Файл: Обработка результатов лабораторного физического эксперимента.pdf

11
Под 2-м столбцом таблицы приведено среднее значение диаметра вала
Д
(предварительный результат), а под 4-м столбцом – значение сум- мы
(
)
2
Д
i
∆
∑
. Такое оформление результата измерений компактно и удоб- но для дальнейшей обработки.
Из данных табл. 2 вычисляем среднеквадратичную погрешность сред- него арифметического результата измерения:
( )
(
)
4 2
1 550 10 0, 043 мм
1 6 5
Д
Д
(
)
i
S
n n
−
⋅
⋅
=
∆
=
=
−
∑
По данным табл. 1 определяем коэффициент Стьюдента
0
,
2 90
,
0
;
6
=
t
Тогда случайная погрешность сл
6;0,90 2, 0 0, 043 0, 086 0, 09 мм
Д
(Д)
t
S
⋅
=
≈
∆
=
⋅
=
и окончательный результат
(3, 615 0, 009) 10
Д
±
⋅
=
мм,
90
,
0
=
P
ОКРУГЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ И ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ
ИЗМЕРЕНИЙ. ЗАПИСЬ ОКОНЧАТЕЛЬНОГО РЕЗУЛЬТАТА
Поскольку значения физических величин, полученные в результате измерений, имеют погрешности, они выражаются не точными, а прибли- женными числами. Незначащими цифрами приближенного числа называ- ются нули, стоящие слева от первой отличной от нуля цифры в десятичных дробях, и нули, поставленные в конце числа вместо цифр, отброшенных при округлении. Остальные цифры называются значащими. Например, в числе 0,00123 значащими являются цифры 1, 2, 3; в числе 508 000, полу- ченном округлением числа 507 893, последние три нуля – незначащие. В кон- це числа могут быть и значащие нули. В качестве примера можно привести выражение 5 км = 5000 м. Здесь нули не заменяют отброшенные при округ- лении цифры, а выражают точное соотношение между единицами длины.
Для того чтобы числа не содержали незначащих нулей слева, их принято записывать в так называемой
рационализированной форме, кото- рую можно символически представить в виде выражения
10
, ...
c
а b
⋅
, где
, ...
a b
– цифры, причем
0
≠
a
;
c
– показатель степени.
При такой записи числа рассмотренных примеров имеют вид 0,00123 =
= 1,23·10
–2
; 508 000 = 5,08 · 10 5
. Значащие цифры при такой записи не от- брасываются: 5 км = 5,000 · 10 3
м.

12
При промежуточных расчетах и окончательной записи следует со- блюдать следующие правила.
1. Все предварительные расчеты результатов измерений следует про- изводить не менее чем до трех и не более чем до четырех значащих цифр.
2. Значение доверительной погрешности достаточно предварительно рассчитать с точностью до двух значащих цифр, а для окончательной за-
писи округлить до одной значащей цифры. Данное правило объясняется тем, что при небольшом числе наблюдений (как правило, в учебной лабо- ратории их не более 5–7) значение погрешности определяется весьма при- ближенно и нет особого смысла сохранять в записи большее число знача- щих цифр.
3. Разряды последнихприводимых в окончательной записи значащих
цифр результата и его погрешности должны совпадать.
Таблица 3
Примеры применения правил округления
№ п/п
Значение измеренной величины
Доверительная погрешность
Правильная запись окончательного результата
1
H
= 4,062 м
ΔH = 0,0239 м
H
= (4,06 ± 0,02) м, P = 0,90 2
R
= 3,92 · 10 6
Ом
ΔR = 0,18 · 10 6
Ом
R
= (3,9 ± 0,2) · 10
–6
Ом, P = 0,90 3
q
= –3,21 · 10
–19
Кл Δq = 2,67 · 10
–20
Кл
q
= (–3,2 ± 0,3) · 10
–19
Кл, P = 0,90 4
α = 1,07 · 10
–4
K
–1
Δα = 10
–6
K
–1
α = (1,07 ± 0,01) · 10
–4
K
–1
, P = 0,90
ПОГРЕШНОСТИ ОДНОКРАТНЫХ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
(приборные погрешности)
Однократное измерение величины
X
дает единственный результат, который и принимается за результат измерения. Иногда однократность яв- ляется вынужденной (если, например, измерения уникальны и дорого- стоящи). Однократными измерениями ограничиваются и тогда, когда при повторных наблюдениях получаются одинаковые по значению результаты и их дальнейшее повторение лишено смысла. Однако это не означает, что единственное значение, полученное при измерении, является точным. Аб- солютно точных приборов не существует, результаты любых измерений будут содержать ошибки, вносимые самими приборами. В большинстве случаев выбор между однократными и многократными измерениями дела- ет экспериментатор, анализируя как качество средств измерения, так и особенности самой измеряемой величины.

13
Погрешность результата прямого однократного измерения зависит от того, каким прибором или инструментом оно выполняется. У многих приборов, в основном электроизмерительных, на лицевой панели указыва- ется так называемый класс точности. Класс точности
K
представляет со- бой отношение предельно допустимой (предельной) погрешности прибора
δ
к верхнему пределу измерения max
x
прибора, выраженное в процентах:
%
100
max
⋅
δ
=
x
K
, откуда можно вычислить предельно допустимую погрешность по формуле max
2 10
x
K
⋅
⋅
=
δ
−
. (8)
Пример Б.
Верхний предел измерения вольтметра max
150 В
U
=
, класс точности
5
,
0
=
K
Тогда предельно допустимая погрешность пред
(
)
U
δ = ∆
данного прибора
2
пред
10 0, 5 150 0, 75 B
0,8 B
U
−
⋅
=
≈
∆
=
⋅
Это значение погрешности неизменно при любом показании прибо
- ра
Доверительная вероятность погрешностей
, определяемых по формуле
(8), полагается равной единице
(
)
1
P
=
На электрических сопротивлениях и
емкостях предельные погреш
- ности обычно указывают в
процентах по отношению к
их номиналу
На
- пример
, запись на сопротивлении
1 кОм 10 %
R
±
=
означает, что предельная погрешность данного сопротивления составляет пред
0,1 1 0,1 кОм
R
⋅ =
∆
=
Цифровые измерительные приборы имеют, как правило, предельную погрешность, равную единице последнего разряда при индикации результата.
В табл. 4 указаны предельные погрешности
δ
приборов и инструмен- тов, наиболее часто используемых в лабораторном физическом практикуме.
Погрешности, указанные в табл. 4, включают в себя неточности из- готовления приборов, погрешности в нанесении их шкал, а также погреш- ности счета показаний (округление отсчетов), которые поэтому отдельно не рассматриваются. Еще раз отметим, что погрешности, приведенные в этой таблице, являются предельными, т. е. отвечают вероятности
P
= 1.
При
P
< 1 доверительная приборная погрешность рассчитывается по формуле

14 приб
1 3
,
x
k
∆
=
⋅ δ
(9) где
P
t
k
,
∞
=
(при
0, 90
P
=
,
1, 64
P
t
∞
=
), а значение предельной погрешности
δ
определяется либо по классу точности по формуле (8), либо берется рав- ным цене деления или половине цены деления прибора (см. табл. 4).
Таблица 4
Предельные погрешности лабораторных приборов и инструментов
Прибор или инструмент
Цена деления прибора
Предельная погрешность δ
(Р = 1)
Измерительная линейка
1 мм/дел
1 мм
1 см/дел
0,5 см
Штангенциркуль
0,1 мм/дел
0,1 мм
0,05 мм/дел
0,05 мм
Микрометр
0,01 мм/дел
0,01 мм
Весы технические до 2 кг
1 г
Весы аналитические до 0,2 кг
0,1 мг/дел
0,1 мг
Секундомер электронный
0,001 с/дел
0,001 с
Часы с секундной стрелкой
1 с/дел
1 с
Прибор с указанным классом точности K
C
10
–2
· K · x
max
Электроизмерительный прибор без класса точности
C
C
· 1 дел.
Магазины и мосты без класса точности K и без паспортных данных
C
±5 % от измеренной величины
Табличная величина
±0,5 единицы последнего приведенного в ее записи разряда
Обобщая правила вычисления погрешностей при прямых измерени- ях, необходимо иметь в виду следующее. В случае приблизительного ра- венства погрешностей сл
x
∆
и приб
x
∆
результирующую погрешность ре- зультата измерений вычисляют по формуле
(
)
(
)
2 2
2 2
сл приб
,
3
( )
n P
x
x
x
t
S x
k
δ




∆ =
∆
+ ∆
=
⋅
+ 





. (10)
Если вычисленная по формуле (7) случайная погрешность сл
x
∆
ока- жется по крайней мере в два раза меньше приборной приб
x
∆
, то случайной

15 погрешностью можно пренебречь, и тогда приб
x
x
∆ = ∆
. И наоборот, когда случайная погрешность по крайней мере в два раза больше, чем приборная, то пренебрегают последней и сл
x
x
∆ = ∆
. Отметим, что случайную погреш- ность можно сделать очень малой величиной (например, за счет увеличе- ния числа измерений), однако измерения не могут быть точнее, чем это допускает прибор.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ
В большинстве экспериментов интересующая нас величина непо- средственно не измеряется. Вместо этого измеряются другие величины
(аргументы)
,
,
,
z
y
x
и т. д., а затем искомая величина
A
вычисляется на основе заданной функциональной зависимости
( , , , ...).
A
A x y z
=
(11)
Если для каждого аргумента в выражении (11) экспериментально найде- ны средние значения
, , , ...
x y z
и вычислены погрешности
,
,
, ...
x
y
z
∆ ∆ ∆
, то за наилучшее приближение для величины
A
принимается значение
( , , , ...),
A
A x y z
=
получающееся при подстановке в выражение (11) вместо истинных значе- ний аргументов их средних экспериментальных значений.
Доверительная погрешность
A
∆
косвенных измерений величины
A
определяется погрешностями
,
,
, ...
x
y
z
∆ ∆ ∆
прямых измерений (однократных или многократных) всех аргументов
, , , ...
x y z
, входящих в формулу (11).
Полное приращение
A
∆
функции
( , , , ...)
A x y z
, обусловленное из- менением ее аргументов на малые величины
,
,
, ...
x
y
z
∆ ∆ ∆
, может быть, как известно из курса высшей математики, c достаточной точностью вы- числено по формуле
A
A
A
A
x
y
z
x
y
z
∂
∂
∂
∆ =
∆ +
∆ +
∆ +
∂
∂
∂
, (12) где
A
x
∂
∂
,
A
y
∂
∂
,
A
z
∂
∂
– частные производные функции
A
по ее соответствую- щим аргументам.
Напомним, что при вычислении частной производной все аргументы функции
( , , , ...),
A
A x y z
=
кроме того, по которому производится диффе- ренцирование, считаются постоянными.

16
Рассматривая в выражении (12) величины
,
,
, ...
x
y
z
∆ ∆ ∆
как погреш- ности прямых (однократных или многократных) измерений аргументов, можем считать каждое из слагаемых правой части этой формулы вкладом в общую погрешность измерений функции
A
. Полагая эти вклады независи- мыми, по доказанному в математической статистике закону сложения по- грешностей получаем общую формулу для вычисления погрешности
A
∆
при косвенных измерениях
2 2
2
A
A
A
A
x
y
z
x
y
z


∂
∂
∂




∆ =
∆
+
∆
+
∆
+






∂
∂
∂






(13)
Таким образом, для того чтобы определить абсолютную погреш- ность результата косвенного измерения, следует найти частные производ- ные функции
A
по всем аргументам, подставить в них найденные на пре- дыдущем этапе измерений средние значения аргументов
, , , ...
x y z
и про- извести расчет по формуле (13).
При расчете погрешностей по формуле (13) допустимо пренебрегать теми слагаемыми подкоренного выражения, которые по крайней мере в 2–
3 раза меньше максимального (коэффициент 3 применяется в тех случаях, когда слагаемых много и малые погрешности могут внести заметный вклад в общую погрешность). Это соображение существенно упрощает расчет погрешности, а также позволяет четко выявить тот аргумент, погрешность которого имеет определяющее значение. Данный подход удобен при обсу- ждении результатов и важен для поиска путей повышения их точности.
Если искомая функция
( , , , ...)
A
A x y z
=
удобна для логарифмирова- ния (состоит из множителей и делителей в разных степенях), учитывают, что полное приращение функции
(ln )
A
∆
может быть с достаточной точ- ностью рассчитано по формуле ln ln ln
(ln )
A
A
A
A
A
x
y
z
A
x
y
z
∆
∂
∂
∂
∆
=
=
∆ +
∆ +
∆ +
∂
∂
∂
, (14) и вместо выражения (13) получают следующее соотношение:
2 2
2
ln ln ln
A
A
A
A
x
y
z
A
x
y
z


∆
∂
∂
∂




=
∆
+
∆
+
∆
+






∂
∂
∂






(15)
Заметим, что правая часть выражения (15) дает значение относи- тельной погрешности
( )
A
E A
A
∆
=
. Практика расчетов погрешностей ре- зультатов косвенных измерений свидетельствует о том, что вычислить от-

17 носительную погрешность по формуле (15), а затем абсолютную погреш- ность из соотношения
( )
A
E A
A
∆ =
⋅
оказывается проще, чем производить расчеты по формуле (13).
Окончательно рекомендуется следующий алгоритм обработки ре-
зультатов косвенных измерений.
1. Выполнить (однократные или многократные) прямые измерения аргументов
, , , ...
х y z
измеряемой функции
( , , , ...)
A
х y z
:
1 2
,
, ...,
n
x
х
х
;
1 2
,
, ...,
m
y y
y
;
; ...
z
, где
n
– число наблюдений аргумента
x
;
m
– число наблюдений аргумента
y
(Подразумевается, что величина
z
является результатом однократного прямого измерения.)
2. Найти среднее арифметические значение аргументов
1 1
n
i
i
x
x
х
n
=
=
∑
;
1 1
m
i
i
y
y
y
n
=
=
∑
;
; ...
z
z
=
3.
Вычислить предварительный результат измерений
( , , , ...)
A
A x y z
=
4.
Вычислить абсолютные погрешности отдельных результатов наблю
- дений для каждого аргумента
(
при многократных его измерениях
), а
также их квадраты и
соответствующие суммы
:
;
i
i
х
х
х
∆ =
−
; ...
i
i
y
y
y
∆ =
−
(
)
2
i
х
∆
;
(
)
2
; ...
i
y
∆
(
)
2 1
;
x
n
i
i
х
=
∆
∑
(
)
2 1
; ...
y
n
i
i
y
=
∆
∑
5.
Для данных значений
n
,
m
и
P
найти по таблице коэффициент
Стью
- дента и
вычислить погрешности аргументов
(
случайные или приборные
):
(
)
(
)
2
,
1 1
1
;
x
n
n P
i
i
х
t
х
n n
=
∆ =
∆
−
∑
(
)
(
)
2
,
1 1
1
;
y
n
m P
i
i
y
t
y
m m
=
∆ =
∆
−
∑
приб
; ...
z
z
∆ = ∆
6.
Если функция
( , , , ...)
A
х y z
удобна для логарифмирования
, проло
- гарифмировать ее и
по формуле
(15) вычислить относительную погреш
- ность
:
2 2
2
ln ln ln
( )
А
A
A
A
Е А
x
y
z
А
x
y
z


∆
∂
∂
∂




=
=
∆
+
∆
+
∆
+






∂
∂
∂






, а
затем абсолютную погрешность
( )
A
E A
A
∆ =
⋅