Файл: Обработка результатов лабораторного физического эксперимента.pdf

24
Если приборная погрешность значительно больше случайной, то при многократных измерениях практически получается один и тот же резуль- тат. Этот недостаток присущ в основном стрелочным приборам, подвиж- ная часть которых, связанная со стрелкой, бывает настолько инерционной, что либо не реагирует на малые случайные отклонения, либо эти отклоне- ния настолько малы, что их практически невозможно регистрировать. Та- кой прибор принято называть грубым. Точный прибор характеризуется меньшей систематической (приборной) погрешностью по сравнению со случайной, и поэтому на распределении полученных с его помощью ре- зультатов измерений сказывается случайный разброс. Точными приборами являются цифровые вольтметры, электронные секундомеры и весы, изме- рители сопротивлений, емкостей и индуктивностей и т. д. Полученные с их помощью
n
значений одной и той же измеряемой физической величины при неизменных контролируемых условиях следует обрабатывать как ре- зультаты прямых многократных измерений.
Если измерения выполняют с помощью грубого и точного приборов, то необходимо исключить просчеты (промахи), связанные с отсутствием навыков измерения. Особое значение это имеет для уменьшения различия в показаниях механического и электронного секундомеров, обусловленного реакцией исследователя и проявляющегося в недновременности как вклю- чения, так и выключения счетного устройства. После нескольких измере- ний промежутков времени (длительностью, например, 60 секунд) с помо- щью электронного секундомера удается их фиксировать с погрешностью в несколько сотых секунды. Просчетов на механическом секундомере в силу его большей приборной погрешности избежать значительно легче.
Перед проведением статистического анализа целесообразно прове- рить, не изменяются ли измеренные значения регулярным образом со вре- менем. Такое изменение называется дрейфом. Для выяснения этого вопро- са необходимо построить график зависимости результатов наблюдений от времени. Часто время заменяют последовательностью порядковых номе- ров
i
отдельных наблюдений, которые наносят на горизонтальную ось. По вертикальной оси наносят значения измеряемой величины (рис. 2).
На рис. 2, а дрейф отсутствует, на рис.2. б результаты систематиче- ски увеличиваются с течением времени (с увеличением порядкового номе- ра наблюдения
i
).
При наличии дрейфа следует установить, связан ли он с неисправно- стью прибора (в этом случае устранить ее или заменить прибор) или с за- кономерным изменением определяемой величины (здесь необходимо специ- альное исследование). При отсутствии дрейфа нужно построить эксперимен- тальную гистограмму, показывающую, как часто получаются те или иные значения
i
x
. Если
n
∆
– число измерений, попадающих в любой из одина- ковых интервалов (ячеек гистограммы), на которые разбивается весь диа-

пазон значений определяемой кой вероятности того, что вая, наилучшим образом описывающая вероятности, называется ного распределения в качестве нение
( )
S x
отдельного измерения оценки зависит от числа измерений
50 измерениях относительная
22 %, поэтому достаточно можно, не прибегая к формуле ния: величина параметра
максимального значения
а) б)
Рис. 2. Зависимость от порядкового
а – дрейф отсутствует точки – экспериментальные определяемой величины, то величина
n n
∆
вероятности того, что величина
x
находится в пределах ячейки наилучшим образом описывающая экспериментальное распределение называется кривой закона распределения. В случае распределения в качестве оценки
σ
берут среднеквадратично отдельного измерения (5). Относительная погрешность зависит от числа измерений и при небольшом
n
она относительная погрешность составляет приблизительно достаточно сделать 40–50 измерений. Оценить прибегая к формуле (5), а используя кривую закона
параметра
σ
равна полуширине кривой на уровне
я.
Зависимость значений результатов измерения от порядкового номера отсчета (от времени): дрейф отсутствует; б – дрейф наблюдается; экспериментальные значения, прямые – аппроксимация
25
n n
является оцен- в пределах ячейки. Кри- экспериментальное распределение
В случае нормаль- квадратичное откло-
Относительная погрешность такой она велика. При составляет приблизительно измерений Оценить величину
σ
кривую закона распределе-
кривой на уровне 0,6 от ее
измерения аппроксимация точек

26

2. Пример построения гистограммы экспериментальных значе-
ний определяемой величины x и оценки параметров σ и x
0
из кривой
закона распределения
Пусть проведено 50 отсчетов величины напряжения, из которых min
19, 77 B
x
=
, а
max
20, 33 B
x
=
Эти значения укладываются в
диапазоне напряжений max min
20, 33 B 19, 77 B
0, 56 B
x
x
−
=
−
=
Если принять
, что в
одну ячейку гистограммы попадает не менее четырех значений
, то при об
- щем числе наблюдений
50 весь диапазон величины
x
можно разбить не бо
- лее чем на
50/4
≈
12 одинаковых интервалов или ячеек гистограммы
Учтем неравномерность распределения результатов наблюдений по всему диапазону
Это уменьшает число ячеек примерно в
1,5–2 раза
Возьмем
6 ячеек
Длина ячеек будет равна примерно
0,56 6 0,093 B
≈
Поскольку из
- меренные значения
x
содержат сотые доли
, длина ячейки должна быть равной
0,09 или
0,10
В
Выбрав значение
0,09
В
, мы уменьшим общую длину всех ячеек и
потеряем часть измерений при построении гистограм
- мы
(
0,09 6 0,54 B
× =
вместо
0,56 B
).
Поэтому следует несколько расши
- рить диапазон значений
x
так
, чтобы он включал в
себя разность max min
x
x
−
В
данном конкретном случае в
качестве минимального целесообразно взять значение
19,75 B
, а
в качестве максимального
– 20,35
В
, размер ячейки
–
0,10 В
Обозначение ячеек
, полученных при таком разбиении
, приведены во второй колонке табл
. 5.
Таблица 5
Разбиение массива данных по ячейкам
№ п/п
Ячейки гистограммы ∆x, В
Число наблюдений в ячейке, ∆n
∆n/n
1 19,75–19,85 2
0,04 2
19,85–19,95 6
0,12 3
19,95–20,05 17 0,34 4
20,05–20,15 18 0,36 5
20,15–20,25 6
0,12 6
20,25–20,35 1
0,02
Распределим полученные значения величины
x
по ячейкам и числа результатов, отнесенных к соответствующим интервалам, запишем в тре- тью колонку табл. 5. Поделив эти числа на общее число наблюдений
50
, получим значения
n n
∆
, которые занесем в четвертую колонку.
Гистограмму и кривую закона распределения
n n
∆
следует нанести на миллиметровую бумагу, как это показано на рис. 3. По оси абсцисс принято откладывать измеряемую величину
x
, по оси ординат – числа из-

27 мерений и величину
n n
∆
. Масштаб удобно выбрать таким, чтобы едини- це измеряемой величины (или 10; 100 единицам; 0,1 единицы и т. д.) соот- ветствовал 1 см на миллиметровой бумаге. Удобным является также мас- штаб, при котором 1 см соответствует 2 или 5 единицам.
Рис. 3. Гистограмма экспериментальных значений (1) и кривая закона распределения ∆n/n (2)
Напомним, что пересечение координатных осей не должно обяза- тельно совпадать с нулевыми значениями аргумента и функции (необхо- димо полностью использовать все поле чертежа).
При построении кривой закона распределения
n n
∆
через точки на ступеньках гистограммы (эти точки соответствуют середине интервалов
x
∆
) следует наилучшим образом провести колоколообразную кривую. Поскольку значения функции в указанных точках имеют погрешности, совсем не обя- зательно, что все экспериментальные точки должны лежать на кривой.
Из рис.
3 видно, что на уровне 0,6 от максимального значения
n n
∆
ширина кривой закона распределения
2 0, 22 B
σ =
, откуда следует
, что
0,11 B
σ =
, а
значение
x
, соответствующее максимальному значению ор
- динаты
, приближенно равно
20, 06 B .

28
Описание установки
В
данной работе требуется провести многократные измерения ин
- тервала времени с
помощью механического
(
грубый прибор
) и
электрон
- ного секундомеров
(
более точный прибор
).
Порядок выполнения работы
1.
Прежде чем приступить к
выполнению работы
, необходимо озна
- комиться с
правилами пользования электронным секундомером
Соответ
- ствующая инструкция выдается лаборантом
2.
Получить у
лаборанта механический секундомер
Интервал вре
- мени задается преподавателем
3.
С
разрешения преподавателя включить тумблер электронного се
- кундомера
«
Сеть
» и
дать прибору прогреться в
течение
3–5 минут
4.
Измерить промежуток времени несколько раз механическим и
электронным секундомерами
, чтобы освоить технику измерений и
исклю
- чить промахи
, связанные с
отсутствием опыта измерений
(
тренировочные измерения
).
5.
Выполнить многократные измерения заданного интервала времени электронным секундомером при условии одновременного запуска и
оста
- новки электронного и
механического секундомеров
50–100 раз
(
по зада
- нию преподавателя
).
Результаты опыта занести в
табл
. 6.
Таблица 6
Результаты опыта
№ п/п
Результаты отдельных измерений t
i
, с
Случайные отклонения от выборочного среднего t
i
– t, с
(
)
2 2
, c
i
t
t
−
1 2
3
…
n
1 1
n
i
i
t
t
n
=
=
=
∑
(
)
1 0
n
i
i
t
t
=
−
=
∑
(
)
2 1
n
i
i
t
t
=
−
=
∑
Обработка результатов измерений
Задание 1.
Исследование дрейфа.
Проанализировать изменение со временем значений измеряемой ве- личины, для чего по данным табл. 6 построить график зависимости резуль- татов наблюдений от порядкового номера наблюдения (рис. 2). В случае отсутствия дрейфа перейти к выполнению задания 2.
Задание 2.
Статистический анализ выборки.
2.1. Определить выборочное среднее по формуле

29 1
1
n
i
i
t
t
n
=
=
∑
2.2. Определить отклонения отдельных результатов наблюдений от среднего:
i
i
t
t
t
∆ = −
Записать в табл. 6 и проверить выполнение равенства
1 0
n
i
i
t
=
∆ =
∑
2.3. Вычислить значения
(
)
2
i
t
∆
и сумму
(
)
2 1
n
i
i
t
=
∆
∑
, занести в табл. 6.
2.4. Рассчитать среднеквадратичную погрешность
( )
S t
отдельного
результата наблюдения:
(
)
2 1
1 1
( )
n
i
i
S t
t
t
n
=
=
−
−
∑
2.5.
Определить
среднеквадратичную погрешность
( )
S t
среднего
арифметического результата
измерений по формуле
( )
( )
S t
S t
n
=
2.6.
Для заданных значений числа измерений
n
и доверительной ве
- роятности
0, 90
P
=
найти по таблице коэффициент
Стьюдента
,
n P
t
и вы
- числить случайную погрешность
:
(
)
(
)
2
,
1 1
1
n
сл
n P
i
i
t
t
t
n n
=
∆
=
∆
−
∑
2.7.
Оценить приборную погрешность электронного секундомера по формуле
(9).
Проверить
, что она меньше случайной более чем в
два раза
В
согласии с
формулой
(10) доверительную погрешность результата изме
- рений приравнять к
случайной
: сл
t
t
∆ = ∆
2.8.
Округлив погрешность и
предварительный результат
, записать окончательный результат измерений в
виде
t
t
t
=
± ∆
;
0, 90
P
=
;
t
t
E
∆
=

30
Задание 3.
Оценка параметров закона распределения вероятностей с помощью гистограммы.
3.1. По результатам наблюдений составить таблицу, необходимую для построения гистограммы и кривой, описывающей закон распределения
(см. табл. 5).
3.2. Построить гистограмму, кривую закона распределения и оценить по этой кривой значение величины среднеквадратичного отклонения
σ
3.3. Сравнить величину
( )
S t
со значением
σ
, полученным по гисто- грамме и кривой закона распределения.
3.4. Записать выводы: а) об отсутствии или наличии дрейфа; б) о том, насколько экспериметально полученное значение длитель- ности промежутка времени соответствует заданному; в) о том, насколько полученная выборка соответствует гауссову за- кону распределения.
Контрольные вопросы
1. Какие измерения называются прямыми, косвенными, невоспроиз- водимыми косвенными?
2. Как рассчитывается доверительная погрешность при прямых мно- гократных измерениях?
3. Почему при записи окончательного результата необходимо указы- вать доверительную вероятность?
4. Доверительная вероятность результата
0, 68
P
=
. Что это означает
?
5.
Какие погрешности называются систематическими
, случайными
, приборными
?
6.
Какая кривая называется гистограммой
, законом распределения
?
Библиографический список
1. Зайдель А. Н. Ошибки измерений физических величин : учеб. пособие /
А. Н. Зайдель. – СПб. : Лань, 2005. – 112 с.
2. Деденко Л. Г. Математическая обработка и оформление результатов экспе- римента / Л. Г. Деденко, В. В. Керженцев. – М. : МГУ, 1977.
3. Измерения физических величин и обработка результатов измерений : ме- тод. указания к лабораторной работе № 100. – СПб., 2000. – 30 с.
4. Руководство к лабораторным занятиям по физике / Под ред. Л. Л. Гольдина. –
М. : Наука, 1973.