Файл: Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 82
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Имеются три разных вида компонен- тов, составляющих основные функциональные блоки сложных систем:
1) элементы преобразования, в которых один или несколько входных сиг-
17
налов, будучи обработанными некоторым наперед заданным образом, преобразуются в один или несколько выходных сигналов; 2) элементы сортировки, в которых один или несколько входных сигналов распреде- ляются (сортируются) по двум или нескольким разным выходам;
3) элементы обратной связи, в которых входной сигнал некоторым обра- зом меняется в зависимости от выходного сигнала.
При решении вопроса о том, какие компоненты надо включить, а ка- кие исключить, важным соображением является число переменных, кото- рые необходимо включить в модель. Определить число выходных пере- менных, как правило, не трудно, если хорошо проработан вопрос о целях и назначении исследования. Трудности возникают при определении, ка- кие входные переменные и переменные состояния вызывают наблюдае- мые эффекты и какими из этих переменных необходимо манипулировать, чтобы получить желаемые эффекты. К тому же здесь мы сталкиваемся с противоречием: с одной стороны, мы стремимся сделать модель как мож- но проще, чтобы облегчить её понимание, упростить задачу её конструи- рования и повысить эффективность компьютерного моделирования; с другой стороны, мы хотим получить как можно более точную модель.
Следовательно, реальную технологическую систему необходимо упро- щать до тех пор, пока это не приводит к существенной потере точности.
Если решено, какие компоненты и переменные мы включаем в нашу модель, необходимо далее определить функциональные связи между ни- ми, а также значения используемых параметров. При этом перед нами снова встают труднопреодолимые проблемы. Во-первых, может быть трудно (а то и просто невозможно) количественно определить или изме- рить некоторые переменные, важные для поведения технологической сис- темы. Во-вторых, соотношения между компонентами и переменными мо- гут быть неопределёнными. В-третьих, необходимая нам информация и числовые данные могут либо отсутствовать, либо быть в непригодном для использования виде. Все эти обстоятельства более подробно мы рассмот- рим в следующих разделах пособия.
По методу составления уравнений (функциональных зависимостей F,
f
) ММ можно подразделить на формальные (эмпирические, регрессион- ные) и неформальные (аналитические). При построении эмпирических
(регрессионных) ММ структура функциональных зависимостей
,
F f зада-
ётся на основе некоторых формальных соображений, не имеющих связи с типом технологического объекта, его конструктивными особенностями, механизмами протекающих процессов. Задание
,
F
f
в формальных ММ производится с учётом удобства последующего использования уравнений или простоты определения вектора a по экспериментальным данным.
Под удобством использования ММ понимается возможность получения аналитического решения
)
,
( a
x
y
или экономичного нахождения прибли- жённого решение на ЭВМ.
18
Следует отметить, что формальные ММ применяют для описания стационарных и нестационарных объектов только с сосредоточенными координатами. При этом модели динамики, как правило, выбираются ли- нейными, а уравнения статики задаются в таком виде, чтобы решение
y(x, a) было линейным по a.
При построении неформальных (аналитических) ММ функции F, f выводят на основе теоретического анализа физико-химических процессов, происходящих в технологическом объекте.
При выводе уравнений ММ технологических объектов учитывают:
− гидродинамические режимы перемещения веществ;
− скорости химических превращений, диффузии, передачи тепла, хемосорбции и т.д.;
− уравнения материального и энергетического (теплового) баланса;
− уравнения фазовых превращений и др.
В функции F, f входят (в явной или косвенной форме) основные кон- структивные размеры аппарата (поверхность теплообмена, диаметры и длины труб реакторов, объёмы и число реакторов смешения и т.п.). Чем детальнее и полнее неформальная ММ, тем сложнее структуры F, f и вы- ше размерность вектора a, компонентами которого являются параметры уравнений кинетики (константы скоростей, энергии активации, коэффи- циенты тепло- и массоотдачи, диффузии и т.п.) и характеристики веществ
(теплоёмкости, плотности и т.д.).
В процессе вывода уравнений ММ приходится применять ряд допу- щений, например, об (не)учёте некоторых физико-химических процессов, протекающих в технологическом объекте. Вследствие этого составлению
ММ предшествует трудоёмкий этап экспериментального исследования этих процессов на лабораторных установках с целью определения уравне- ний кинетики и оценки значимости скоростей этих процессов. В зависи- мости от принимаемых допущений ММ одного и того же технологического объекта могут иметь существенно различный вид. Тем более могут разли- чаться структуры функций F, f неформальных ММ объектов разного типа.
Неформальные ММ технологических объектов, как правило, нели- нейны, нахождение их приближённых решений y(x, a,
ξ) обычно осущест- вляется численными методами на ЭВМ. Решения y(x, a,
ξ) чаще всего не- линейны по a, что значительно затрудняет определение параметра по экс- периментальным данным.
Неформальные ММ технологических объектов содержат разнообраз- ную и обширную информацию о конструкциях объектов, механизмах и скоростях протекающих в них физико-химических процессов. Это позво- ляет использовать неформальные ММ для исследования на ЭВМ техноло- гических объектов, оптимизации режимов их работы, оптимального про- ектирования объектов, оптимального управления ими.
19
Методы построения ММ технологических объектов
Экспериментальный
Комбинированный
Аналитический
Вектор параметров a определён по y
э
, х
э
, полученным на специальных лабораторных установках
Вектор параметров a определён по y
э
, х
э
, полученным на технологическом объекте
Неформальные модели
F, f
Формальные модели
F, f
Рис. 5. Схема классификации методов построения ММ
В зависимости от способа построения F, f и определения вектора па- раметров a можно указать три метода построения ММ технологических объектов (рис. 5): экспериментальный, аналитический и комбинирован- ный [3].
При экспериментальном методе построения формальных ММ пара- метры a определяются по опытным данным у
э
, х
э
, полученным на дейст- вующем объекте.
Построенные экспериментальным методом ММ не нуждаются в про- верке на адекватность, но они справедливы только для того объекта, на котором проводились опыты.
Аналитический метод построения ММ заключается в теоретическом расчёте или определении параметра a неформальных уравнений статики и динамики по опытным данным у
э
, х
э
, которые получены при исследовании отдельных физико-химических процессов, происходящих в объекте, на лабораторных установках. В ММ, построенных аналитическим методом, параметр a имеет отчётливую физическую трактовку и представляет со- бой самостоятельную ценность, так как может быть использован в других задачах. Поэтому к задаче определения вектора параметра a предъявляют следующие требования: единственности a, устойчивости a к ошибкам измерения у
э и расчёта; адекватности ММ объекту.
Комбинированный (экспериментально-аналитический) метод по- строения ММ заключается в нахождении параметра a неформальных
20
уравнений статики и динамики по сигналам у
э
, х
э
, полученным на дейст- вующем объекте. Параметр а в таких ММ имеет физическую трактовку, поэтому к задаче определения вектора a предъявляют те же требования, что и при аналитическом методе.
Математические модели, построенные экспериментальным и комби- нированным методами, используются для оптимизации статических ре- жимов действующего объекта, оптимального проектирования технологиче- ских объектов и конструирования систем автоматического управления ими.
5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Основным принципом моделирования технологических систем, со- держащих стохастические или вероятностные элементы, является разыг- рывание выборок по методу Монте-Карло. В этом методе данные предше- ствующего опыта вырабатываются искусственно путём использования не- которого генератора случайных чисел в сочетании с интегральной функци- ей распределения вероятностей для исследуемого процесса. Таким генера- тором может быть подпрограмма ЭВМ или какой-либо другой источник равномерно распределённых случайных чисел. Подлежащее разыгрыванию распределение вероятностей может быть основано на эмпирических данных или представлять собой известное теоретическое распределение. Случай- ные числа используются для получения дискретного ряда случайных пере- менных, имитирующего результаты, которые можно было бы ожидать в соответствии с разыгрываемым вероятностным распределением.
Способ применения метода Монте-Карло довольно прост. Чтобы по- лучить искусственную случайную выборку из совокупности величин, описываемую некоторой функцией распределения вероятностей, следует обеспечить возможность получения равномерно распределённых случай- ных чисел и далее использовать эти числа для генерации случайных вели- чин с требуемыми характеристиками. Библиотеки программ большинства
ЭВМ включают с этой целью специальные стандартные программы для наиболее распространённых законов распределения. При разработке ими- тационной модели, содержащей стохастические или вероятностные эле- менты, всегда возникает вопрос, следует ли при методе Монте-Карло применять непосредственно эмпирические данные или же нужно восполь- зоваться одним из теоретических распределений. Этот вопрос очень ва- жен и фундаментален по трём причинам. Во-первых, при использовании
«сырых» эмпирических данных подразумевается, что моделируется толь- ко прошлое. Данные, полученные вчера, строго говоря, отображают лишь вчерашнее поведение системы; возможными событиями оказываются только те, что уже произошли. Следовательно, необходимо предполо- жить, что основная форма распределения вероятностей останется неиз-
21
менной во времени и что его особенности, относящиеся к определённому периоду времени, будут повторяться. Во-вторых, использование теорети- ческого распределения в большинстве случаев даёт лучшие результаты с точки зрения затрат машинного времени и требуемого объёма памяти
ЭВМ. В-третьих, при использовании теоретического распределения го- раздо легче изменять параметры генератора случайных чисел, когда требу- ется проверить чувствительность модели или «проиграть» на ней различ- ные возможные ситуации. Поэтому целесообразно сразу же проверить, не согласуются ли имеющиеся эмпирические данные с известным теоретиче- ским распределением (на статистически приемлемом доверительном уров- не). Если да, то следует воспользоваться теоретическим распределением.
Для проверки совместимости экспериментальных данных (гисто- грамм) с некоторым теоретическим распределением исследователь под- бирает одно или несколько теоретических распределений (например, нор- мальное, Пуассона, биномиальное, экспоненциальное, гамма-распределе- ние и т.д.). После этого ему следует определить параметры распределения с тем, чтобы подвергнуть их проверке по статистическим критериям.
Для статистической оценки гипотезы о том, что совокупность эмпи- рических или выборочных данных незначительно отличается от той, ко- торую можно ожидать при некотором теоретическом законе распределе- ния, применяется критерий «хи-квадрат», предложенный Пирсоном.
В этом случае статистика
2
χ
определяется выражением
,
/
)
(
2 0
2
l
l
f
f
f
−
=
χ
∑
где
−
0
f
наблюдаемая частота для каждой группы или интервала;
−
l
f
ожидаемая частота для каждой группы или интервала;
∑
− сумма, предсказанная теоретическим распределением, по всем группам или ин- тервалам.
Если
0 2
=
χ
, то наблюдаемые и теоретически предсказанные значения частот точно совпадают; если
0 2
>
χ
, то полного совпадения нет.
В последнем случае мы должны сравнивать наши расчётные значения с табличными (критическими) значениями
2
χ
, полученными Фишером для различных чисел степеней свободы и уровней доверительной вероятности
α
−
1
. При практическом использовании этой статистики высказывается так называемая нулевая гипотеза
0
H
о том, что между наблюдаемым и ожи- даемым теоретическим распределением с теми же параметрами нет значи- тельных расхождений. Если расчётная величина
2
χ
оказывается больше критического табличного значения, то можно заключить, что при данном
22
уровне доверительной вероятности наблюдаемые частоты значительно от- личаются от ожидаемых, и тогда следовало бы отвергнуть гипотезу
0
H
Ещё один широко используемый критерий для статистической про- верки гипотез был предложен Смирновым и Колмогоровым. Он приме- няется в тех случаях, когда применяемое распределение непрерывно.
Проверка осуществляется путём задания интегральной функции, сле- дующей из теоретического распределения, и её сравнения с интеграль- ной функцией распределения эмпирических данных. Сравнение основы- вается на выборочной группе, в которой экспериментальное распреде- ление имеет наибольшее абсолютное отклонение от теоретического. Да- лее эта абсолютная разность сопоставляется с критическими значениями с целью определения, может ли такое отклонение быть случайным при данном законе распределения.
Естественно возникает вопрос, когда следует пользоваться критери- ем
2
χ
, а когда критерием Смирнова–Колмогорова? При относительно малых объёмах выборок критерий
2
χ
вообще неприменим и следует пользоваться критерием Смирнова–Колмогорова. Однако, если объём выборки велик, предпочтителен, по всей вероятности, критерий
2
χ
Во многих подсистемах технологического объекта имеет место функциональная связь между двумя или более переменными, и желатель- но эту связь выявить. Чаще всего эта связь чрезвычайно сложна или со- вершенно не известна. В таких случаях мы можем столкнуться с необхо- димостью ввести некоторую гипотезу о характере функциональной зави- симости, т.е. аппроксимировать её некоторым относительно простым ма- тематическим выражением, например, многочленом. Для поиска таких функциональных или структурных зависимостей между двумя или более переменными по накопленным экспериментальным данным весьма по- лезны методы регрессионного и корреляционного анализа [4]. Регресси- онный анализ даёт возможность построить, исходя из имеющейся совокуп- ности экспериментальных данных, уравнение, вид которого задаёт исследо- ватель, а корреляционный анализ позволяет судить о том, насколько хоро- шо экспериментальные данные согласуются с выбранным уравнением
(«ложатся» на соответствующую кривую).
Экспериментальный метод заключается в проведении на действую- щем объекте эксперимента (подаче экспериментального сигнала х
э и запи- си реакции на него выходных координат у
э
) и аппроксимации опытных данных х
э
, у
э некоторой формальной математической зависимостью F.
Структура F не зависит явно от свойств перерабатываемых в объекте ве- ществ и характеристик физико-химических процессов.
В зависимости от способа задания х
э различают активные и пассив- ные экспериментальные методы. В активных методах экспериментатор
1) элементы преобразования, в которых один или несколько входных сиг-
17
налов, будучи обработанными некоторым наперед заданным образом, преобразуются в один или несколько выходных сигналов; 2) элементы сортировки, в которых один или несколько входных сигналов распреде- ляются (сортируются) по двум или нескольким разным выходам;
3) элементы обратной связи, в которых входной сигнал некоторым обра- зом меняется в зависимости от выходного сигнала.
При решении вопроса о том, какие компоненты надо включить, а ка- кие исключить, важным соображением является число переменных, кото- рые необходимо включить в модель. Определить число выходных пере- менных, как правило, не трудно, если хорошо проработан вопрос о целях и назначении исследования. Трудности возникают при определении, ка- кие входные переменные и переменные состояния вызывают наблюдае- мые эффекты и какими из этих переменных необходимо манипулировать, чтобы получить желаемые эффекты. К тому же здесь мы сталкиваемся с противоречием: с одной стороны, мы стремимся сделать модель как мож- но проще, чтобы облегчить её понимание, упростить задачу её конструи- рования и повысить эффективность компьютерного моделирования; с другой стороны, мы хотим получить как можно более точную модель.
Следовательно, реальную технологическую систему необходимо упро- щать до тех пор, пока это не приводит к существенной потере точности.
Если решено, какие компоненты и переменные мы включаем в нашу модель, необходимо далее определить функциональные связи между ни- ми, а также значения используемых параметров. При этом перед нами снова встают труднопреодолимые проблемы. Во-первых, может быть трудно (а то и просто невозможно) количественно определить или изме- рить некоторые переменные, важные для поведения технологической сис- темы. Во-вторых, соотношения между компонентами и переменными мо- гут быть неопределёнными. В-третьих, необходимая нам информация и числовые данные могут либо отсутствовать, либо быть в непригодном для использования виде. Все эти обстоятельства более подробно мы рассмот- рим в следующих разделах пособия.
По методу составления уравнений (функциональных зависимостей F,
f
) ММ можно подразделить на формальные (эмпирические, регрессион- ные) и неформальные (аналитические). При построении эмпирических
(регрессионных) ММ структура функциональных зависимостей
,
F f зада-
ётся на основе некоторых формальных соображений, не имеющих связи с типом технологического объекта, его конструктивными особенностями, механизмами протекающих процессов. Задание
,
F
f
в формальных ММ производится с учётом удобства последующего использования уравнений или простоты определения вектора a по экспериментальным данным.
Под удобством использования ММ понимается возможность получения аналитического решения
)
,
( a
x
y
или экономичного нахождения прибли- жённого решение на ЭВМ.
18
Следует отметить, что формальные ММ применяют для описания стационарных и нестационарных объектов только с сосредоточенными координатами. При этом модели динамики, как правило, выбираются ли- нейными, а уравнения статики задаются в таком виде, чтобы решение
y(x, a) было линейным по a.
При построении неформальных (аналитических) ММ функции F, f выводят на основе теоретического анализа физико-химических процессов, происходящих в технологическом объекте.
При выводе уравнений ММ технологических объектов учитывают:
− гидродинамические режимы перемещения веществ;
− скорости химических превращений, диффузии, передачи тепла, хемосорбции и т.д.;
− уравнения материального и энергетического (теплового) баланса;
− уравнения фазовых превращений и др.
В функции F, f входят (в явной или косвенной форме) основные кон- структивные размеры аппарата (поверхность теплообмена, диаметры и длины труб реакторов, объёмы и число реакторов смешения и т.п.). Чем детальнее и полнее неформальная ММ, тем сложнее структуры F, f и вы- ше размерность вектора a, компонентами которого являются параметры уравнений кинетики (константы скоростей, энергии активации, коэффи- циенты тепло- и массоотдачи, диффузии и т.п.) и характеристики веществ
(теплоёмкости, плотности и т.д.).
В процессе вывода уравнений ММ приходится применять ряд допу- щений, например, об (не)учёте некоторых физико-химических процессов, протекающих в технологическом объекте. Вследствие этого составлению
ММ предшествует трудоёмкий этап экспериментального исследования этих процессов на лабораторных установках с целью определения уравне- ний кинетики и оценки значимости скоростей этих процессов. В зависи- мости от принимаемых допущений ММ одного и того же технологического объекта могут иметь существенно различный вид. Тем более могут разли- чаться структуры функций F, f неформальных ММ объектов разного типа.
Неформальные ММ технологических объектов, как правило, нели- нейны, нахождение их приближённых решений y(x, a,
ξ) обычно осущест- вляется численными методами на ЭВМ. Решения y(x, a,
ξ) чаще всего не- линейны по a, что значительно затрудняет определение параметра по экс- периментальным данным.
Неформальные ММ технологических объектов содержат разнообраз- ную и обширную информацию о конструкциях объектов, механизмах и скоростях протекающих в них физико-химических процессов. Это позво- ляет использовать неформальные ММ для исследования на ЭВМ техноло- гических объектов, оптимизации режимов их работы, оптимального про- ектирования объектов, оптимального управления ими.
19
Методы построения ММ технологических объектов
Экспериментальный
Комбинированный
Аналитический
Вектор параметров a определён по y
э
, х
э
, полученным на специальных лабораторных установках
Вектор параметров a определён по y
э
, х
э
, полученным на технологическом объекте
Неформальные модели
F, f
Формальные модели
F, f
Рис. 5. Схема классификации методов построения ММ
В зависимости от способа построения F, f и определения вектора па- раметров a можно указать три метода построения ММ технологических объектов (рис. 5): экспериментальный, аналитический и комбинирован- ный [3].
При экспериментальном методе построения формальных ММ пара- метры a определяются по опытным данным у
э
, х
э
, полученным на дейст- вующем объекте.
Построенные экспериментальным методом ММ не нуждаются в про- верке на адекватность, но они справедливы только для того объекта, на котором проводились опыты.
Аналитический метод построения ММ заключается в теоретическом расчёте или определении параметра a неформальных уравнений статики и динамики по опытным данным у
э
, х
э
, которые получены при исследовании отдельных физико-химических процессов, происходящих в объекте, на лабораторных установках. В ММ, построенных аналитическим методом, параметр a имеет отчётливую физическую трактовку и представляет со- бой самостоятельную ценность, так как может быть использован в других задачах. Поэтому к задаче определения вектора параметра a предъявляют следующие требования: единственности a, устойчивости a к ошибкам измерения у
э и расчёта; адекватности ММ объекту.
Комбинированный (экспериментально-аналитический) метод по- строения ММ заключается в нахождении параметра a неформальных
20
уравнений статики и динамики по сигналам у
э
, х
э
, полученным на дейст- вующем объекте. Параметр а в таких ММ имеет физическую трактовку, поэтому к задаче определения вектора a предъявляют те же требования, что и при аналитическом методе.
Математические модели, построенные экспериментальным и комби- нированным методами, используются для оптимизации статических ре- жимов действующего объекта, оптимального проектирования технологиче- ских объектов и конструирования систем автоматического управления ими.
5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Основным принципом моделирования технологических систем, со- держащих стохастические или вероятностные элементы, является разыг- рывание выборок по методу Монте-Карло. В этом методе данные предше- ствующего опыта вырабатываются искусственно путём использования не- которого генератора случайных чисел в сочетании с интегральной функци- ей распределения вероятностей для исследуемого процесса. Таким генера- тором может быть подпрограмма ЭВМ или какой-либо другой источник равномерно распределённых случайных чисел. Подлежащее разыгрыванию распределение вероятностей может быть основано на эмпирических данных или представлять собой известное теоретическое распределение. Случай- ные числа используются для получения дискретного ряда случайных пере- менных, имитирующего результаты, которые можно было бы ожидать в соответствии с разыгрываемым вероятностным распределением.
Способ применения метода Монте-Карло довольно прост. Чтобы по- лучить искусственную случайную выборку из совокупности величин, описываемую некоторой функцией распределения вероятностей, следует обеспечить возможность получения равномерно распределённых случай- ных чисел и далее использовать эти числа для генерации случайных вели- чин с требуемыми характеристиками. Библиотеки программ большинства
ЭВМ включают с этой целью специальные стандартные программы для наиболее распространённых законов распределения. При разработке ими- тационной модели, содержащей стохастические или вероятностные эле- менты, всегда возникает вопрос, следует ли при методе Монте-Карло применять непосредственно эмпирические данные или же нужно восполь- зоваться одним из теоретических распределений. Этот вопрос очень ва- жен и фундаментален по трём причинам. Во-первых, при использовании
«сырых» эмпирических данных подразумевается, что моделируется толь- ко прошлое. Данные, полученные вчера, строго говоря, отображают лишь вчерашнее поведение системы; возможными событиями оказываются только те, что уже произошли. Следовательно, необходимо предполо- жить, что основная форма распределения вероятностей останется неиз-
21
менной во времени и что его особенности, относящиеся к определённому периоду времени, будут повторяться. Во-вторых, использование теорети- ческого распределения в большинстве случаев даёт лучшие результаты с точки зрения затрат машинного времени и требуемого объёма памяти
ЭВМ. В-третьих, при использовании теоретического распределения го- раздо легче изменять параметры генератора случайных чисел, когда требу- ется проверить чувствительность модели или «проиграть» на ней различ- ные возможные ситуации. Поэтому целесообразно сразу же проверить, не согласуются ли имеющиеся эмпирические данные с известным теоретиче- ским распределением (на статистически приемлемом доверительном уров- не). Если да, то следует воспользоваться теоретическим распределением.
Для проверки совместимости экспериментальных данных (гисто- грамм) с некоторым теоретическим распределением исследователь под- бирает одно или несколько теоретических распределений (например, нор- мальное, Пуассона, биномиальное, экспоненциальное, гамма-распределе- ние и т.д.). После этого ему следует определить параметры распределения с тем, чтобы подвергнуть их проверке по статистическим критериям.
Для статистической оценки гипотезы о том, что совокупность эмпи- рических или выборочных данных незначительно отличается от той, ко- торую можно ожидать при некотором теоретическом законе распределе- ния, применяется критерий «хи-квадрат», предложенный Пирсоном.
В этом случае статистика
2
χ
определяется выражением
,
/
)
(
2 0
2
l
l
f
f
f
−
=
χ
∑
где
−
0
f
наблюдаемая частота для каждой группы или интервала;
−
l
f
ожидаемая частота для каждой группы или интервала;
∑
− сумма, предсказанная теоретическим распределением, по всем группам или ин- тервалам.
Если
0 2
=
χ
, то наблюдаемые и теоретически предсказанные значения частот точно совпадают; если
0 2
>
χ
, то полного совпадения нет.
В последнем случае мы должны сравнивать наши расчётные значения с табличными (критическими) значениями
2
χ
, полученными Фишером для различных чисел степеней свободы и уровней доверительной вероятности
α
−
1
. При практическом использовании этой статистики высказывается так называемая нулевая гипотеза
0
H
о том, что между наблюдаемым и ожи- даемым теоретическим распределением с теми же параметрами нет значи- тельных расхождений. Если расчётная величина
2
χ
оказывается больше критического табличного значения, то можно заключить, что при данном
22
уровне доверительной вероятности наблюдаемые частоты значительно от- личаются от ожидаемых, и тогда следовало бы отвергнуть гипотезу
0
H
Ещё один широко используемый критерий для статистической про- верки гипотез был предложен Смирновым и Колмогоровым. Он приме- няется в тех случаях, когда применяемое распределение непрерывно.
Проверка осуществляется путём задания интегральной функции, сле- дующей из теоретического распределения, и её сравнения с интеграль- ной функцией распределения эмпирических данных. Сравнение основы- вается на выборочной группе, в которой экспериментальное распреде- ление имеет наибольшее абсолютное отклонение от теоретического. Да- лее эта абсолютная разность сопоставляется с критическими значениями с целью определения, может ли такое отклонение быть случайным при данном законе распределения.
Естественно возникает вопрос, когда следует пользоваться критери- ем
2
χ
, а когда критерием Смирнова–Колмогорова? При относительно малых объёмах выборок критерий
2
χ
вообще неприменим и следует пользоваться критерием Смирнова–Колмогорова. Однако, если объём выборки велик, предпочтителен, по всей вероятности, критерий
2
χ
Во многих подсистемах технологического объекта имеет место функциональная связь между двумя или более переменными, и желатель- но эту связь выявить. Чаще всего эта связь чрезвычайно сложна или со- вершенно не известна. В таких случаях мы можем столкнуться с необхо- димостью ввести некоторую гипотезу о характере функциональной зави- симости, т.е. аппроксимировать её некоторым относительно простым ма- тематическим выражением, например, многочленом. Для поиска таких функциональных или структурных зависимостей между двумя или более переменными по накопленным экспериментальным данным весьма по- лезны методы регрессионного и корреляционного анализа [4]. Регресси- онный анализ даёт возможность построить, исходя из имеющейся совокуп- ности экспериментальных данных, уравнение, вид которого задаёт исследо- ватель, а корреляционный анализ позволяет судить о том, насколько хоро- шо экспериментальные данные согласуются с выбранным уравнением
(«ложатся» на соответствующую кривую).
Экспериментальный метод заключается в проведении на действую- щем объекте эксперимента (подаче экспериментального сигнала х
э и запи- си реакции на него выходных координат у
э
) и аппроксимации опытных данных х
э
, у
э некоторой формальной математической зависимостью F.
Структура F не зависит явно от свойств перерабатываемых в объекте ве- ществ и характеристик физико-химических процессов.
В зависимости от способа задания х
э различают активные и пассив- ные экспериментальные методы. В активных методах экспериментатор