Файл: Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование.pdf

50
0
)
,
,
(
=
∂
∂
l
r
L
t
c
при
L
=
l
. (10.18)
Ячеечная модель
впервые предложена для описания гидродинамики каскада реакторов с мешалками. При её построении поток условно разби- вают на ряд последовательно соединённых между собой зон (ячеек)
(рис. 17).
Сделаем следующие допущения: 1) в каждой ячейке осуществляется идеальное перемешивание; 2) между ячейками отсутствует обратное пе- ремешивание.
В этом случае параметром ячеечной модели служит число ячеек N идеального перемешивания: с увеличением N структура потока в аппара- те приближается к гидродинамической модели идеального вытеснения, а с уменьшением N – к модели идеального смешения.
Запишем уравнения материального баланса для каждой из ячеек:
,
3
,
2
,
1
),
(
1
=
−
=
−
i
c
c
G
dt
dc
V
i
i
i
i
, вх
0
c
c
=
. (10.19)
Соответствующие начальные условия для системы уравнений (10.19) имеют вид: н
н
2 2
н
1 1
,
,
;
N
N
c
c
c
c
c
c
=
=
=
при
0
=
t
. (10.20)
Рассмотрим отклики ячеечной модели гидродинамики аппарата на импульсное возмущение.
Первая ячейка.
Концентрация индикатора вх
c
на входе в аппарат при импульсном возмущении равна нулю. В этом случае уравнение моде- ли примет вид
1 1
Gc
dt
dc
V
i
−
=
или
,
1 1
1
c
dt
dc
t
−
=
где н
1 1
1 1
)
0
(
,
c
c
G
V
t
=
=
Его решение можно записать в виде
1
н
1 1
t
t
e
с
с
−
=
G
c
⋅
вх
1 2
3
N – 1
N
G
c
⋅
Рис. 17. Схема ячеечной модели гидродинамики аппарата:
с
вх
, с – концентрации на входе и выходе из аппарата;
G
– объёмный расход вещества через аппарат

51
Вторая ячейка.
Входом во вторую ячейку является выход из первой ячейки, т.е.
2
н
1
вх
2 1
c
e
с
с
t
t
−
=
−
. Тогда для второй ячейки модель гидроди- намики записывается в виде
0
)
0
(
;
2 2
н
1 2
2 1
=
−
=
−
c
c
e
с
dt
dс
t
t
t
Получим решение этого дифференциального уравнения. Вначале решаем соответствующее однородное уравнение
,
2 2
2
c
dt
dс
t
−
=
которое после разделения переменных примет вид
2
)
(
)
(
2
t
t
e
t
A
t
c
−
=
Для нахождения неизвестного множителя
)
(t
A
подставим получен- ное решение однородного уравнения в исходное уравнение модели.
2 1
2 2
)
(
)
(
)
(
1 2
t
t
t
t
t
t
t
t
e
t
A
e
c
e
t
t
A
e
t
A
t
н
−
−
−
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
После приведения подобных членов приходим к дифференциально- му уравнению относительно
)
(t
A
:
)
(
н
1 2
c
dt
t
dA
t
=
Его решение можно записать в виде
)
(
2
н
1
k
t
t
c
t
A
+
=
Учитывая начальное условие:
0 0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
2
н
1 2
2 0
=
+
⋅
=
=
⋅
=
−
k
t
c
A
e
A
c
t
Получаем
,
0
=
k
и решение исходной задачи примет вид
)
(
2 2
н
1 2
t
t
e
t
t
c
t
c
−
=
Аналогичные решения можно получить для третьей, четвёртой, …
,
N-й ячейки. Функция отклика N-й ячейки, представляющая общую функ- цию отклика ячеечной модели, описывается выражением вида:

53
Комбинированные модели.
При описании движения потоков в про- мышленных технологических аппаратах может случиться, что ни одна из вышеперечисленных гидродинамических моделей не позволит адекватно воспроизвести свойства потока. В таких случаях используются сложные гидродинамические комбинированные модели. В основу комбинированных моделей положены идеальные модели с добавлением застойных зон, байпа- сирования и рециркуляции отдельных частей потоков. Естественно, что математическое описание процесса существенно усложняется, однако за счёт этого удаётся получить необходимую точность воспроизведения свойств объекта моделирования.
Выражение «застойная зона» – условное понятие. Обычно к этим зо- нам относятся объёмы аппарата, в которых среднее время пребывания индикатора в 3 – 10 и более раз превышает среднее время пребывания элементов основного потока. Например, в насадочных массообменных аппаратах такие области представляют собой мёртвые зоны, т.е. практи- чески нерабочие объёмы аппарата.
С другой стороны, если среднее время пребывания некоторой части элементов потока составляет 0,1 – 0,3 от времени пребывания основного потока, то считается, что в аппарате имеется байпасный поток. В основе обоих типов неравномерности (неоднородности) времени пребывания элементов потока лежит, по существу, одно и то же физическое явление – движение отдельных частей потока, обособленных друг от друга различ- ными объёмными скоростями.
Рассмотрим явление рециркуляции потока с выхода на вход аппарата
(рис. 19).
Составим уравнение материального баланса для узла S:
)
(
вх
r
r
G
G
c
cG
G
c
+
′
=
+
Применим к последнему уравнению преобразование Лапласа:
)
}(
{
}
{
r
r
G
G
c
L
G
c
L
G
+
′
=
+
Обозначим отношение расхода рециркуляционного потока
r
G
к основному
G
через
R
. Тогда разделив последнее уравнение на
G
c
L }
{
, получим
}
{
}
{
)
1
(
}
{
1
c
L
c
L
R
R
c
L
′
+
=
+
(10.23)
G
c
вх
V
S
G
c
′
G
r
Рис. 19. Структура потока в аппаратуре с рециркуляцией

54
Отношение
}
{
}
{
c
L
c
L ′
при нулевых начальных условиях представляет собой передаточную функцию
)
( p
W
аппарата без учёта рецикла. Пред- положим, что эта передаточная функция соответствует модели идеального смешения.
,
1 1
)
(
p
t
p
W
+
=
где
t
– среднее время пребывания элементов потока без учёта рециклов.
Тогда уравнение (10.23) перепишется в виде
),
1
)(
1
(
}
{
1
p
t
R
R
c
L
+
+
=
+
откуда
)
1
(
1 1
)
1
)(
1
(
1
}
{
p
t
R
R
p
t
R
c
L
+
+
=
−
+
+
=
Для импульсного возмущения на входе передаточная функция аппа- рата с рециклом
)
( p
W
r
равна
}
{c
L
, следовательно:
)
1
(
1 1
)
(
p
t
R
p
W
r
+
+
=
Определим среднее время пребывания
r
t
и дисперсию
2
σ
функции отклика аппарата с рециклом, используя передаточную функцию
)
(
p
W
r
Запишем выражение для первого начального момента нормированной
С-кривой:
)
1
(
)
0
(
'
1
t
R
p
W
t
M
r
r
t
+
=
=
−
=
=
Таким образом, среднее время пребывания в аппарате с рециклом в
(1 + R) раз больше среднего времени пребывания при отсутствии рецикла.
Комбинированные модели, составленные из последовательно со-
единённых моделей идеального смешения и идеального вытеснения.
В такой комбинированной системе можно выделить два варианта соеди- нения моделей (рис. 20)
Оценим, как влияет порядок соединения моделей на отклик системы на ступенчатое возмущение? Рассмотрим следующий пример. Пусть в аппарате протекает химическая реакция
B
A
k
⎯→
⎯
первого порядка со скоростью:
,
kc
dt
dc
−
=
где с – концентрация вещества А.

55
G
c
вх
Модель идеального смешения
G
с
Модель идеального вытеснения
а)
б)
G
c
вх
Модель идеального вытеснения
G
с
Модель идеального смешения
с
′
с
′
Рис. 20. Комбинированные модели
Сравним концентрации вещества А на выходе аппарата, модель гид- родинамики которого представлена на рис. 20 а, б.
Рассмотрим комбинированную систему на рис. 20, а. Для зоны иде- ального смешения имеем
),
(
вх см
c
c
G
dt
c
d
V
−
′
=
′
где V
см
– объём зоны идеального смешения, и
).
(
вх см
c
c
G
c
k
V
−
′
=
′
−
Следовательно, концентрация вещества А на выходе из зоны идеаль- ного смешения составит
1 1
см вх см вх
t
k
c
G
kV
c
c
+
=
+
=
′
В зоне идеального вытеснения изменение концентрации описывается уравнением вида
,
kc
dl
dc
−
=
ϑ
где
ϑ
– линейная скорость движения потока в аппарате.
Интегрируя левую часть уравнения в пределах от '
c
до c по концен- трации и от 0 до
L
по координате l (L – длина зоны вытеснения), получим
,
выт
t
k
e
c
c
−
′
=
где
ϑ
=
L
t
выт
Таким образом, концентрация c на выходе комбинированной систе- мы «идеальное смешение – идеальное вытеснение» выражается формулой:
1
см вх выт
t
k
e
c
c
t
k
+
=
−
Рассмотрим теперь комбинированную систему на рис. 20, б. Здесь концентрация c′ в зоне идеального вытеснения определяется уравнением

56
,
c
k
dl
c
d
′
−
=
′
ϑ
решение которого имеет вид выт вх
t
k
e
c
c
−
=
′
В зоне идеального смешения изменение концентрации составляет
),
(
см
c
c
G
kc
V
−
′
=
откуда следует
1
см вх выт
t
k
e
c
c
t
k
+
=
−
Таким образом, для химических реакций первого порядка (с линей- ной кинетикой) концентрация веществ на выходе комбинированных сис- тем (рис. 20, а, б) одна и та же и, следовательно, порядок следования мо- делей (зон идеального смешения и вытеснения) не оказывает влияния на протекание процесса.
Рассмотрим осуществление химической реакции с нелинейной кинетикой:
B
A
A
k
⎯→
⎯
+
Скорость протекания химической реакции определяется выражением
2
kc
dt
dc
−
=
В этом случая для зоны идеального смешения имеем
),
(
)
(
вх
2
см
c
c
G
c
k
V
′
−
=
′
откуда
k
t
kc
t
c
см вх см
2 1
4 1
−
+
=
′
Изменение концентрации в зоне идеального вытеснения определяет- ся уравнением
,
2
kc
dl
dc
−
=
ϑ
интегрирование которого даёт
1 1
выт
t
k
c
c
+
′
=
Таким образом, концентрация вещества А на выходе комбинирован- ной системы (рис. 20, а) составит:
1 2
4 1
2
выт см
2
вх см см
−
+
+
=
t
t
k
kc
t
k
t
c
. (10.24)

57
Для системы, изображённой на рис. 20, б, концентрация вещества на выходе из зоны идеального вытеснения определяется уравнением
,
2
kc
dl
dc
−
=
ϑ
или после интегрирования
1
вх выт вх
c
t
k
c
c
+
=
′
В зоне идеального смешения изменение концентрации определяется следующим уравнением
),
(
2
см
c
c
G
kc
V
−
′
=
откуда получаем вх см вх выт вх см
2 1
)
1
(
4 1
c
t
k
c
t
k
kc
t
c
−
+
+
=
. (10.25)
Нетрудно убедиться, что выражения (10.24), (10.25) для выходных концентраций комбинированных систем (рис. 20, а, б) дают различные зна- чения. Следовательно, для осуществления химических реакций с нелиней- ной кинетикой порядок комбинирования моделей идеального смешения и вытеснения оказывает влияние на протекание процесса взаимодействия.
11. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В MATLAB
11.1. Модели идеального смешения и идеального вытеснения
Модель идеального смешения соответствует гидродинамике аппара- та, в котором поступающий в него индикатор мгновенно распределяется по всему его объёму, т.е. в каждой точке аппарата и на выходе из него концентрации индикатора будут равны.
Пример 1.Рассчитать время реакционного цикла, необходимое для достижения степени превращения исходного реагента х
А,f
= 0,8, в перио- дическом реакторе идеального смешения.
В реакторе протекает реакция второго порядка
2А → R + S, скорость w
rA
[кмоль/(м
3
·с)] которой описывается кинетическим уравнени- ем w
rA
= 2,5 c
A
2
при постоянной температуре. Начальная концентрация реагента А на входе в реактор с
А,0
= 4 кмоль/м
3
Решение.
Степень превращения вещества А (исходный реагент) мож- но выразить через его концентрацию: