Файл: Д. С. Дворецкий, С. И. Дворецкий, Е. В. Пешкова, М. С. Темнов математическое моделирование.pdf

7
Разработка и применение компьютерных моделей – ещё в большей степени искусство, нежели наука. Следовательно, как и в других видах искусства, успех или неудача определяется не столько методом, сколько тем, как он применяется. Искусством моделирования могут овладеть те, кто обладает оригинальным мышлением, изобретательностью и находчи- востью, равно как и глубокими знаниями систем и физических явлений, которые необходимо моделировать.
2. МЕТОДОЛОГИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Изучая сложные технологические объекты, процессы, аппараты и физико-химические явления, мы не можем учесть все факторы: какие-то оказываются существенными, а какими-то можно пренебречь. При этом формируется модель объекта исследования. В процессе компьютерного моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами: системой (ре- альной, проектируемой, воображаемой), математической моделью и про- граммой ЭВМ, реализующей алгоритм решения уравнений модели. Тради- ционная схема компьютерного моделирования как единого процесса по- строения и исследования модели, имеющего соответствующую программ- ную поддержку, представлена на рис. 2.
Исходя из того, что компьютерное моделирование применяется для исследования, оптимизации и проектирования реальных технологических объектов (систем), можно выделить следующие этапы этого процесса:
1) определение объекта – установление границ, ограничений и изме- рителей эффективности функционирования объекта;
2) формализация объекта (построение модели) – переход от реаль- ного объекта к некоторой логической схеме (абстрагирование);
3) подготовка данных – отбор данных, необходимых для построения модели, и представление их в соответствующей форме;
Анализ, интерпретация и документирование результатов
Построение ММ режимов функцио- нирования технологического объекта
Программирова- ние алгоритма
(прогр.ЭВМ)
Вычислительный эксперимент
Разработка алго- ритма решения уравнений ММ
Аналитическое исследование модели
Структурный анализ модели
Теоретические исследования
Предметная область и цели моделирования
6
7
4
5
3
2
1
Триада «модель-алгоритм-программа»
8
9
Результаты исследования
Рис. 2. Схема организации процесса компьютерного моделирования

8
4) разработка моделирующего алгоритма и программы ЭВМ, прове- дение тестовых расчётов;
5) оценка адекватности триады «модель – алгоритм – программа»: повышение до приемлемого уровня степени уверенности, с которой мож- но судить относительно корректности выводов о реальном объекте, полу- ченных на основании использования модели;
6) стратегическое планирование – планирование вычислительного эксперимента, который должен дать необходимую информацию;
7) тактическое планирование – определение способа проведения ка- ждой серии испытаний, предусмотренных планом эксперимента;
8) вычислительный эксперимент – процесс осуществления имитации с целью получения желаемых данных и анализа чувствительности;
9) интерпретация – анализ полученных данных и построение выводов;
10) реализация – практическое использование модели и результатов моделирования;
11) документирование – регистрация хода осуществления процесса и его результатов, а также документирование процесса создания и исполь- зования модели.
Перечисленные этапы создания и использования модели определены в предположении, что задача будет решена наилучшим образом с помощью компьютерного моделирования. Однако, возможно, это не самый эффек- тивный способ. В том случае, если задача может быть сведена к простой модели и решена аналитически,нет никакой нужды в компьютерном моде- лировании и имитации. Следует изыскивать все возможные средства, под- ходящие для решения данной конкретной задачи, стремясь при этом к оп- тимальному сочетанию стоимости и желаемых результатов. Прежде чем приступить к оценке возможностей имитации, следует убедиться, что про- стая аналитическая модель для данного случая не пригодна.
В представленной на рис. 2 схеме организации процесса компьютер- ного моделирования (имитации) основная цепочка (реальный технологи- ческий объект (система) – математическая модель – моделирующий алго- ритм – программа ЭВМ – вычислительный эксперимент) соответствует традиционной схеме, но во главу угла теперь ставится триада: модель – алгоритм – программа (блоки 4, 5, 6), стратегическое и тактическое пла- нирование вычислительного эксперимента (блок 7), интерпретация и до- кументирование его результатов (блок 8).
Определение. Математическая модель – система уравнений (ал- гебраических, дифференциальных и др.), связывающая выходные пере- менные Y объекта с входными переменными X, внутренними параметрами и возмущающими параметрами
Ξ.
На первом этапе построения математической модели (ММ) выбирает- ся (или строится) «эквивалент» технологического объекта (рис. 3), отра- жающий в математической форме важнейшие его свойства – законы,

9
}
Х
ξ
k
ξ
2
ξ
1
a
l
a
2
a
1
Технологический объект
x
m
x
2
x
1
y
n
y
2
y
1
{
{x}=X – множество входных переменных
{y}=Y – множество выходных переменных
{a}=A – множество внутренних параметров
{
ξ}=Ξ – множество возмущающих воздействий
}

10
тивных параметров, среди которых нужно определить их оптимальный набор, обеспечивающий эффективное функционирование этой установки.
Третий этап – создание программы для реализации разработанного моделирующего алгоритма на ЭВМ (создание компьютерной модели) с использованием одного из языков программирования, например Matlab.
Создав триаду«модель – алгоритм – программа», исследователь по- лучает в руки универсальный, гибкий и сравнительно недорогой инстру- мент, который вначале отлаживается, тестируется в «пробных» вычисли- тельных экспериментах. После того как адекватность триады исходному технологическому объекту удостоверена, с моделью можно проводить разнообразные «опыты», дающие все требуемые качественные и количе- ственные свойства и характеристики объекта.
Определение. Модель называется адекватной в том случае, если она описывает поведение объекта с удовлетворительной точностью:
(
)
погр зад
2 1
э р
э р
ε
>
ε
<
ε
=
−
=
−
∑
=
n
i
i
i
i
i
y
y
y
y
, где ε не меньше погрешности экспериментальных измерений. Адекват- ность модели определяется сравнением экспериментальных данных, по- лученных на реальном объекте, и данных, полученных при с использова- нием ММ при одинаковых значениях входных переменных, внутренних и возмущающих параметров.
Процесс компьютерного моделирования сопровождается улучшени- ем и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.
Обратимся теперь к блоку 7. Вычислительный эксперимент – это собственно проведение расчётов на ЭВМ и получение информации, пред- ставляющей интерес для исследователя. Конечно, точность этой информа- ции определяется достоверностью прежде всего модели, моделирующего алгоритма и программы ЭВМ. Именно по этой причине в серьёзных при- кладных исследованиях полномасштабные расчёты по только что написан- ной программе не проводят. Им всегда предшествует период тестовых рас- чётов. Они необходимы не только для того, чтобы «отладить» программу, т.е. отыскать и исправить все ошибки и опечатки, допущенные как при создании алгоритма, так и при его программной реализации. В этих пред- варительных расчётах тестируется также сама математическая модель, выясняется её адекватность исследуемому объекту. Для этого проводится расчёт некоторых контрольных экспериментов, по которым имеются дос- таточно надёжные измерения.
При оптимизации или проектировании технологического объекта из- за сложности и высокой размерности математической модели проведение расчётов по описанной выше схеме может стоить дорого. Поэтому идут на упрощение модели, на построение своего рода инженерных методик
(формул), дающих возможность получить необходимую информацию

11
значительно более дешёвым способом. При этом проводится работа по анализу и трансформации сложных моделей, квинтэссенцией которой и являются простые формулы.
При массовом использовании методов компьютерного моделирова- ния в технических проектах следует добиваться резкого сокращения сро- ков разработки моделей, обеспечивающих различные этапы проектирова- ния. Решение этой задачи возможно при соответствующем уровне разви- тия технологии компьютерного моделирования.
Технология компьютерного моделирования является основой целе- направленной деятельности, смысл которой состоит в обеспечении воз- можности фактического эффективного выполнения на ЭВМ исследований функционирования сложных систем. С ее помощью организуются дейст- вия исследователя на всех этапах его работы с моделями, начиная от изу- чения предметной области и выделения моделируемой проблемной си- туации и заканчивая построением и реализацией компьютерных экспери- ментов для анализа поведения системы.
При построении экономичных моделей важную роль играет понима- ние полноты ММ, которое можно проиллюстрировать схемой, изобра- жённой на рис. 4.
Причинно-следственную связь между нашими параметрами будем задавать с помощью множества функциональных связей
{ }
Ф
=
f
, которое определено над множествами
{ }
{ }
{ }
Ξ
=
ξ
=
=
,
,
A
a
X
x
. Элементами мно- жеств
Y
A
X
,
,
могут быть числа или функции, а элементами Ф – соот- ветственно функции или операторы. Все множества конечны, однако чис- ло элементов в них достаточно велико.
Рис. 4. Иллюстрация понятия полноты математической модели
1
X
1
Y
)
,
,
(
Ф
Ξ
A
X
Технологический
объект
)
,
,
(
Ф
1 1
1 1
Ξ
A
X
1
A
A
X
1
Ξ
Ξ
Y

12
Множество Ф , отображающее зависимости вектора выходных пере- менных Y технологического объекта от его входных переменных X , внутренних параметров
A и возмущающих воздействий
Ξ , будем назы- вать математической моделью.
Отсутствие однозначного правила формирования множеств
Ξ
,
, A
X
(так как для каждой конкретной задачи мы должны принять свой уровень детализации описываемого явления, исходя из целей конкретной задачи) приводит к тому, что можно определить множество моделей, отражающих те или иные свойства объекта. Практические цели заставляют исследова- теля выделить в модели существенные связи, т.е. определить подмноже- ство
Ф
Ф
1
⊂
. Модель, определяемая оператором Ф, более полна, чем модель, определяемая
1
Ф
Полнота модели определяется допущениями, которые мы приняли при составлении системы уравнений математической модели.
Определение. Допущения – перечень явлений, влияние которых на поведение рассматриваемого объекта мы не учитываем при построении ММ.
3. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
В общем случае модель является представлением объекта, системы или понятия в некоторой форме, отличной от формы их реального суще- ствования. Модель какого-либо объекта может быть или точной копией этого объекта, или отображать некоторые характерные свойства объекта в абстрактной форме. Модель служит обычно средством, помогающим нам в объяснении, понимании или совершенствовании системы. Можно ука- зать по крайней мере пять узаконенных и ставших привычными случаев применения моделей в качестве:
1) средства осмысления действительности;
2) средства общения;
3) средства обучения и тренинга;
4) инструмента прогнозирования;
5) средства постановки экспериментов.
Иными словами, модель применяется для достижения одной из двух основных целей: либо описательной, если модель служит для объяснения и (или) лучшего понимания объекта; либо предписывающей, когда модель позволяет предсказать и (или) воспроизвести характеристики объекта, определяющие его поведение. Модель предписывающего типа обычно является и описательной, но не наоборот.
Прежде чем начать разработку модели, необходимо понять, что собой представляют структурные элементы, из которых она строится. В самом об- щем виде структуру модели математически можно представить в виде
)
,
,
,
(
Ф
ξ
=
a
x
y
E
,