры – термометром, времени – секундомером, длины – штангенциркулем или линейкой, силы тока – ам- перметром и т. п.). Эти измерения могут быть однократными и многократ- ными. Многократное измерение – повторение экспериментельной опера- ции, в результате которой получается одно из значений измеряемой вели- чины
i
x
, называемых результатами наблюдений. Совокупность результа- тов наблюдений подлежит совместной обработке для получения результа- та измерения.
Часто прямое измерение физической величины оказывается невоз- можным или слишком трудоемким. При косвенных измерениях результат определяется по формулам на основе результатов прямых измерений дру- гих величин (например, определение электрического cопротивления об- разца по измеренным силе тока и напряжению). Одну и ту же величину часто можно найти путем как прямых, так и косвенных измерений. Напри- мер, скорость автомобиля может быть определена по спидометру (прямое измерение) или найдена делением пройденного пути на время движения
(косвенное измерение).
При косвенных измерениях погрешность искомой физической вели- чины накапливается из погрешностей прямых измерений величин, входя- щих в расчетную формулу.
ПОГРЕШНОСТИ МНОГОКРАТНЫХ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
(случайные погрешности)
Пусть при измерении физической величины
X
получены
n
результа- тов наблюдений
1 2
,
, ...,
n
х х
х
, причем все измерения выполнены одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности. Этот ряд значений величины называется выборкой. Предположим, что на результат измерений оказывают действие только случайные (неконтролируемые) факторы, а промахи и систематические ошибки отсутствуют.
Задача экспериментатора состоит в том, чтобы найти наилучшую оценку и доверительную погрешность результата измерений для заданного значения доверительной вероятности. Указанная задача строго решается с помощью теории вероятностей и математической статистики.
В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются установ- ленному Гауссом нормальному закону распределения, который выражает- ся формулой

7
(
)








σ
−
−
π
σ
=
2 2
0 2
exp
)
(
2 1
x
x
x
f
, (3) где
x
– числовое значение определяемой величины
X
;
σ
и
0
x
– параметры распределения
;
)
(x
f
– плотность вероятности
(
вероятность того
, что зна
- чение принадлежит некоторому единичному интервалу значений
), так что функция
dP
dx
x
f
=
)
(
определяет вероятность попадания значения
x
в ин
- тервал от
x
до
dx
x
+
Параметр
0
x
, соответствующий максимуму плотности вероятности
)
(x
f
, называется
математическим ожиданием
случайной величины
X
Параметр
σ
называется
среднеквадратичным отклонением
величины
X
от ее математического ожидания
0
x
и характеризует меру ее разброса отно
- сительно
0
x
Очевидно
, что
,
)
(
1
∫
=
+∞
∞
−
dx
x
f
так как вероятность того
, что случайная величина
X
вообще имеет какое
- то значение
, равна единице
Поскольку максимальное значение плотность вероятности
)
(x
f
при
- нимает при
0
x
x
=
, то величину
0
x
часто считают приблизительно равной истинному значению измеряемой величины
На рис
. 1 представлен график этой функции
Из теории вероятностей следует
, что наилучшей оценкой истинного значения
0
x
измеряемой случайной величины
X
является среднее арифме
- тическое
(
выборочное среднее
) значение
0 1
1
n
i
i
x
x
x
n
=
≈
=
∑
. (4)
Заметим также
, что с
увеличением значения
σ
увеличивается раз
- брос отсчетов
, т
е точность измерений понижается
В
условиях реального эксперимента точное значение
σ
неизвестно
По многократным измерени
- ям
n
x
x
x
...,
,
,
2 1
можно получить приближенную оценку этого параметра в
виде
среднеквадратичной погрешности
)
(x
S
отдельного результата
на
- блюдения
(
)
2 1
1 1
( )
,
n
i
i
S x
x
x
n
=
=
−
−
∑
(5)

8 которая учитывает ошибку ченном увеличении числа среднеквадратичной ошибке
Рис. 1. Нормальное
(1
Если провести несколько чить несколько выборок и получим выборку для новой пределена нормально с
математическим
)
(x
σ
меньше
, чем
)
(x
σ
Это означает
, что выборочное меньший разброс
, чем единичное использовать выборочное среднее т ошибку каждого отдельного измерения и при увеличении числа наблюдений
(
∞
→
n
) стремится среднеквадратичной ошибке
σ
1. Нормальное (гауссово) распределение
1
–
σ = 1/4, 2 – σ = 1/2, 3 – σ = 1) провести несколько серий многократных измерений несколько выборок и
для каждой вычислить выборочное выборку для новой случайной величины
x
, которая нормально с
математическим ожиданием
0
x
Однако
:
( )
( )
x
x
n
σ
σ
=
означает что выборочное среднее
x
имеет приблизительно разброс чем единичное измерение
x
Поэтому для оценки выборочное среднее
x
и
среднеквадратичную
измерения и
при неограни
- стремится к
истинной многократных измерений
, т
е полу
- выборочное среднее
, то которая также рас
-
Однако параметр имеет приблизительно в
n
Поэтому для оценки
0
x
лучше
квадратичную погрешность

9
)
(x
S
среднего арифметического результата
измерения
, которая вычис
- ляется по формуле
(
)
(
)
2 1
1 1
( )
( )
n
i
i
S x
S x
x
x
n n
n
=
=
=
−
−
∑
. (6)
В
выражениях
(5) и
(6) обозначение среднеквадратичной ошибки
σ
заменено на обозначение
S
, чтобы подчеркнуть
, что величины
( )
S x
и
( )
S x
вычисляются на основе ограниченного числа наблюдений
, т
е являются эмпирическими оценками теоретических параметров
)
(x
σ
и
)
(x
σ
, т
е
( )
( )
x
S x
σ
≈
,
( )
( )
x
S x
σ
≈
При проведении реальных технических измерений число наблюде
- ний
, как правило
, невелико
– в
пределах от
2 до
20.
В
такой ситуации рас
- смотренный метод приводит к
существенному искажению результатов
В
теории погрешностей при малом числе измерений применяют специаль
- ный метод вычисления доверительного интервала
, основанный на распре
- делении
Стьюдента
В
1908 г
английский математик
Уильям
Госсет
(
псев
- доним
Стьюдент
) доказал
, что указанными соотношениями можно пользо
- ваться и
при небольшом числе наблюдений
(
2
n
≥
), если на конечной ста
- дии ввести в
расчет специальный коэффициент
, величина которого зависит от числа наблюдений
n
и требуемого значения доверительной вероятности
P
, – так называемый коэффициент
Стьюдента
P
n
t
,
(
табл
. 1).
Таблица 1
Коэффициенты Стьюдента t
n
,P
n
P
0,68 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 2
2,0 3,1 6,3 12,7 31,8 63,7 3
1,3 1,9 2,9 4,3 7,0 9,9 4
1,3 1,6 2,4 3,2 4,5 5,8 5
1,2 1,5 2,1 2,8 3,7 4,6 6
1,2 1,5 2,0 2,6 3.4 4,3 7
1,1 1,4 1,9 2,4 3,1 4,0 8
1,1 1,4 1,9 2,4 3,0 3,7 9
1,1 1,4 1,9 2,3 2,9 3,4 10 1,1 1,4 1,83 2,26 2,8 3,35 60 1,0 1,3 1,7 2,0 2,4 2,7
∞
1,0 1,3 1,64 1,96 2.3 2,58

10
Рекомендуется следующий алгоритм проведения и обработки ре-
зультатов прямых многократных измерений:
1. Прямыми измерениями получить ряд значений
1 2
,
, ...,
n
х х
х
изме- ряемой величины.
2. Вычислить среднее арифметическое значение результата измерений:
1 1
n
i
i
х
х
n
=
=
∑
3. Вычислить отклонения отдельных результатов наблюдений от сред- него:
i
i
х
х
х
∆ =
−
4. Вычислить значения
(
)
2
i
х
∆
и сумму
(
)
2 1
n
i
i
х
=
∆
∑
5. Для данного значения числа измерений
n
и выбранной довери- тельной вероятности
P
найти по таблице коэффициент Стьюдента
P
n
t
,
и вычислить случайную погрешность:
(
)
(
)
2
сл
,
,
1 1
1
( )
n
n P
n P
i
i
х
t
S x
t
х
n n
=
∆
=
⋅
=
∆
−
∑
. (7)
6. Округлив погрешность и предварительный результат, записать окон- чательный результат измерений в виде сл
,
х
х
х
=
± ∆
P
=