Файл: Обработка результатов лабораторного физического эксперимента.pdf

18
Если функция неудобна для логарифмирования
, то определить дове
- рительную погрешность
A
∆
результата измерений по общей формуле
(13):
2 2
2
A
A
A
A
x
y
z
x
y
z


∂
∂
∂




∆ =
∆
+
∆
+
∆
+






∂
∂
∂






7.
Округлив результат измерений и
погрешность
, записать оконча
- тельный результат в
виде
,
A
A
A
=
± ∆
P
=

19 а погрешность вычисляется как случайная по формуле
2
,
1 1
1
(
)
(
)
n
n P
i
i
A
t
A
n n
=
∆ =
∆
−
∑
, т
е как при обработке результатов прямых многократных измерений
ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Пример 1.
В работе № 103 коэффициент поверхностного натяжения жидкости определяется по расчетной формуле
1 2
,
(
)
F
D
D
α =
π
+
(16) где
F
– сила поверхностного натяжения;
1
D
и
2
D
– соответственно внут- ренний и внешний диаметры кольца, погруженного в жидкость.
Для получения расчетной формулы погрешности учтем, что выраже- ние (16) относительно удобно для логарифмирования (содержит три мно- жителя:
1 2
, (
),
F D
D
+
π
) и, следовательно, целесообразно искать погреш- ность по формуле (15) с учетом замены соответствующих обозначений функции и аргументов:
2 2
2 2
1 2
1 2
ln ln ln ln
F
D
D
F
D
D




∆α
∂
α
∂
α
∂
α
∂
α




=
∆
+
∆
+
∆
+
∆π








α
∂
∂
∂
∂π








Прологарифмировав выражение (16), получим
1 2
ln ln ln(
) ln .
F
D
D
α =
−
+
−
π
Находим частные производные
1
ln
;
F
F
∂
α


=


∂


1 1
2 1
ln
;
D
D
D


∂
α
= −


∂
+


2 1
2 1
ln
;
D
D
D


∂
α
= −


∂
+


1
ln
∂
α


= −


∂π
π


Выражение для расчета относительной погрешности
:
2 2
2 1
2 1
2 1
2
(
)
(
)
D
D
F
F
D
D
D
D




∆
∆
∆α
∆


=
+
+






α
+
+







20
Отсутствие в
данной формуле значения относительной погрешности числа
π
обусловлено тем
, что в
настоящее время значение этого числа из
- вестно с
высокой точностью
Пример 2.
В
работе
№ 108 требуется определить отношение тепло
- емкостей
(
коэффициент
Пуассона
) воздуха
P
V
C
C
γ =
Расчетная формула имеет вид
1 1
2
,
h
h
h
γ =
−
(17) где
1
h
и
2
h
– разности уровней жидкости
(
воды
) в
манометре для некото
- рых двух состояний воздуха в
сосуде
Косвенные измерения в
данном эксперименте являются невоспроиз
- водимыми
, поскольку
, повторяя опыт
, накачать и
выпустить каждый раз одинаковое количество воздуха невозможно
Значения
γ
вычисляются в
каждом наблюдении по результатам прямых измерений величин
1
h
и
2
h
, а
затем обрабатываются как результаты прямых многократных измерений
Следовательно
, доверительная погрешность
∆γ
определяется как случай
- ная по формуле
(
)
(
)
2
,
1 1
1
n
n P
i
i
t
n n
=
∆γ =
∆γ
−
∑
Пример 3.
В
лабораторной работе
№ 117 коэффициент жесткости пружины определяется по формуле
mg
k
l
=
, (18) где
k
– коэффициент жесткости
;
m
– масса груза
;
l
– среднее удлинение пружины при увеличении массы груза на
50 г
;
g
– ускорение свободного падения
(
на широте
Санкт
-
Петербурга
).
Воспользовавшись алгоритмом обработки результатов косвенных из
- мерений в
случае удобной для логарифмирования расчетной формулы
, по
- лучим
(
см пример
1) выражение
2 2
2
,
k
m
l
g
k
m
l
g


∆
∆
∆
∆




=
+
+












в котором погрешностью ускорения свободного падения можно пренебречь в
силу ее малости

21
В
этой работе требуется также найти экспериментальное и
расчетное значения периодов колебания груза эксп
T
и теор
T
(
масса груза задается пре
- подавателем
).
Соответствующие формулы погрешностей имеют следую
- щий вид
: а
) для расчетного значения периода колебания груза теор
2
m
T
k
= π
:
2 2
теор теор
2 2
;
T
m
k
T
m
k
∆
∆
∆




=
+








б
) для периода колебаний
, измеренного с
помощью секундомера
:
(
)
(
)
2
эксп
,
1 1
1
n
n P
i
i
T
t
T
n n
=
∆
=
∆
−
∑
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ
Важным методом обработки результатов опыта является представ- ление их в виде графика. При минимальной обработке графики представ- ляют результаты измерений в наиболее компактной форме с легкой обо- зримостью всего объема информации. Они позволяют проверить соответ- ствие теории и результата эксперимента, выявить области изменения пе- ременных, требующие более детального исследования.
Графический метод обработки результатов эффективен только при его грамотном применении, что предполагает овладение элементарными навыками работы с графическим материалом.
Выбор бумаги.
Графики выполняют на миллиметровой бумаге. Раз- мер листа для графика равен примерно 150×170 мм. При этом график дос- таточно масштабен, им удобно пользоваться (например, вклеивать или подшивать в лабораторный отчет). Очень удобны в этом отношении листы из «Блокнота для диаграмм».
Построение координатных осей.
Графики принято строить в декар- товой (прямугольной) системе координат, где по оси абсцисс откладывает- ся переменная, выбранная за независимую (аргумент), а по оси ординат – функция. При нанесении осей следует оставить место для заголовка, пояс- няющих записей и полей для вклейки или подшивки в лабораторный отчет.
Выбор интервала изменения переменных и оцифровка шкал.
Интервалы изменения переменных по обеим осям выбираются независимо друг от друга, так чтобы на графике была представлена лишь эксперимен- тально исследованная область изменения переменных величин. Сам гра- фик при этом занимает все поле чертежа. Не следует стремиться к тому,

22 чтобы начало координат (точка 0,0) обязательно поместилась на графике.
Делать это разумно в тех случаях, когда одновременно существенно не увеличиваются размеры графика или когда эта точка является наиболее надежным результатом измерений. Например, при измерении силы тока
I
в зависимости от напряжения
U
точка (0,0) – очевидный и самый надежный результат этой зависимости.
Ценность графика во многом определяется удачным выбором мас- штаба. Рекомендуется выбирать удобные для восприятия и расчетов еди- ницы масштаба шкал. Допустимы значения единиц масштаба, равные только одной, двум или пяти единицам измеряемой величины, умножен- ным на порядковый множитель 10
m
, где
m
– положительное или отрица- тельное целое число (порядок величины).
Число оцифрованных делений на каждой оси должно быть мини- мально необходимым для ясного понимания шкалы и составляет обычно от 4 до 10. По оси
x
цифры пишутся под масштабными рисками, обозначе- ние откладываемой величины и ее единица измерения указываются справа под осью. По оси
y
цифры пишутся слева от рисок, а обозначение соответ- ствующей величины и единица измерения указываются вверху слева от оси. Стрелки на осях не ставятся. Порядковый множитель 10
m
следует включать в буквенное обозначение или использовать десятичные пристав- ки к названиям единиц. Например, «
I
, мкА», «
R
, кОм», «
t
, 10
–2
, с».
Ни в коем случае не следует отмечать и оцифровывать на осях экс- периментальные значения аргумента и функции, а тем более проводить штриховые линии для помещения экспериментальных точек на поле гра- фика. Изобилие линий резко ухудшает восприятие графической информа- ции. Следует помнить, что на графике, прежде всего, должны выделяться экспериментальные точки – именно они являются главным результатом работы экспериментатора.
Нанесение экспериментальных точек и их погрешностей. Экспе
- риментальные точки нужно наносить на график точно и аккуратно, отме- чая их кружками (квадратами, треугольниками, крестиками). Полезно при- менять разные знаки для разных кривых, если они изображаются на одном графике. Погрешности на графиках, когда это позволяет масштаб, можно указывать для одной или обеих измеряемых величин в виде отрезков, по- лудлина которых равна доверительной погрешности. Исключение состав- ляют случаи, когда по одной из осей откладываются величины, известные точно (например, принимающие только целочисленные значения).
Обычно указание погрешностей либо загромождает график, либо их нельзя указать в данном масштабе (при точных измерениях). Поэтому до- пустимо иногда вообще не указывать погрешности или делать это для од- ной-двух точек. О точности измерений тогда можно весьма приближенно судить по разбросу точек относительно проведенной кривой.

23
Проведение кривой по экспериментальным точкам.
Эксперимен- тальные точки соединяются карандашом плавной кривой так, чтобы они располагались примерно поровну и в среднем на равном удалении по обе стороны от кривой. Ни в коем случае не следует соединять эксперимен- тальные точки на графике ломаной линией (от точки к точке). Обычно за- висимости физических величин соответствуют гладким, плавно изменяю- щимся функциям без резких изломов и перегибов. Если же все точки по- следовательно соединить, то получится ломаная линия, которая не имеет ничего общего с истинной физической зависимостью. Это следует хотя бы из того факта, что форма полученной ломаной линии не будет воспроизво- диться при повторных сериях измерений.
Проводимая на графике кривая не должна заслонять эксперименталь- ные точки. Следует помнить, что именно точки являются результатом изме- рений, а кривая – лишь наше (не обязательно верное) толкование результата.
Оформление графиков.
Графики должны быть снабжены заголов- ками и пояснениями, кратко и точно отражающими содержание графика.
Обязательно указываются откладываемые по осям величины и их размер- ности. Если на одном графике располагается несколько кривых, то каждая из них должна быть четко обозначена цифрой или буквой, поясняемой в подписи к графику. Заголовок и пояснения располагают под графиком.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 100
Измерение электронным секундомером интервалов времени,
задаваемых по механическому секундомеру
Цель работы
– освоение алгоритма обработки результатов прямых многократных измерений, построение гистограммы экспериментальных зна- чений определяемой величины и оценка параметров распределения Гаусса по кривой закона распределения.
Теоретическая часть
1. Измерение физических величин и графическое представление
результатов измерений
При измерении физических величин в лабораторном практикуме из систематических погрешностей во внимание принимаются, как правило, только приборные как легко учитываемые. В таком случае в погрешность
x
∆
определяемой величины входят две составляющие: случайная (стати- стическая) cл
x
∆
и систематическая (приборная) приб
x
∆
(предполагаем, что промахи отсутствуют):
(
)
(
)
2 2
cл приб
x
x
x
∆ =
∆
+ ∆