Файл: Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 81
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
37
Если считать, что уравнение регрессии найдено с достаточной точно- стью, то остаточная дисперсия обусловлена только наличием дисперсии воспроизводимости, т.е.
2
вос
2
ост
S
S
≈
. Чем меньше доля
2
вос
2
ост
S
S
≈
в общей дисперсии
2
y
S
, тем сильнее связь между
y
и
x , так как меньше доля слу- чайности в этой связи. Силу связи между
y
и
x можно охарактеризовать величиной:
;
1
)
(
;
)
1
(
)]
1
(
[
1 1
2 2
2 2
ост
n
y
y
n
y
y
S
S
n
S
k
n
n
j
j
n
j
j
y
y
∑
∑
=
=
=
−
−
=
−
⋅
+
−
=
ξ
Связь тем сильнее, чем меньше
ξ
Величина
Θ
=
ξ
−
1
называется корреляционным отношением. Чем больше
Θ
, тем сильнее связь,
1 0
≤
Θ
≤
Если
Θ
=
1, то существует функциональная зависимость между па- раметрами. Однако при
Θ
= 0величины
y
и x нельзя считать независи- мыми, так как связь между ними, не сказываясь на дисперсиях, может проявить себя в моментах более высокого порядка. Только при нормаль- ном распределении равенство нулю корреляционного отношения одно- значно свидетельствует об отсутствии связи между случайными величи- нами. Корреляционное отношение, как и коэффициент корреляции в ли- нейной регрессии, характеризует тесноту связи между случайными вели- чинами. Анализ силы связи по
Θ
называют корреляционным анализом.
Множественная регрессия.
Множественная регрессия применяется для описания взаимной связи входных величин
m
x
x
x
...,
,
,
2 1
и выходной величины
y
. Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид:
,
ˆ
1 0
∑
=
+
=
m
i
i
i
x
b
b
y
где
m
b
b
b
...,
,
,
1 0
находятся методом наименьших квадратов:
;
1
)
(
;
1
)
(
;
;
,
1
,
1 2
1 2
1 0
−
−
=
−
−
=
−
=
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
y
y
S
n
x
x
S
x
b
y
b
m
i
S
S
r
b
n
j
j
y
n
j
i
ij
x
m
i
i
i
x
y
y
x
i
i
i
i
38
,
)
/(
)
)(
(
1 1
1
∑
=
−
−
−
=
n
j
y
x
j
ij
y
x
S
S
y
y
x
x
n
r
i
i
где
y
x
i
r
– коэффициент корреляции, оценивающий тесноту линейной свя- зи случайных величин
x
i
и y.
О степени силы связи
m
x
x
x
...,
,
,
2 1
и y можно судить по величине коэффициента множественной линейной корреляции
y
x
x
x
m
R
...,
,
,
2 1
, всегда большей нуля и меньше единицы. Использование этой величины связано, однако, с опасностью получения неверных выводов – при увеличении и неизменном числе опытных данных значение
1
→
R
, хотя теснота линей- ной зависимости может оставаться неизменной.
Уравнение множественной нелинейной регрессии объекта
Z
m
O
зада-
ётся обычно полиномом:
ˆ
3 1
3 2
12 3
1 11 2
2 4
2 24 3
2 24 3
2 23 1
1 3
1 13 2
1 12 2
2 2
2 22 2
1 21 1
2 12 1
11 0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
x
d
x
d
x
d
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
b
y
Коэффициенты уравнения определяются методом наименьших квад- ратов и не имеют статистической трактовки. Наибольшие трудности вы- зывает выбор порядков полинома по каждой из переменных, а также вы- числение определителя плохо обусловленной матрицы, часто встречаю- щееся при нахождении коэффициентов уравнения. Поэтому целесообраз- но при построении модели нелинейной множественной регрессии приме- нять нейронные сети.
8. ЭКСПЕРТНЫЕ ОЦЕНКИ
Когда нет возможности определить значения тех или иных парамет- ров экспериментально или выбрать из ранее зарегистрированных данных, приходится полагаться на субъективные оценки. В подобных случаях ча- ще всего желательно воспользоваться мнением коллектива экспертов, а не отдельного лица. Такой коллектив должен состоять из специалистов, об- ладающих глубокими знаниями моделируемого процесса и по возможно- сти облечённых правом принимать ответственные решения. Выявление индивидуальных точек зрения и формирование на их основе единого мне- ния коллектива экспертов можно осуществлять несколькими методами, но, пожалуй, самым полезным из них является метод Дельфы [7]. Это итерационная процедура, которая позволяет подвергать мнение каждого
39
эксперта критике со стороны всех остальных, не заставляя их фактически сталкиваться лицом к лицу. Идея метода заключается в том, чтобы соз- дать механизм, обеспечивающий сохранение анонимности точек зрения отдельных лиц и тем самым свести к минимуму влияние красноречивых и обладающих даром убеждать личностей на поведение группы в целом.
Все взаимодействия между членами группы находятся под контролем со стороны координатора или руководящего звена, направляющего всю дея- тельность группы. Групповая оценка вычисляется им путём некоторого усреднения (обычно посредством нахождения среднего значения или ме- дианы) и доводится до сведения всех членов группы.
Рассмотрим в качестве примера задачу определения значения неко- торого числа
N. Пусть в группе экспертов будет 12 членов. Метод Дельфы предполагает следующий способ действий.
1. Опросить каждого члена группы по отдельности, какова его оценка числа
N.
2. Разложить ответы на общей шкале в порядке возрастания значе- ний и определить квартили
Q
1
,
M, Q
3
таким образом, чтобы в каждом из четырёх отрезков шкалы содержалась четвёртая часть всех оценок.
3. Сообщить каждому из членов группы значения
Q
1
,
M и Q
3
и по- просить его пересмотреть свою оценку, а если его новая оценка ниже
Q
1 или выше
Q
3
, попросить его кратко обосновать своё мнение.
4. Подсчитать результаты второго тура и сообщить членам группы новые значения
Q
1
,
M и Q
3
(обычно эти значения будут иметь меньшую дисперсию, чем после первого тура) вместе с письменными обоснования- ми предельных значений (сохраняя при этом анонимность мнений). По- просить каждого из представивших письменные ответы учесть новые данные и аргументацию и при желании пересмотреть свою предыдущую оценку. Если в этом третьем туре пересмотренная оценка у данного члена группы будет ниже
Q
1 или выше
Q
3
, попросить его кратко обосновать, почему он счёл не заслуживающими внимания аргументы, которые могли бы его заставить сместить свою оценку ближе к средней.
5. Повторять эту процедуру столько раз, сколько представляется желательным координатору, или пока промежуток между
Q
1
и
Q
3
сузится до некоторой заранее установленной величины. Для этого обычно требу- ется всего три или четыре тура, поскольку аргументы скоро начинают повторяться. Далее берётся медиана как представляющая групповое мне- ние относительно того, каким должно быть значение
N.
Возможны и другие варианты метода Дельфы. Этот метод, предпола- гающий анонимность мнений, итеративную процедуру обработки резуль- татов, управляемую обратную связь, числовые оценки и статистическое определение групповой оценки, может стать ценным инструментом ис- следования для разработчиков имитационных моделей.
40
9. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Аналитическая модель технологического объекта обычно состоит из четырёх групп уравнений: 1) материального и теплового баланса; 2) гидро- динамики потоков; 3) термодинамического равновесия (для отсчёта дви- жущей силы процесса); 4) скоростей протекающих процессов (химических реакций, тепло- и массопередачи и др.). Уравнения второй и, особенно часто, третьей группы могут входить в математическую модель неявно.
Методика построения аналитического описания статики и динамики технологических объектов включает следующие этапы [3]:
1.
Изучение объекта. На данном этапе производится ознакомление с конструкцией технологического объекта и изучение протекающих в нём физико-хмических процессов (химического превращения, диффузии, теп- лопередачи и др.).
2.
Составление структурной схемы объекта. Исследуемый объект условно разделяется на ряд подсистем. В качестве подсистем в техноло- гических объектах обычно выделяют звенья, которые или являются по- вторяющимися элементами конструкции аппарата (например, царга ко- лонного аппарата, тарелка в ректификационной колонне, реактор- мешалка в каскаде реакторов и т.п.), или отличаются от других звеньев типом лимитирующего процесса, или конструктивно представляют само- стоятельную часть установки. Следует понимать, что «глубина» декомпо- зиции объекта на звенья зависит от уровня наших знаний о процессах, реальной возможности определения неизвестных параметров, возможно- сти решения полученных систем уравнений, целевого назначения матема- тических моделей статики и динамики.
С проблемой рациональной декомпозиции технологического объекта на звенья тесно связана задача принятия системы допущений. В общем случае обсуждаются и затем принимаются или отвергаются следующие важнейшие допущения: о стационарности процессов в звене; о сосредото- ченности или распределённости параметров; об (не)учёте тех или иных физико-химических явлений, имеющих место в данном звене.
В целом вся система допущений направлена, как правило, на упро- щение и обоснование принятой структурной схемы исследуемого объекта.
Допущения представляют компромисс между требуемой и желаемой точ- ностью описания статических и динамических свойств объекта и возмож- ностью как количественной оценки физико-химических явлений, так и решения получающихся уравнений математического описания.
3.
Составление математического описания отдельных звеньев. Для бесконечно малых объёма звена и промежутка времени записываются уравнения теплового и материального баланса в интегральной форме. За- тем с помощью теорем «о среднем» и «конечных приращений» осуществ- ляется переход к дифференциальной форме [8]. В математическое описа-
41
ние звена входят граничные условия для дифференциальных уравнений и связи с другими, соседними, звеньями – для конечных уравнений.
4. Определение параметров модели звена. Для нахождения коэффи- циентов и других параметров уравнений необходимо знать физико- химические свойства перерабатываемых веществ, константы скоростей химических реакций, коэффициенты диффузии, теплопередачи и т.д. Ра- зумеется, необходимо знать все определяющие геометрические размеры звеньев.
Часть интересующей нас информации можно найти в соответствую- щей технической и научной литературе, для определения же некоторых коэффициентов и констант требуется постановка специальных лаборатор- ных исследований.
5.
Составление и анализ уравнений модели всего технологического
объекта.
В математическое описание всего объекта входят уравнения отдель- ных звеньев и связей между ними, граничные и начальные условия, а также ограничения на диапазоны изменения входных и выходных переменных.
6. Выбор методов и разработка вычислительных алгоритмов ре-
шения уравнений математической модели.
7. Оценка точности математического описания объекта. Точ- ность описания статических и динамических свойств объекта аналитиче- ски составленными уравнениями может оцениваться величиной одного из приведённых ниже показателей:
∑∑
=
=
β
β
β
β
ω
⋅
−
=
n
i
d
i
i
i
y
y
nd
1 1
2
э
)
(
1
Ф
;
∫∑∑
=
=
β
β
β
β
ω
⋅
−
=
1 0
1 1
2
э
)
(
)
(
Ф
t
n
i
d
i
i
i
dt
t
y
t
y
, где
β
ω
i
– весовые множители
Для вычисления
2 1
Ф
,
Ф
на объекте проводится активный или пас- сивный эксперимент, заключающийся в регистрации d различных значе- ний входных и соответствующих им установившихся значений (статика) или переходных процессов (динамика) выходных э
β
i
y
переменных. Жела- тельно, чтобы независимые переменные варьировались во всем диапазо- не, допустимом технологическим регламентом. Весовые множители
β
ω
i
вводятся в функцию невязки для создания возможности сравнения разно- родных переменных при неравноточных их измерениях. Чем больше по- грешность измерения э
β
i
y
, тем меньше выбирается множитель
β
ω
i
В практических задачах далеко не всегда известны ошибки измерения э
β
i
y
, что делает невозможным объективный выбор весовых множителей.
При достаточно больших значениях
2 1
Ф
,
Ф
математическое описа- ние считается не адекватным объекту. В этом случае требуется изменение
42
структурной схемы объекта, т.е. включение в рассмотрение новых звень- ев, либо уточнение отдельных «сомнительных» параметров уравнений.
Эта операция может осуществляться постановкой дополнительных лабо- раторных опытов.
Вопрос о том, при каком «критическом» значении
2 1
Ф
,
Ф
считать математическое описание адекватным объекту, а при каком требовать уточнения уравнений, является исключительно сложным и, вероятно, не имеет однозначного ответа. Выбор такого «критического» значения функций невязок
2 1
Ф
,
Ф
тесно связан с целевым назначением математи- ческого описания, а также с представительностью выборки э
β
i
y
. В частном случае, когда э
β
i
y
– независимые случайные величины (процессы), для оценки случайного (неслучайного) характера расхождений между реше- ниями уравнений модели и опытными данными могут быть использованы статистические критерии значимости и согласия [4].
10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТРУКТУРЫ ПОТОКОВ
В ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ АППАРАТЕ
Математические модели структуры потоков в технологическом ап- парате являются основой, на которой строится математическое описание любого технологического процесса [10]. Однако точное описание реаль- ных потоков (например, с помощью уравнения Навье–Стокса) приводит к чрезвычайно трудным для постановки и решения задачам. Поэтому разра- ботанные к настоящему времени модели структуры потоков в аппаратах носят полуэмпирический характер. Тем не менее, они позволяют получить модели, с достаточной для практики точностью отражающие физические процессы.
При осуществлении технологических процессов необходимо знать степень полноты их завершения, которая зависит от времени пребывания частиц (элементов, долей) потока в аппарате, которое, разумеется, нерав- номерно и имеет стохастическую природу. Наиболее существенными ис- точниками неравномерности распределения частиц потока по их времени пребывания в промышленных аппаратах являются: 1) неравномерность профиля скоростей потока; 2) турбулизация потоков; 3) наличие застойных областей в аппарате; 4) каналообразование, байпасные и перекрестные токи в аппарате; 5) температурные градиенты движущихся сред (потоков);
6) тепло- и массообмен между фазами и т.п.
Для процессов массопередачи описание структуры потоков в аппара- тах важно ещё и потому, что позволяет установить перемещение и рас- пределение веществ, находящихся в этих потоках. Поэтому все уравнения гидродинамических моделей потоков составляются преимущественно относительно изменения концентрации вещества в потоке.
43
Экспериментальный (импульсный) метод исследования струк-
туры потоков в аппарате.
Сущность экспериментального метода иссле- дования структуры потоков в реальном аппарате заключается в том, что в поток на входе его в аппарат каким-либо способом вводят индикатор, а на выходе потока из аппарата регистрируют изменение концентрации инди- катора в зависимости от времени. Полученную таким образом функцию отклика аппарата на ввод индикатора (типовое возмущение по составу потока) обрабатывают по специальной методике и получают нормирован- ную функцию распределения частиц (элементов, долей) потока по их времени пребывания в технологическом аппарате, которую в дальнейшем используют в расчётах технологических процессов и аппаратов или для построения близкой к реальной гидродинамической модели, составленной из комбинации типовых моделей гидродинамики (идеального смешения и вытеснения, диффузионной модели, ячеечной модели и т.п.).
Если принятая модель соответствует реальной структуре потоков, то экспериментальная функция отклика может рассматриваться как график решения уравнений модели при соответствующих начальных и граничных условиях. Сравнивая решение уравнений модели с экспериментальной функцией отклика на типовые (например, импульсные) возмущения, можно определить неизвестные параметры модели.
В качестве индикаторов используют растворы солей и кислот, изото- пы, реже красители и другие вещества, которые не вступают во взаимо- действие с веществами основного потока и могут быть измерены с помо- щью приборов. Ввод индикаторов осуществляют в виде стандартных сиг- налов: импульсного, ступенчатого, циклического и т.п.
Рассмотрим импульсный метод исследования структуры потока в аппарате, в соответствии с которым определённое количество индикатора на входе в аппарат вводят в виде дельта-функции.
Определение. Импульсной
δ-функцией называется функция, рав- ная нулю всюду, кроме начала координат, принимающая бесконечное значение в начале координат, и при этом интеграл от неё равен единице:
⎩
⎨
⎧
∞
=
δ
0
)
(t
при t
≠ 0;
∫
ε
ε
−
=
δ
1
)
( dt
t
при любом
ε > 0. при t = 0;
Предположим, что с помощью специального устройства в поток на входе в аппарат практически мгновенно ввели определённое количество q индикатора и определили (с помощью регистрирующего прибора) функ- цию отклика на это импульсное возмущение, изображённую на рис. 13.
Построим экспериментальную кривую C
э
(t) в координатах C(
θ) – θ, где
t
t
=
θ
– безразмерное время; t – среднее время пребывания элементов потока в аппарате. Для этого необходимо вначале определить нормиро-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
37
Если считать, что уравнение регрессии найдено с достаточной точно- стью, то остаточная дисперсия обусловлена только наличием дисперсии воспроизводимости, т.е.
2
вос
2
ост
S
S
≈
. Чем меньше доля
2
вос
2
ост
S
S
≈
в общей дисперсии
2
y
S
, тем сильнее связь между
y
и
x , так как меньше доля слу- чайности в этой связи. Силу связи между
y
и
x можно охарактеризовать величиной:
;
1
)
(
;
)
1
(
)]
1
(
[
1 1
2 2
2 2
ост
n
y
y
n
y
y
S
S
n
S
k
n
n
j
j
n
j
j
y
y
∑
∑
=
=
=
−
−
=
−
⋅
+
−
=
ξ
Связь тем сильнее, чем меньше
ξ
Величина
Θ
=
ξ
−
1
называется корреляционным отношением. Чем больше
Θ
, тем сильнее связь,
1 0
≤
Θ
≤
Если
Θ
=
1, то существует функциональная зависимость между па- раметрами. Однако при
Θ
= 0величины
y
37
Если считать, что уравнение регрессии найдено с достаточной точно- стью, то остаточная дисперсия обусловлена только наличием дисперсии воспроизводимости, т.е.
2
вос
2
ост
S
S
≈
. Чем меньше доля
2
вос
2
ост
S
S
≈
в общей дисперсии
2
y
S
, тем сильнее связь между
y
и
x , так как меньше доля слу- чайности в этой связи. Силу связи между
y
и x нельзя считать независи- мыми, так как связь между ними, не сказываясь на дисперсиях, может проявить себя в моментах более высокого порядка. Только при нормаль- ном распределении равенство нулю корреляционного отношения одно- значно свидетельствует об отсутствии связи между случайными величи- нами. Корреляционное отношение, как и коэффициент корреляции в ли- нейной регрессии, характеризует тесноту связи между случайными вели- чинами. Анализ силы связи по
Θ
называют корреляционным анализом.
Множественная регрессия.
Множественная регрессия применяется для описания взаимной связи входных величин
m
x
x
x
...,
,
,
2 1
и выходной величины
y
38
,
)
/(
)
)(
(
1 1
1
∑
=
−
−
−
=
n
j
y
x
j
ij
y
x
S
S
y
y
x
x
n
r
i
i
где
y
x
i
r
– коэффициент корреляции, оценивающий тесноту линейной свя- зи случайных величин
x
i
и y.
О степени силы связи
m
x
x
x
...,
,
,
2 1
и y можно судить по величине коэффициента множественной линейной корреляции
y
x
x
x
m
R
...,
,
,
2 1
, всегда большей нуля и меньше единицы. Использование этой величины связано, однако, с опасностью получения неверных выводов – при увеличении и неизменном числе опытных данных значение
1
→
R
, хотя теснота линей- ной зависимости может оставаться неизменной.
Уравнение множественной нелинейной регрессии объекта
Z
m
O
зада-
ётся обычно полиномом:
ˆ
3 1
3 2
12 3
1 11 2
2 4
2 24 3
2 24 3
2 23 1
1 3
1 13 2
1 12 2
2 2
2 22 2
1 21 1
2 12 1
11 0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
x
d
x
d
x
d
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x
x
c
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
b
y
Коэффициенты уравнения определяются методом наименьших квад- ратов и не имеют статистической трактовки. Наибольшие трудности вы- зывает выбор порядков полинома по каждой из переменных, а также вы- числение определителя плохо обусловленной матрицы, часто встречаю- щееся при нахождении коэффициентов уравнения. Поэтому целесообраз- но при построении модели нелинейной множественной регрессии приме- нять нейронные сети.
8. ЭКСПЕРТНЫЕ ОЦЕНКИ
Когда нет возможности определить значения тех или иных парамет- ров экспериментально или выбрать из ранее зарегистрированных данных, приходится полагаться на субъективные оценки. В подобных случаях ча- ще всего желательно воспользоваться мнением коллектива экспертов, а не отдельного лица. Такой коллектив должен состоять из специалистов, об- ладающих глубокими знаниями моделируемого процесса и по возможно- сти облечённых правом принимать ответственные решения. Выявление индивидуальных точек зрения и формирование на их основе единого мне- ния коллектива экспертов можно осуществлять несколькими методами, но, пожалуй, самым полезным из них является метод Дельфы [7]. Это итерационная процедура, которая позволяет подвергать мнение каждого
39
эксперта критике со стороны всех остальных, не заставляя их фактически сталкиваться лицом к лицу. Идея метода заключается в том, чтобы соз- дать механизм, обеспечивающий сохранение анонимности точек зрения отдельных лиц и тем самым свести к минимуму влияние красноречивых и обладающих даром убеждать личностей на поведение группы в целом.
Все взаимодействия между членами группы находятся под контролем со стороны координатора или руководящего звена, направляющего всю дея- тельность группы. Групповая оценка вычисляется им путём некоторого усреднения (обычно посредством нахождения среднего значения или ме- дианы) и доводится до сведения всех членов группы.
Рассмотрим в качестве примера задачу определения значения неко- торого числа
N. Пусть в группе экспертов будет 12 членов. Метод Дельфы предполагает следующий способ действий.
1. Опросить каждого члена группы по отдельности, какова его оценка числа
N.
2. Разложить ответы на общей шкале в порядке возрастания значе- ний и определить квартили
Q
1
,
M, Q
3
таким образом, чтобы в каждом из четырёх отрезков шкалы содержалась четвёртая часть всех оценок.
3. Сообщить каждому из членов группы значения
Q
1
,
M и Q
3
и по- просить его пересмотреть свою оценку, а если его новая оценка ниже
Q
1 или выше
Q
3
, попросить его кратко обосновать своё мнение.
4. Подсчитать результаты второго тура и сообщить членам группы новые значения
Q
1
,
M и Q
3
(обычно эти значения будут иметь меньшую дисперсию, чем после первого тура) вместе с письменными обоснования- ми предельных значений (сохраняя при этом анонимность мнений). По- просить каждого из представивших письменные ответы учесть новые данные и аргументацию и при желании пересмотреть свою предыдущую оценку. Если в этом третьем туре пересмотренная оценка у данного члена группы будет ниже
Q
1 или выше
Q
3
, попросить его кратко обосновать, почему он счёл не заслуживающими внимания аргументы, которые могли бы его заставить сместить свою оценку ближе к средней.
5. Повторять эту процедуру столько раз, сколько представляется желательным координатору, или пока промежуток между
Q
1
и
Q
3
сузится до некоторой заранее установленной величины. Для этого обычно требу- ется всего три или четыре тура, поскольку аргументы скоро начинают повторяться. Далее берётся медиана как представляющая групповое мне- ние относительно того, каким должно быть значение
N.
Возможны и другие варианты метода Дельфы. Этот метод, предпола- гающий анонимность мнений, итеративную процедуру обработки резуль- татов, управляемую обратную связь, числовые оценки и статистическое определение групповой оценки, может стать ценным инструментом ис- следования для разработчиков имитационных моделей.
40
9. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Аналитическая модель технологического объекта обычно состоит из четырёх групп уравнений: 1) материального и теплового баланса; 2) гидро- динамики потоков; 3) термодинамического равновесия (для отсчёта дви- жущей силы процесса); 4) скоростей протекающих процессов (химических реакций, тепло- и массопередачи и др.). Уравнения второй и, особенно часто, третьей группы могут входить в математическую модель неявно.
Методика построения аналитического описания статики и динамики технологических объектов включает следующие этапы [3]:
1.
Изучение объекта. На данном этапе производится ознакомление с конструкцией технологического объекта и изучение протекающих в нём физико-хмических процессов (химического превращения, диффузии, теп- лопередачи и др.).
2.
Составление структурной схемы объекта. Исследуемый объект условно разделяется на ряд подсистем. В качестве подсистем в техноло- гических объектах обычно выделяют звенья, которые или являются по- вторяющимися элементами конструкции аппарата (например, царга ко- лонного аппарата, тарелка в ректификационной колонне, реактор- мешалка в каскаде реакторов и т.п.), или отличаются от других звеньев типом лимитирующего процесса, или конструктивно представляют само- стоятельную часть установки. Следует понимать, что «глубина» декомпо- зиции объекта на звенья зависит от уровня наших знаний о процессах, реальной возможности определения неизвестных параметров, возможно- сти решения полученных систем уравнений, целевого назначения матема- тических моделей статики и динамики.
С проблемой рациональной декомпозиции технологического объекта на звенья тесно связана задача принятия системы допущений. В общем случае обсуждаются и затем принимаются или отвергаются следующие важнейшие допущения: о стационарности процессов в звене; о сосредото- ченности или распределённости параметров; об (не)учёте тех или иных физико-химических явлений, имеющих место в данном звене.
В целом вся система допущений направлена, как правило, на упро- щение и обоснование принятой структурной схемы исследуемого объекта.
Допущения представляют компромисс между требуемой и желаемой точ- ностью описания статических и динамических свойств объекта и возмож- ностью как количественной оценки физико-химических явлений, так и решения получающихся уравнений математического описания.
3.
Составление математического описания отдельных звеньев. Для бесконечно малых объёма звена и промежутка времени записываются уравнения теплового и материального баланса в интегральной форме. За- тем с помощью теорем «о среднем» и «конечных приращений» осуществ- ляется переход к дифференциальной форме [8]. В математическое описа-
41
ние звена входят граничные условия для дифференциальных уравнений и связи с другими, соседними, звеньями – для конечных уравнений.
4. Определение параметров модели звена. Для нахождения коэффи- циентов и других параметров уравнений необходимо знать физико- химические свойства перерабатываемых веществ, константы скоростей химических реакций, коэффициенты диффузии, теплопередачи и т.д. Ра- зумеется, необходимо знать все определяющие геометрические размеры звеньев.
Часть интересующей нас информации можно найти в соответствую- щей технической и научной литературе, для определения же некоторых коэффициентов и констант требуется постановка специальных лаборатор- ных исследований.
5.
Составление и анализ уравнений модели всего технологического
объекта.
В математическое описание всего объекта входят уравнения отдель- ных звеньев и связей между ними, граничные и начальные условия, а также ограничения на диапазоны изменения входных и выходных переменных.
6. Выбор методов и разработка вычислительных алгоритмов ре-
шения уравнений математической модели.
7. Оценка точности математического описания объекта. Точ- ность описания статических и динамических свойств объекта аналитиче- ски составленными уравнениями может оцениваться величиной одного из приведённых ниже показателей:
∑∑
=
=
β
β
β
β
ω
⋅
−
=
n
i
d
i
i
i
y
y
nd
1 1
2
э
)
(
1
Ф
;
∫∑∑
=
=
β
β
β
β
ω
⋅
−
=
1 0
1 1
2
э
)
(
)
(
Ф
t
n
i
d
i
i
i
dt
t
y
t
y
, где
β
ω
i
– весовые множители
Для вычисления
2 1
Ф
,
Ф
на объекте проводится активный или пас- сивный эксперимент, заключающийся в регистрации d различных значе- ний входных и соответствующих им установившихся значений (статика) или переходных процессов (динамика) выходных э
β
i
y
переменных. Жела- тельно, чтобы независимые переменные варьировались во всем диапазо- не, допустимом технологическим регламентом. Весовые множители
β
ω
i
вводятся в функцию невязки для создания возможности сравнения разно- родных переменных при неравноточных их измерениях. Чем больше по- грешность измерения э
β
i
y
, тем меньше выбирается множитель
β
ω
i
В практических задачах далеко не всегда известны ошибки измерения э
β
i
y
, что делает невозможным объективный выбор весовых множителей.
При достаточно больших значениях
2 1
Ф
,
Ф
математическое описа- ние считается не адекватным объекту. В этом случае требуется изменение
42
структурной схемы объекта, т.е. включение в рассмотрение новых звень- ев, либо уточнение отдельных «сомнительных» параметров уравнений.
Эта операция может осуществляться постановкой дополнительных лабо- раторных опытов.
Вопрос о том, при каком «критическом» значении
2 1
Ф
,
Ф
считать математическое описание адекватным объекту, а при каком требовать уточнения уравнений, является исключительно сложным и, вероятно, не имеет однозначного ответа. Выбор такого «критического» значения функций невязок
2 1
Ф
,
Ф
тесно связан с целевым назначением математи- ческого описания, а также с представительностью выборки э
β
i
y
. В частном случае, когда э
β
i
y
– независимые случайные величины (процессы), для оценки случайного (неслучайного) характера расхождений между реше- ниями уравнений модели и опытными данными могут быть использованы статистические критерии значимости и согласия [4].
10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТРУКТУРЫ ПОТОКОВ
В ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ АППАРАТЕ
Математические модели структуры потоков в технологическом ап- парате являются основой, на которой строится математическое описание любого технологического процесса [10]. Однако точное описание реаль- ных потоков (например, с помощью уравнения Навье–Стокса) приводит к чрезвычайно трудным для постановки и решения задачам. Поэтому разра- ботанные к настоящему времени модели структуры потоков в аппаратах носят полуэмпирический характер. Тем не менее, они позволяют получить модели, с достаточной для практики точностью отражающие физические процессы.
При осуществлении технологических процессов необходимо знать степень полноты их завершения, которая зависит от времени пребывания частиц (элементов, долей) потока в аппарате, которое, разумеется, нерав- номерно и имеет стохастическую природу. Наиболее существенными ис- точниками неравномерности распределения частиц потока по их времени пребывания в промышленных аппаратах являются: 1) неравномерность профиля скоростей потока; 2) турбулизация потоков; 3) наличие застойных областей в аппарате; 4) каналообразование, байпасные и перекрестные токи в аппарате; 5) температурные градиенты движущихся сред (потоков);
6) тепло- и массообмен между фазами и т.п.
Для процессов массопередачи описание структуры потоков в аппара- тах важно ещё и потому, что позволяет установить перемещение и рас- пределение веществ, находящихся в этих потоках. Поэтому все уравнения гидродинамических моделей потоков составляются преимущественно относительно изменения концентрации вещества в потоке.
43
Экспериментальный (импульсный) метод исследования струк-
туры потоков в аппарате.
Сущность экспериментального метода иссле- дования структуры потоков в реальном аппарате заключается в том, что в поток на входе его в аппарат каким-либо способом вводят индикатор, а на выходе потока из аппарата регистрируют изменение концентрации инди- катора в зависимости от времени. Полученную таким образом функцию отклика аппарата на ввод индикатора (типовое возмущение по составу потока) обрабатывают по специальной методике и получают нормирован- ную функцию распределения частиц (элементов, долей) потока по их времени пребывания в технологическом аппарате, которую в дальнейшем используют в расчётах технологических процессов и аппаратов или для построения близкой к реальной гидродинамической модели, составленной из комбинации типовых моделей гидродинамики (идеального смешения и вытеснения, диффузионной модели, ячеечной модели и т.п.).
Если принятая модель соответствует реальной структуре потоков, то экспериментальная функция отклика может рассматриваться как график решения уравнений модели при соответствующих начальных и граничных условиях. Сравнивая решение уравнений модели с экспериментальной функцией отклика на типовые (например, импульсные) возмущения, можно определить неизвестные параметры модели.
В качестве индикаторов используют растворы солей и кислот, изото- пы, реже красители и другие вещества, которые не вступают во взаимо- действие с веществами основного потока и могут быть измерены с помо- щью приборов. Ввод индикаторов осуществляют в виде стандартных сиг- налов: импульсного, ступенчатого, циклического и т.п.
Рассмотрим импульсный метод исследования структуры потока в аппарате, в соответствии с которым определённое количество индикатора на входе в аппарат вводят в виде дельта-функции.
Определение. Импульсной
δ-функцией называется функция, рав- ная нулю всюду, кроме начала координат, принимающая бесконечное значение в начале координат, и при этом интеграл от неё равен единице:
⎩
⎨
⎧
∞
=
δ
0
)
(t
при t
≠ 0;
∫
ε
ε
−
=
δ
1
)
( dt
t
при любом
ε > 0. при t = 0;
Предположим, что с помощью специального устройства в поток на входе в аппарат практически мгновенно ввели определённое количество q индикатора и определили (с помощью регистрирующего прибора) функ- цию отклика на это импульсное возмущение, изображённую на рис. 13.
Построим экспериментальную кривую C
э
(t) в координатах C(
θ) – θ, где
t
t
=
θ
– безразмерное время; t – среднее время пребывания элементов потока в аппарате. Для этого необходимо вначале определить нормиро-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
44
ванную С-кривую по формуле
∫
∞
=
0
э э
)
(
)
(
)
(
dt
t
C
t
C
t
C
и затем вычислить
t
t
C
C
⋅
=
θ
)
(
)
(
Среднее время пребывания элементов потока в аппарате пред- ставляет собой случайную величину и по определению его можно вычис- лить следующим образом:
∫
∞
=
0
)
( dt
t
tC
t
Получив таким образом нормированную С-кривую (ПРВП элементов потока), мы теперь фактически можем распределить всю совокупность элементов (долей) потока по их времени пребывания в аппарате. В самом деле, доля потока, время пребывания которой в аппарате изменяется от
θдо θ + Δθ, равна величине
∫
θ
Δ
+
θ
θ
θ
θ d
C )
(
. Естественно, что
1
)
(
0
=
θ
θ
∫
∞
d
C
Всё многообразие структур потоков в аппарате можно формализо- вать с помощью тех или иных комбинаций типовых математических мо- делей: идеального смешения, идеального вытеснения, диффузионной, яче- ечной, комбинированной и т.п. Рассмотрим эти модели более подробно.
Модель идеального смешения.
Модель идеального смешения соот- ветствует гидродинамике аппарата, в котором поступающий в него инди- катор мгновенно распределяется по всему его объёму, т.е. в каждой точке аппарата и на выходе из него концентрации индикатора будут равны.
Уравнение модели идеального смешения представляет собой диффе- ренциальное уравнение первого порядка
)
(
вх
с
c
G
dt
dc
V
−
=
(10.1) с начальным условием
V
q
с
с
=
=
н
)
0
(
, (10.2)
7 14 21 28 35 42 49 t, мин
c, г/л
8 6
4 2
0
Рис. 13. Типичная функция
отклика аппарата
на импульсное возмущение
45
где V – объём аппарата; с
вх
– кон- центрация индикатора в потоке на входе в аппарат; G – объёмная ско- рость (расход) потока, поступаю- щего и выходящего из аппарата идеального перемешивания; q – количество мгновенно введённого индикатора в поток на входе в ап- парат; с – концентрация индикатора в аппарате (зона идеального пере- мешивания) и на выходе из него.
При импульсном вводе инди- катора он мгновенно распределя- ется по всему объёму аппарата и начинается его «вымывание», при этом начальная концентрация индикатора в аппарате равна
V
q
c
/
н
=
. Отклик модели идеального смешения на импульсное возмущение (решение дифференциального уравнения (10.1) с начальным условием (10.2)) со- ответствует убывающей экспоненциальной зависимости (см. рис. 14) и имеет вид:
t
t
e
c
t
c
/
н
)
(
−
=
Модель идеального вытеснения.
В основе модели идеального вы- теснения лежит допущение о поршневом течении потока без перемеши- вания в продольном направлении при равномерном распределении ин- дикатора в направлении, перпендикулярном движению. Время пребыва- ния всех элементов потока в таком (например, трубчатом) аппарате оди- наково.
Уравнение модели идеального вытеснения записывается в виде диф- ференциального уравнения с частными производными
0
=
∂
∂
ϑ
+
∂
∂
l
c
t
c
, (10.3) решение которого должно удовлетворять начальному условию
)
(
)
,
0
(
н l
l
c
c
=
при
L
t
≤
≤
=
l
0
,
0
(10.4) и граничному условию
)
(
)
(
)
0
,
(
вх
t
V
q
t
c
t
c
δ
⋅
=
=
при
0
,
0
>
=
t
x
. (10.5)
Отклик модели идеального вытеснения на импульсное возмущение
(решение дифференциального уравнения (10.3) с условиями (10.4), (10.5)) приведён на рис. 15 и имеет вид:
С(t)
t
с
н
Рис. 14. Функция отклика аппарата
при идеальном перемешивании
входящего в него потока
46
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
ϑ
≥
ϑ
−
ϑ
<
ϑ
−
=
=
),
(
;
),
(
)
,
(
)
(
вх н
вых
L
t
L
t
с
L
t
t
L
c
L
t
c
t
c
Из решения следует, что любое изменение концентрации индикатора на входе в аппарат идеального вытеснения появляется на его выходе через время, равное среднему времени пребывания
ϑ
=
L
t
, где L – длина аппара- та;
ϑ
– скорость потока.
Диффузионная модель.
В основе диффузионной модели лежит до- пущение о том, что структура потоков в аппарате описывается уравнени- ем, аналогичным уравнению молекулярной диффузии. Основой данной модели служит модель идеального вытеснения, осложнённая обратным перемешиванием, описываемым формальным законом диффузии.
При составлении однопараметрической диффузионной модели при- нимаются следующие допущения: изменение концентрации субстанции является непрерывной функцией координаты (расстояния); концентрация субстанции в данном сечении постоянна; объёмная скорость потока и ко- эффициент продольного перемешивания не изменяются по длине и сече- нию потока. При таких допущениях уравнение диффузионной модели представляет дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа
2 2
t
c
D
c
t
c
∂
∂
+
∂
∂
ϑ
−
=
∂
∂
l l
. (10.6)
с(t)
t
с
н
)
(
)
(
t
V
q
t
c
вх
δ
⋅
=
)
( t
c вых
ϑ
=
L
t
Рис. 15. Отклик модели идеального вытеснения
на импульсное возмущение
47
Уравнение (10.6) отличается от уравнения (10.3) введением дополни- тельного члена
2 2
l l
∂
∂ c
D
, учитывающего турбулентную диффузию или пе- ремешивание.
Вывод уравнения (10.6).Согласно закону Нернста масса вещества dq, протекающего через сечение l
за промежуток времени (t, t +
Δt), равна
,
)
,
(
Sdt
t
x
c
D
dq
l l
∂
∂
−
=
где S – площадь поперечного сечения аппарата. По определению концен- трации, количество вещества q с концентрацией c в объёме V равно
cV
q
=
, отсюда получаем, что изменение массы вещества на участке аппарата
)
,
(
2 1
l l
при изменении концентрации на
c
Δ
равно
∫
Δ
=
Δ
2 1
l
l
cSd
q
l
Составим уравнение баланса массы вещества на участке
)
,
(
2 1
l l
за промежуток времени
)
,
(
2 1
t
t
:
[
]
[
]
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
2 1
2 1
2 1
1 2
1 2
1 1
2 2
l l
l l
l l
l l
l l
l l
d
t
c
t
c
S
dt
t
c
t
c
S
dt
t
c
l
D
t
c
D
S
t
t
t
t
l
l
∫
∫
∫
−
⋅
=
−
ϑ
−
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
⋅
−
∂
∂
⋅
⋅
(10.7) которое представляет собой уравнение диффузии в интегральной форме.
Чтобы получить уравнение диффузии в дифференциальной форме, предположим, что функция
)
,
( t
c l имеет непрерывные производные
t
c
c
,
ll
. Требуя дифференцируемости функции
)
,
( t
c l
, мы можем поте- рять ряд возможных решений, удовлетворяющих дифференциальному уравнению. Однако в случае уравнений диффузии и теплопроводности мы фактически не теряем возможных решений, так как можно доказать, что если функция удовлетворяет уравнению (10.7), то она обязательно должна быть дифференцируема.
Пользуясь теоремой о среднем, получаем равенство
48
(
)
[
]
[
]
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1 2
)
,
(
)
,
(
2 1
1 1
2 1
2 2
1 2
2 1
1 1
1 2
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
Δ
⋅
−
=
Δ
⋅
−
⋅
ϑ
−
−
Δ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
⋅
−
∂
∂
⋅
∈
=
∈
=
=
=
∈
=
=
=
t
c
t
c
t
t
c
t
c
t
l
t
c
D
l
t
c
D
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
которое с помощью теоремы о конечных приращениях можно преобразо- вать к виду
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2 1
3 1
3 2
1 3
3 2
2 1
2 2
1
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
Δ
⋅
Δ
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=
Δ
⋅
Δ
×
×
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
⋅
ϑ
−
Δ
⋅
Δ
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
⋅
∂
∂
∈
=
=
∈
=
=
∈
=
=
t
t
c
t
t
c
t
l
t
c
D
t
t
t
l
l
t
t
t
t
t
t
где
3 2
1 3
2 1
,
,
,
,
,
l l
l
t
t
t
– промежуточные точки интервалов
)
,
(
2 1
t
t
и
)
,
(
2 1
l l
Отсюда после сокращения на произведение l
Δ
⋅
Δt
находим:
)
,
(
)
,
(
1 3
3 2
2 1
l l
l l
l l
l l
l l
l l
=
=
=
=
=
=
∂
∂
=
∂
∂
⋅
ϑ
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
⋅
∂
∂
t
t
t
t
t
t
t
c
t
c
t
c
D
Все наши рассуждения относились к произвольным интервалам
)
,
(
2 1
t
t
и
)
,
(
2 1
l l
. Переходя к пределу при l
l l
→
2 1
,
и
t
t
t
→
2 1
,
, полу- чим дифференциальное уравнение диффузии:
2 2
l l
l
∂
∂
⋅
+
∂
∂
⋅
ϑ
−
=
∂
∂
c
D
c
t
c
(10.8)
Далее остановимся на начальных и граничных условиях. В качестве начального условия обычно задаётся профиль концентрации индикатора по длине аппарата в начальный момент времени:
)
(
)
,
0
(
н l
l
c
c
=
при
0
=
t
. (10.9)
Граничные условия обычно задают из условия выполнения матери- альных балансов на концах аппарата (условия по Данквертсу). Рассмот- рим левый конец трубчатого аппарата, в который поступает поток с неко- торой средней скоростью
ϑ
(рис. 16). Сумма потоков веществ, подходя-
49
щих к границе
0
=
l
, должна быть равна потоку вещества, отходящего от границы, т.е.
,
вх
c
d
dc
D
c
ϑ
=
+
ϑ
l l
или
0
)
(
вх
=
+
−
ϑ
l l
d
dc
D
c
c
(10.10)
Аналогично для правого конца аппарата имеем:
,
)
(
вых l
l
d
dc
D
c
c
=
−
ϑ
(10.11)
На практике часто принимают вых
с
с
≈
. С учётом этого граничное условие (10.11) примет вид:
0
=
l
d
dc
(10.12)
Условия (10.10) – (10.12) называются граничными условиями по
Данквертсу.
Наряду с рассмотренной выше однопараметрической диффузионной моделью используется двухпараметрическая диффузионная модель. От- личие её состоит в том, что перемешивание потока учитывается как в продольном, так и в радиальном направлениях. Параметрами модели яв- ляются коэффициенты продольного l
D
и радиального
r
D
перемешива- ния. Будем считать, что коэффициенты l
D
и
r
D
не изменяются по длине и сечению аппарата, а скорость потока постоянна. В этом случае уравне- ние двухпараметрической диффузионной модели при движении потока в аппарате цилиндрической формы имеет вид:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅
∂
∂
⋅
+
∂
∂
⋅
+
∂
∂
⋅
ϑ
−
=
∂
∂
r
c
r
r
r
D
c
D
c
t
c
r
2 2
l l
l
(10.13) с начальным и граничным условиями, например:
0
)
,
,
0
(
=
r
c
l при
0
=
t
, (10.14)
)
0
(
)
0
,
0
,
(
0
δ
= c
t
c
при
0
,
0
=
=
r
l
, (10.15)
0
)
,
,
(
=
∂
∂
r
R
t
c
l при
R
r
=
, (10.16)
0
)
,
0
,
(
)
,
0
,
(
=
∂
∂
−
⋅
ϑ
x
r
t
c
D
r
t
c
l
при
0
=
l
, (10.17)
S
c
⋅
ϑ
⋅
вх
r
l
Рис. 16. Схема потоков
у левого конца аппарата
S
d
dc
D
⋅
⋅
l l
S
c
⋅
ϑ
⋅
вх