ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 943
Скачиваний: 10
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Контрольные вопросы
-
Дайте определение понятий «вредный производственный фактор», «опасный производственный фактор». -
Влияние условий внешней среды на эффективность деятельности. -
Вредные и опасные факторы при работе на компьютере.
10.6. Применение распределения Пуассона
для оценки риска аварий
Оценка степени риска поражения людей и нанесения ущерба при авариях связана с задачей прогнозирования показателей надежности и остаточного ресурса функционирующей системы. Наиболее важным вопросом является установление допустимых сроков дальнейшей эксплуатации индивидуального объекта при конкретном значении риска аварии. Ответственность за соответствующие инженерные решения о мерах по снижению риска или о приостановке функционирования объекта лежит на комиссии, в состав которой должны входить специалисты-эксперты и представители административных органов.
Одним из основных показателей надежности объекта является вероятность P(t) безотказной работы на некотором временном интервале (функция надежности). Функция Q(t) =1 – P(t), дополняющаяP(t) до единицы и характеризующая вероятность отказа, является функцией риска аварии – поражения людей и нанесения материального ущерба.
Для оценки риска применяют модели теории надежности. Среди них модели высоконадежных систем, для которых аварийные ситуации явление редкое, а также модели стареющих систем, качество которых в процессе эксплуатации ухудшается вследствие ползучести, различных видов усталости, износа и других видов повреждений.
Прогнозирование аварийных ситуаций возможно на основе элементарной статистики и дискретного распределения Пуассона, часто применяемого к редким событиям и природным явлениям.
Функцией риска аварии из-за отказа нормального функционирования объекта называют вероятность отказа:
H(t) = 1 – P'(t), P'(t) = exp (–∫ λ(ξ) dξ), (10.1)
λ(t) = – P'(t) / P(t),
где Р(t) – вероятность безотказной работы (функция надежности); λ(t) – интенсивность отказов, равная вероятности того, что после безотказной работы до момента времени tавария произойдет в последующем малом отрезке времени.
Опыт показывает, что после небольшого начального периода эксплуатации (приработки) функция λ(t) длительный период достаточно стабильна, т. е. λ(t) = const. Влияние интенсивного старения за счет коррозионного износа, усталости и других факторов должно исключаться регламентированием допустимого срока службы.
Принимая для периода нормального (спокойного) функционирования
λ(t) = const, из (10.1) получают экспоненциальное распределение
P(t) = exp(–λτ), (10.2)
причем θ = 1/λ – математическое ожидание срока службы (ресурса) или средняя наработка на отказ. Функцию риска теперь можно записать в виде
H(t) = 1 – exp(– t/θ).(10.3)
При функции надежности в виде (10.2) частота отказов в системе однотипных объектов (поток случайных событий) соответствует дискретному распределению Пуассона
, N= 0,1,2,…λτ> 0 . (10.4)
Согласно данной формуле, аварии на временном интервале τ(t, t + τ) произойдут Nраз с вероятностью Q(N, λτ), а отсутствие аварийных ситуаций (отсутствие отказов) – с вероятностью
Q(0,λτ) = exp(– λτ).(10.5)
Вероятность того, что аварии произойдут n разпри n < N (т. е. менее
N раз), определяется функцией распределения
Q0(n<N)= =1 – φ(N,λτ) (10.6)
φ(N,λτ)=Q0(n≥N)= .
Вероятность возникновения хотя бы одной аварии представляет оценку риска аварий на объекте в период τ
= 1– Q(0, λτ) = 1 – exp(–λτ) . (10.7)
Для математического ожидания Ν, дисперсии D и стандарта σ (среднеквадратического отклонения) имеет место равенство N = D = σ2= λτ, т. е. имеется возможность экспериментальной проверки правдоподобия гипотезы о применимости закона Пуассона к конкретному виду аварии по факту хотя бы приблизительного соблюдения равенства
N = D.
Таким образом, прогнозирование аварийных ситуаций возможно на основе элементарной статистики. Такого рода данные представляют интерес при принятии решений о мерах по снижению степени риска аварий на объектах.
Значения вероятности аварий Q(N, λτ) для числа N≤ 5 и риска возможной аварии приведены в табл. 10.3 и на рис. 10.1.
Таблица 10.3
Вероятность N аварий и оценка риска аварийности
в зависимости от параметра τ, согласно распределению Пуассона
N | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,5 | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 | 5,0 |
0 | 0,905 | 0,819 | 0,741 | 0,607 | 0,368 | 0,135 | 0,050 | 0,018 | 0,007 |
1 | 0,091 | 0,164 | 0,222 | 0,303 | 0,368 | | | | |
2 | 0,0045 | 0,016 | 0,033 | 0,076 | 0,184 | 0,271 | | | |
3 | 0,0002 | 0,0011 | 0,0033 | 0,013 | 0,061 | 0,180 | 0,224 | | |
4 | | 0,0001 | 0,0003 | 0,0016 | 0,015 | 0,090 | 0, 168 | 0,195 | |
5 | | | | 0,0002 | 0,003 | 0,036 | 0,101 | 0,156 | 0,176 |
| 0,095 | 0,181 | 0,259 | 0,393 | 0.632 | 0,865 | 0,950 | 0,982 | 0,993 |
Закон Пуассона является частным (предельным) случаем биномиального распределения при большом числе маловероятных событий. В связи с этим формулу Пуассона называют законом редких явлений. На рис. 10.2 показано распределение Пуассона для нескольких значений λτ, из которого видно, что при больших значениях λτ (λτ 10) распределение приближается к нормальному распределению при μ = σ2 = λτ
. (10.8)
Закон Пуассона широко используют на практике: в теории надежности, при проверке качества, при прогнозировании сейсмического риска и др. Закон Пуассона применим также к событиям (авариям), разбросанным на площадях. В этом случае параметр λ имеет смысл средней плотности, отнесенной не к временному интервалу, а к некоторой площади.
1,0 | Q | | | | |
0,8 | | | | | |
0,6 | | | | | |
0,4 | | 2 | 3 | | |
0,2 | N=1 | | | | |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 λτ |
Рис. 10.1. Вероятность аварий и оценка риска аварийности
в зависимости от параметра λτ
0,6 Q 0,3 Q
λτ = 0,5 λτ = 1
0 2 4 N 0 3 6 N
0,2 Q λτ = 2 0,15 Q λτ = 4
0 3 6 N 0 5 10 N
0 ,12 Q λτ = 8 0,1 Q λτ =10
0 10 20 N 0 10 20 N
Рис. 10.2. Распределение Пуассона для шести значений λτ
Известен пример исключительно хорошего согласия с распределением Пуассона реальной статистики падений самолетов-снарядов в южной части Лондона в период Второй мировой войны. Такое согласие установлено при подсчете числа kпадений, приходящихся на каждый из Ν = 576 одинаковых участков территории, каждый площадью S = 0,25 км2. При общем числе снарядов Т =537 число участков Nk, на которое приходилось по k падений (среднее число λS = Т/N–0,9323), дано в табл. 10.4 в сравнении со значениями вероятностей Р(k; 0,9323), подсчитанных по формуле Пуассона.
Таблица 10.4
Сравнение статистики падения самолетов-снарядов
с соответствующим распределением Пуассона
Число падений k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ≥5 |
Число участков Νk Q(0,9323) 576 · Q(k; 0,9323) | 299 0,3936 226,74 | 211 0,3670 211,39 | 93 0,1711 98,54 | 35 0,0532 30,62 | 7 0,0124 7,14 | – 0,0023 1,33 | 1 – – |
Оценку надежности производственных установок и различной аппаратуры, а также обслуживания персоналом можно провести с использованием биномиального распределения подсчетом вероятности частоты rуспешных событий (например, пусков и т. п.) при их общем числе п. Доверительный интервал для фактической вероятности РTопределяется уравнением
,
где – биномиальные коэффициенты; Р – нижняя граница искомой надежности РТ;α – достоверность того, что фактическая вероятность