Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 152
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
163]
§ 16. Формула Тейлора
501
жем поэтому утверждать, что при значениях независимых переменных, при которых функция имеет максимум или минимум,
ее дифференциал первого порядка должен обращаться в нуль. Эта форма необходимого условия удобная, потому что выражения первого дифференциала не зависят от выбора переменных [153]. Приравнивая нулю частные производные первого порядка, мы получаем систему уравнений, откуда определяются те значения независимых переменных, при которых функция может достигать максимума или минимума. Для полного решения вопроса необходимо еще произвести исследование полученных значений для того, чтобы решить, достигает ли функция действительно при этих значениях независимых переменных максимума или минимума, а если достигает, то чего именно — максимума или минимума. В следующем номере мы покажем, как производится это исследование в случаях функции двух независимых переменных. Исследование максимума и минимума функции двух независимых переменных. Пусть система уравнений (x, y)
∂x
= 0,
∂f (x, y)
∂y
= выражающая необходимое условие максимума или минимума, дала нам значения x = a и y = b, которые надо исследовать. Предположим, что f (x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка в точке (a, b) и некоторой ее окрестности.
Согласно формуле Тейлора (4), при n = 2 можем написать f (a + h, b + k) = f (a, b) +
∂f (a, b)
∂a h +
∂f (a, b)
∂b k+
+
1 2!
∂
2
f (x, y)
∂x
2
h
2
+ 2
∂
2
f (x, y)
∂x∂y hk +
∂
2
f (x, y)
∂y
2
k
2
x=a+θh Принимая во внимание, что x = a и y = b являются решением системы (6), можем переписать это равенство так = f (a + h, b + k) − f(a, b) =
Гл. V. Функции нескольких переменных 2!
∂
2
f (x, y)
∂x
2
h
2
+ 2
∂
2
f (x, y)
∂x∂y hk +
∂
2
f (x, y)
∂y
2
k
2
x=a+θh y=b+θk
. (Положим r =
p h
2
+ k
2
,
h = r cos α,
k = r sin При малых по абсолютному значению h и k, и r будет мало, и наоборот, и условия h и k → 0, с одной стороны, и r → 0, с другой между собой равносильны.
Формула (7) имеет вид =
r
2 2!
∂
2
f (x, y)
∂x
2
cos
2
α + 2
∂
2
f (x, y)
∂x∂y cos α sin α+
+
∂
2
f (x, y)
∂y
2
sin
2
α
x=a+θh y=b+θk
. (Принимая во внимание непрерывность производных второго порядка и считая h и k или, что тоже бесконечно малыми, можем утверждать, что производные в правой части формулы (8), вычисленные при значениях a+θh, b+θk, бесконечно мало отличающихся от a, b, сами бесконечно мало отличаются от чисел (a, b)
∂a
2
= A,
∂
2
f (a, b)
∂a∂b
= B,
∂
2
f (a, b)
∂b
2
= а потому коэффициенты при cos
2
α, cos α sin α, sin
2
α в квадратной скобке формулы (8) можно заменить соответственно на A + ε
1
,
2B + ε
2
, C + ε
3
, где ε
1
, ε
2
, суть величины, бесконечно малые одновременно си (или с Формулу (8) можно после этого переписать так =
r
2 2!
A cos
2
α + 2B sin α cos α + C sin
2
α + где = ε
1
cos
2
α + 2ε
2
cos α sin α + есть величина, бесконечно малая одновременно си (или с r).
∂
2
f (x, y)
∂x
2
h
2
+ 2
∂
2
f (x, y)
∂x∂y hk +
∂
2
f (x, y)
∂y
2
k
2
x=a+θh y=b+θk
. (Положим r =
p h
2
+ k
2
,
h = r cos α,
k = r sin При малых по абсолютному значению h и k, и r будет мало, и наоборот, и условия h и k → 0, с одной стороны, и r → 0, с другой между собой равносильны.
Формула (7) имеет вид =
r
2 2!
∂
2
f (x, y)
∂x
2
cos
2
α + 2
∂
2
f (x, y)
∂x∂y cos α sin α+
+
∂
2
f (x, y)
∂y
2
sin
2
α
x=a+θh y=b+θk
. (Принимая во внимание непрерывность производных второго порядка и считая h и k или, что тоже бесконечно малыми, можем утверждать, что производные в правой части формулы (8), вычисленные при значениях a+θh, b+θk, бесконечно мало отличающихся от a, b, сами бесконечно мало отличаются от чисел (a, b)
∂a
2
= A,
∂
2
f (a, b)
∂a∂b
= B,
∂
2
f (a, b)
∂b
2
= а потому коэффициенты при cos
2
α, cos α sin α, sin
2
α в квадратной скобке формулы (8) можно заменить соответственно на A + ε
1
,
2B + ε
2
, C + ε
3
, где ε
1
, ε
2
, суть величины, бесконечно малые одновременно си (или с Формулу (8) можно после этого переписать так =
r
2 2!
A cos
2
α + 2B sin α cos α + C sin
2
α + где = ε
1
cos
2
α + 2ε
2
cos α sin α + есть величина, бесконечно малая одновременно си (или с r).
163]
§ 16. Формула Тейлора
503
Из определения максимума и минимума следует, что если правая часть равенства (9) при всех достаточно малых значениях r сохраняет знак (—), то значениями соответствует максимум функции f (x, y); если она сохраняет знак (+), то указанным значениям будет соответствовать минимум функции если жена- конец, при сколь угодно малых значениях r правая часть равенства) может иметь как знак (+), таки знак (—), то значениям функции и y = b не соответствуют ни максимум, ни минимум функции.
При исследовании знака правой части равенства (9) могут представиться следующие четыре случая. Если трехчлен cos
2
α + 2B sin α cos α + C не обращается в нуль ни при одном значении α, то как непрерывная функция от α он сохраняет неизменный знак [55]. Пусть это будет знак (+). В промежутке (0, 2π) эта непрерывная функция достигает своего наименьшего (положительного) значения m. В силу периодичности cos α и sin α это же наименьшее значение m будет иметь место и для любых значений α. Величина |ε| при всех достаточно малых значениях r меньше m, и при этом знак правой части равенства (9) определяется знаком трехчлена (10), те. будет (в этом случае мы будем иметь минимум. Положим теперь, что трехчлен (10), не обращаясь ни при каких значениях α в нуль, сохраняет знак (–). Пусть — m наименьшее
(отрицательное) значение этого трехчлена в промежутке (0, 2π) изменения. Величина |ε| при достаточно малых значениях r меньше m, и при этом знак правой части равенства (9) будет постоянно (те. в этом случае мы будем иметь максимум. Положим теперь, что трехчлен (10) меняет знак. Пусть при = он равен положительному числу +m
1
, а при α = отрицательному числу — m
2
. При всех достаточно малых значениях r |ε| будет меньше и m
2
. При таких значениях r и при α = и знак правой части равенства (9) будет определяться знаком трехчлена (10), те. будет (+) при α = и (–) при α = α
2
. Таким образом, в рассматриваемом случае знак правой части равенства
Гл. V. Функции нескольких переменных) может быть и (+) и (–) при сколь угодно малых значениях те. в этом случае мы не будем иметь ни максимума, ни минимума. Положим, наконец, что трехчлен (10), сохраняя неизменный знак, может обращаться в нуль при некоторых значениях α. В этом случае без дальнейшего исследования знака ε мы не можем сделать никаких заключений о знаке правой части равенства (9), и этот случай остается сомнительным в нашем исследовании.
Итак, все свелось к исследованию знака трехчлена (10) при изменении, и мы укажем простые признаки, позволяющие судить,
с каким из указанных четырех случаев мы имеем дело. Положим сначала, что A 6= 0. Трехчлен (10) мы можем представить в виде cos α + B sin α)
2
+ (AC − B
2
) Если AC − B
2
> 0, то числитель написанной дроби представляет собою сумму двух положительных слагаемых, которые не могут обратиться в нуль одновременно. Действительно, второе слагаемое обращается в нуль, только если sin α = 0, но при этом cos α = ±1, и первое слагаемое обращается в A
2 6= 0. Таким образом, в рассматриваемом случае знак выражения (11) совпадает со знаком A, и,
следовательно, прибудем иметь случайте. минимума при A < 0 — случайте. максимум. Предполагая по-прежнему A 6= 0, положим, что AC − B
2
< Числитель дроби (11) будет иметь знак (+) при sin α = 0 и знак) при ctg α = −
B
A
, а потому при указанных условиях мы будем иметь случайте. не будет ни максимума, ни минимума. Если примы положим, что AC − B
2
= 0, то числитель дроби (11) приводится к первому слагаемому и, сохраняя неизменный знак (+), обращается в нуль прите. при этих условиях мы имеем дело с сомнительным случаем (IV).
4. Положим, что A = 0, но B 6= 0. Трехчлен (10) имеет тогда вид sin α(2B cos α + C sin α). При значениях α, близких к нулю, выражение, стоящее в круглых скобках, сохраняет неизменный знак,
совпадающий со знакома первый множитель sin α имеет разные знаки, смотря потому, будет ли α больше или меньше нуля, т. е.
имеет место случай (III) — ни максимума, ни минимума
164]
§ 16. Формула Тейлора 5. Предположим, наконец, что A = B = 0. Тогда трехчлен (приведется к одному слагаемому C sin
2
α и, следовательно, не меняя знака, может обращаться в нуль, темы имеем дело с сомнительным случаем.
Принимая во внимание, что в случае 4 будет AC − B
2
< 0, в случае 5 имеем AC − B
2
= 0, можем высказать следующее правило для нахождения максимумов и минимумов внутри области при предположении, что функция f (x, y) непрерывна там и имеет непрерывные производные до второго порядка, надо составить частные производные f
′
x
(x, y) и f
′
y
(a, y) и решить систему уравнений Пусть x = a, y = b — какое-нибудь решение этой системы. Положив производим исследование решения последующей схеме − ни мин.
сомнит.
ни макс.
случай мин.
макс.
164. Примеры. Рассмотрим поверхность z = f (x, y). Уравнение касательной плоскости к ней будет [160]:
p(X − x) + q(Y − y) − (Z − z) = где p и q обозначают частные производные f
′
x
(x, y) и f
′
y
(x, Если при некоторых значениях x = a и y = b функция z достигает максимума или минимума, то соответствующая точка называется вершиною поверхности в такой точке касательная плоскость должна быть параллельна плоскости XY , те. частные производные p и q должны обращаться в нуль, и поверхность должна быть расположена по одну сторону от касательной плоскости, вблизи точки касания (рис. 163).
165]
§ 16. Формула Тейлора
507
Рис. те. при x = y = 0 функция не достигает ни максимума, ни минимума, и вблизи начала координат поверхность расположена по обе стороны от касательной плоскости (рис. На плоскости даны точек M
i
(a i
, b i
)(i =
1, 2, . . . , n). Требуется найти точку M такую,
чтобы сумма произведений данных положительных чисел m на квадраты расстояний ее до точек M
i достигала минимума. Пусть (x, y) — координаты искомой точки M . Упомянутая выше сумма будет =
n
X
i=1
m i
[(x − a i
)
2
+ (y − b Приравнивая нулю частные производные w
′
x и w
′
y
, получаем x =
m
1
a
1
+ m
2
a
2
+ . . . + m n
a n
m
1
+ m
2
+ . . . + m n
,
y =
m
1
b
1
+ m
2
b
2
+ . . . + m n
b n
m
1
+ m
2
+ . . . + m n
. (Нетрудно проверить, что в рассматриваемом случае A и AC − будут больше нуля, и, следовательно, найденным значениями действительно будет соответствовать минимум w. Этот минимум является наименьшим значением w на плоскости (x, y), ибо w → +∞ при беспредельном удалении точки (x, Если M
i
— материальные точки и m
Итак, все свелось к исследованию знака трехчлена (10) при изменении, и мы укажем простые признаки, позволяющие судить,
с каким из указанных четырех случаев мы имеем дело. Положим сначала, что A 6= 0. Трехчлен (10) мы можем представить в виде cos α + B sin α)
2
+ (AC − B
2
) Если AC − B
2
> 0, то числитель написанной дроби представляет собою сумму двух положительных слагаемых, которые не могут обратиться в нуль одновременно. Действительно, второе слагаемое обращается в нуль, только если sin α = 0, но при этом cos α = ±1, и первое слагаемое обращается в A
2 6= 0. Таким образом, в рассматриваемом случае знак выражения (11) совпадает со знаком A, и,
следовательно, прибудем иметь случайте. минимума при A < 0 — случайте. максимум. Предполагая по-прежнему A 6= 0, положим, что AC − B
2
< Числитель дроби (11) будет иметь знак (+) при sin α = 0 и знак) при ctg α = −
B
A
, а потому при указанных условиях мы будем иметь случайте. не будет ни максимума, ни минимума. Если примы положим, что AC − B
2
= 0, то числитель дроби (11) приводится к первому слагаемому и, сохраняя неизменный знак (+), обращается в нуль прите. при этих условиях мы имеем дело с сомнительным случаем (IV).
4. Положим, что A = 0, но B 6= 0. Трехчлен (10) имеет тогда вид sin α(2B cos α + C sin α). При значениях α, близких к нулю, выражение, стоящее в круглых скобках, сохраняет неизменный знак,
совпадающий со знакома первый множитель sin α имеет разные знаки, смотря потому, будет ли α больше или меньше нуля, т. е.
имеет место случай (III) — ни максимума, ни минимума
164]
§ 16. Формула Тейлора 5. Предположим, наконец, что A = B = 0. Тогда трехчлен (приведется к одному слагаемому C sin
2
α и, следовательно, не меняя знака, может обращаться в нуль, темы имеем дело с сомнительным случаем.
Принимая во внимание, что в случае 4 будет AC − B
2
< 0, в случае 5 имеем AC − B
2
= 0, можем высказать следующее правило для нахождения максимумов и минимумов внутри области при предположении, что функция f (x, y) непрерывна там и имеет непрерывные производные до второго порядка, надо составить частные производные f
′
x
(x, y) и f
′
y
(a, y) и решить систему уравнений Пусть x = a, y = b — какое-нибудь решение этой системы. Положив производим исследование решения последующей схеме − ни мин.
сомнит.
ни макс.
случай мин.
макс.
164. Примеры. Рассмотрим поверхность z = f (x, y). Уравнение касательной плоскости к ней будет [160]:
p(X − x) + q(Y − y) − (Z − z) = где p и q обозначают частные производные f
′
x
(x, y) и f
′
y
(x, Если при некоторых значениях x = a и y = b функция z достигает максимума или минимума, то соответствующая точка называется вершиною поверхности в такой точке касательная плоскость должна быть параллельна плоскости XY , те. частные производные p и q должны обращаться в нуль, и поверхность должна быть расположена по одну сторону от касательной плоскости, вблизи точки касания (рис. 163).
Гл. V. Функции нескольких переменных
[164
Рис. Но может случиться, что p ив некоторой точке обращаются в нуль,
т. е. касательная плоскость параллельна плоскости XY , но поверхность вблизи этой точки расположена по обе стороны от касательной плоскости, ив этом случае при соответствующих значениях x и y функция не будет достигать ни максимума, ни минимума.
Укажем на еще одну возможность, которая может осуществиться в случае, названном нами в предыдущем сомнительным. Положим, что при x = a, y = b касательная плоскость параллельная плоскости XY и поверхность расположена по одну сторону от касательной плоскости,
но имеет с нею общую линию, проходящую через точку касания. В этом случае разность f (a + h, b + k) − f(a, не меняя знака при достаточно малых по абсолютному значению h и будет обращаться в нуль при h и k, отличных от нуля. Нетрудно осуществить этот случай, представив себе, например, круговой цилиндр, ось которого параллельна плоскости XY . В этом случае также говорят, что функция f (x, y) имеет максимум или минимум при x = a и y = b Поверхность есть гиперболический параболоид. Приравнивая нулю частные производные от z пои, получим x = y = 0, и касательная плоскость к поверхности вначале координат будет совпадать с плоскостью XY . Составим частные производные второго порядка 0,
∂
2
z
∂y
2
= и, следовательно − B
2
= −
1
a
2
b
2
< 0,
[164
Рис. Но может случиться, что p ив некоторой точке обращаются в нуль,
т. е. касательная плоскость параллельна плоскости XY , но поверхность вблизи этой точки расположена по обе стороны от касательной плоскости, ив этом случае при соответствующих значениях x и y функция не будет достигать ни максимума, ни минимума.
Укажем на еще одну возможность, которая может осуществиться в случае, названном нами в предыдущем сомнительным. Положим, что при x = a, y = b касательная плоскость параллельная плоскости XY и поверхность расположена по одну сторону от касательной плоскости,
но имеет с нею общую линию, проходящую через точку касания. В этом случае разность f (a + h, b + k) − f(a, не меняя знака при достаточно малых по абсолютному значению h и будет обращаться в нуль при h и k, отличных от нуля. Нетрудно осуществить этот случай, представив себе, например, круговой цилиндр, ось которого параллельна плоскости XY . В этом случае также говорят, что функция f (x, y) имеет максимум или минимум при x = a и y = b Поверхность есть гиперболический параболоид. Приравнивая нулю частные производные от z пои, получим x = y = 0, и касательная плоскость к поверхности вначале координат будет совпадать с плоскостью XY . Составим частные производные второго порядка 0,
∂
2
z
∂y
2
= и, следовательно − B
2
= −
1
a
2
b
2
< 0,
165]
§ 16. Формула Тейлора
507
Рис. те. при x = y = 0 функция не достигает ни максимума, ни минимума, и вблизи начала координат поверхность расположена по обе стороны от касательной плоскости (рис. На плоскости даны точек M
i
(a i
, b i
)(i =
1, 2, . . . , n). Требуется найти точку M такую,
чтобы сумма произведений данных положительных чисел m на квадраты расстояний ее до точек M
i достигала минимума. Пусть (x, y) — координаты искомой точки M . Упомянутая выше сумма будет =
n
X
i=1
m i
[(x − a i
)
2
+ (y − b Приравнивая нулю частные производные w
′
x и w
′
y
, получаем x =
m
1
a
1
+ m
2
a
2
+ . . . + m n
a n
m
1
+ m
2
+ . . . + m n
,
y =
m
1
b
1
+ m
2
b
2
+ . . . + m n
b n
m
1
+ m
2
+ . . . + m n
. (Нетрудно проверить, что в рассматриваемом случае A и AC − будут больше нуля, и, следовательно, найденным значениями действительно будет соответствовать минимум w. Этот минимум является наименьшим значением w на плоскости (x, y), ибо w → +∞ при беспредельном удалении точки (x, Если M
i
— материальные точки и m
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
1
— их массы, то формула (определяет координаты центра тяжести системы точек M
i
165. Дополнительные замечания о нахождении максимумов и минимумов.
Предыдущие рассуждения распространяются и на случай большего числа независимых переменных. Пусть, например, дана функция трех независимых переменных f (x, y, z). Для нахождения тех значений независимых переменных, при которых эта функция достигает максимума или минимума, надо решить систему трех уравнений стремя неизвестными [162]
f
′
x
(x, y, z) = 0,
f
′
y
(x, y, z) = 0,
f
′
z
(x, y, z) = 0.
(13)
Гл. V. Функции нескольких переменных
[165
Пусть x = a, y = b, z = c — одно из решений этой системы. Наметим кратко путь для исследования этих значений. Формула Тейлора дает нам приращение функции в виде суммы однородных полиномов, расположенных по степеням приращений независимых переменных = h
∂f (a, b, c)
∂a
+ k
∂f (a, b, c)
∂b
+ l
∂f (a, b, c)
∂c
+
+
1 2!
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
+ l
∂
∂c
(2)
f (a, b, c) + . . . +
+
1
(n + 1)!
h
∂
∂a
+k
∂
∂b
+l
∂
∂c
(n+1)
f (a+θh, b+θk, c+θl)(0 < θ < Значения x = a, y = b, z = c удовлетворяют уравнениям (13). Поэтому h
∂f (a, b, c)
∂a
+ k
∂f (a, b, c)
∂b
+ l
∂f (a, b, c)
∂c
= Если совокупность членов второй степени относительно h, k, l
1 2!
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
+ l
∂
∂c
(2)
f (a, b, обращается в нуль только при h = k = l = 0, то знак правой части (при h, k, l, достаточно малых по абсолютному значению, совпадает со знаком выражения (15), и если этот знак (+), то f (a, b, c) является минимумом функции f (x, y, z), если же (—), то мы имеем дело с максимумом.
Если выражение (15) может иметь разные знаки, тоне является ни максимумом, ни минимумом функции. Если же, наконец, выражение, не меняя знака, обращается в нуль при некоторых значениях h, k, отличных от h = k = l = 0, то этот случай остается сомнительными требуется исследование тех членов правой части (14), которые содержат h, k ив степени выше второй.
Приведем полное исследование этого сомнительного случая в частном примере функции двух независимых переменных u = x
2
− 2xy + y
2
+ x
3
+ Значения x = y = 0 обращают в нуль частные производные и
∂u
∂y
Кроме того, имеем =
∂
2
u
∂x x=0
y=0
= 2,
B =
∂
2
u
∂x∂y x=0
y=0
= −2,
C =
∂
2
u
∂y
2
x=0
y=0
= 2,
[165
Пусть x = a, y = b, z = c — одно из решений этой системы. Наметим кратко путь для исследования этих значений. Формула Тейлора дает нам приращение функции в виде суммы однородных полиномов, расположенных по степеням приращений независимых переменных = h
∂f (a, b, c)
∂a
+ k
∂f (a, b, c)
∂b
+ l
∂f (a, b, c)
∂c
+
+
1 2!
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
+ l
∂
∂c
(2)
f (a, b, c) + . . . +
+
1
(n + 1)!
h
∂
∂a
+k
∂
∂b
+l
∂
∂c
(n+1)
f (a+θh, b+θk, c+θl)(0 < θ < Значения x = a, y = b, z = c удовлетворяют уравнениям (13). Поэтому h
∂f (a, b, c)
∂a
+ k
∂f (a, b, c)
∂b
+ l
∂f (a, b, c)
∂c
= Если совокупность членов второй степени относительно h, k, l
1 2!
h
∂
∂a
+ k
∂
∂b
+ l
∂
∂c
(2)
f (a, b, обращается в нуль только при h = k = l = 0, то знак правой части (при h, k, l, достаточно малых по абсолютному значению, совпадает со знаком выражения (15), и если этот знак (+), то f (a, b, c) является минимумом функции f (x, y, z), если же (—), то мы имеем дело с максимумом.
Если выражение (15) может иметь разные знаки, тоне является ни максимумом, ни минимумом функции. Если же, наконец, выражение, не меняя знака, обращается в нуль при некоторых значениях h, k, отличных от h = k = l = 0, то этот случай остается сомнительными требуется исследование тех членов правой части (14), которые содержат h, k ив степени выше второй.
Приведем полное исследование этого сомнительного случая в частном примере функции двух независимых переменных u = x
2
− 2xy + y
2
+ x
3
+ Значения x = y = 0 обращают в нуль частные производные и
∂u
∂y
Кроме того, имеем =
∂
2
u
∂x x=0
y=0
= 2,
B =
∂
2
u
∂x∂y x=0
y=0
= −2,
C =
∂
2
u
∂y
2
x=0
y=0
= 2,
165]
§ 16. Формула Тейлора − B
2
= темы имеем дело с сомнительным случаем. Характерная особенность этого случая состоит в том, что совокупность членов второго измерения в выражении функции u представляет собою полный квадрат, и мы можем в рассматриваемом примере написать u = (x − y)
2
+ (x
3
+ При x = y = 0 и u обращается в нуль. Для исследования знака u при x и y, близких к нулю, введем полярные координаты x = r cos α,
y = r sin Подставляя эти значения x и y, получим u = r
2
[(cos α − sin α)
2
+ r(cos
3
α + При любом значении α в промежутке (0, 2π), отличном от
π
4
и
5π
4
,
cos α − sin α 6= и, следовательно, для всякого такого значения α можно выбрать такое положительное число r
0
, что признак выражения, стоящего в квадратных скобках, будет (+). При α этот знак также будет (но примы получим знаки, следовательно, при x = y = функция u не будет иметь ни максимума, ни минимума.
Рассмотрим еще одну функцию u = (y − x
2
)
2
− Нетрудно проверить, что причастные производные и обращаются в нуль, и что мы имеем дело с сомнительным случаем.
Выбирая для x сколь угодно малое значение и полагая y = x
2
, мы видим,
что функция u приведется к (−x
5
) и ее знак будет зависеть от знака те. при x = y = 0 функция u не будет достигать ни максимума, ни минимума. Вводя полярные координаты, мы получили бы u = r
2
(sin
2
α − 2r cos
2
α sin α + r
2
cos
4
α − r
3
cos
5
α),
Гл. V. Функции нескольких переменных
[166
Рис. и из этого выражения видно, что при всяком значении α, не исключая и значений = 0 и π, можно найти такое положительное число r
0
, чтобы было u > 0 прите. на всякой полупрямой, выходящей изначала координат, функция u имеет знак) вблизи начала координат. Однако, как мы видим, это не влечет за собой минимума вначале координат, где u = 0, ибо нельзя найти упомянутое число так, чтобы оно было одно и тоже для всех значений В [76] мы построили кривую (y − x
2
)
2
− x
5
= 0 и видели, что она вначале координат имеет точку возврата второго рода, а левая часть этого уравнения имеет знак (—) вблизи начала координат, если рассматривать ее значения в точках, заключающихся в заштрихованной области между двумя ветвями кривой (рис. 165).
166. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Положим,
что требуется найти наибольшее значение некоторой функции f (x, y), заданной в определенной области. Указанный в [163] прием позволяет нам найти все максимумы функции внутри этой области, тете точки внутри области, в которых значения функции не меньше, чем в соседних сними точках. Для нахождения наибольшего значениях функции надо принять во внимание значения функции на границе (контуре) данной области и сравнить ее максимумы внутри области со значениями на контуре. Наибольшее из всех этих значений и будет наибольшим значением функции в данной области. Аналогично находится и наименьшее значение функции в данной области. Для разъяснения сказанного рассмотрим пример.
Рис. На плоскости дан треугольник рис. 166), образованный осями OX и и прямой x + y − 1 = Требуется найти такую точку этого треугольника, для которой сумма квадратов ее расстояний до вершин треугольника была бы наименьшей.
Принимая во внимание, что вершины и B имеют координаты (1, 0) и (0, 1), мы
167]
§ 16. Формула Тейлора
511
можем написать выражение для вышеупомянутой суммы квадратов расстояний переменой точки (x, y) до вершин треугольника = 2x
2
+ 2y
2
+ (x − 1)
2
+ (y − Приравнивая нулю частные производные первого порядка, получим x = y =
1
/
3
, и нетрудно показать, что этим значениям соответствует минимум z =
4
/
3
. Исследует теперь значения z на контуре треугольника.
Для исследования z на стороне OA надо в выражении для z положить y = 0:
z = 2x
2
+ (x − 1)
2
+ причем x может меняться в промежутке (0, Поступая согласно убедимся, что z на стороне OA принимает наименьшее значение z в точке C, для которой x =
1
/
3
. Точно также и на стороне OB наименьшее значение z будет равно
5
/
3
и будет достигаться в точке D, для которой y =
1
/
3
. Для исследования значений z на стороне AB надо, согласно уравнению (16), в выражении z положить y = 1 − x:
z = 3x
2
+ 3(x − причем x может меняться в промежутке (0, 1). В данном случае наименьшее значение z будет z и будет достигаться в точке E, для которой x = y =
1
/
2
. Мы получаем, таким образом, следующую таблицу возможных наименьших значений функции, y
1 3
,
1 3
1 3
, 0 0,
1 3
1 2
,
1 2
z
4 3
5 3
5 3
3 Из этой таблицы мы видим, что наименьшее значение z будет достигаться в точке (
1
/
3
,
1
/
3
). Рассматриваемая задача может быть также решена и для любого треугольника, и искомая точка является центром тяжести треугольника. Относительные максимумы и минимумы. До сих пор мы рассматривали максимумы и минимумы функции, предполагая,
∗
Функция двух переменных, суженая на отрезок, оказывается функцией одной переменной
[166
Рис. и из этого выражения видно, что при всяком значении α, не исключая и значений = 0 и π, можно найти такое положительное число r
0
, чтобы было u > 0 прите. на всякой полупрямой, выходящей изначала координат, функция u имеет знак) вблизи начала координат. Однако, как мы видим, это не влечет за собой минимума вначале координат, где u = 0, ибо нельзя найти упомянутое число так, чтобы оно было одно и тоже для всех значений В [76] мы построили кривую (y − x
2
)
2
− x
5
= 0 и видели, что она вначале координат имеет точку возврата второго рода, а левая часть этого уравнения имеет знак (—) вблизи начала координат, если рассматривать ее значения в точках, заключающихся в заштрихованной области между двумя ветвями кривой (рис. 165).
166. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Положим,
что требуется найти наибольшее значение некоторой функции f (x, y), заданной в определенной области. Указанный в [163] прием позволяет нам найти все максимумы функции внутри этой области, тете точки внутри области, в которых значения функции не меньше, чем в соседних сними точках. Для нахождения наибольшего значениях функции надо принять во внимание значения функции на границе (контуре) данной области и сравнить ее максимумы внутри области со значениями на контуре. Наибольшее из всех этих значений и будет наибольшим значением функции в данной области. Аналогично находится и наименьшее значение функции в данной области. Для разъяснения сказанного рассмотрим пример.
Рис. На плоскости дан треугольник рис. 166), образованный осями OX и и прямой x + y − 1 = Требуется найти такую точку этого треугольника, для которой сумма квадратов ее расстояний до вершин треугольника была бы наименьшей.
Принимая во внимание, что вершины и B имеют координаты (1, 0) и (0, 1), мы
167]
§ 16. Формула Тейлора
511
можем написать выражение для вышеупомянутой суммы квадратов расстояний переменой точки (x, y) до вершин треугольника = 2x
2
+ 2y
2
+ (x − 1)
2
+ (y − Приравнивая нулю частные производные первого порядка, получим x = y =
1
/
3
, и нетрудно показать, что этим значениям соответствует минимум z =
4
/
3
. Исследует теперь значения z на контуре треугольника.
Для исследования z на стороне OA надо в выражении для z положить y = 0:
z = 2x
2
+ (x − 1)
2
+ причем x может меняться в промежутке (0, Поступая согласно убедимся, что z на стороне OA принимает наименьшее значение z в точке C, для которой x =
1
/
3
. Точно также и на стороне OB наименьшее значение z будет равно
5
/
3
и будет достигаться в точке D, для которой y =
1
/
3
. Для исследования значений z на стороне AB надо, согласно уравнению (16), в выражении z положить y = 1 − x:
z = 3x
2
+ 3(x − причем x может меняться в промежутке (0, 1). В данном случае наименьшее значение z будет z и будет достигаться в точке E, для которой x = y =
1
/
2
. Мы получаем, таким образом, следующую таблицу возможных наименьших значений функции, y
1 3
,
1 3
1 3
, 0 0,
1 3
1 2
,
1 2
z
4 3
5 3
5 3
3 Из этой таблицы мы видим, что наименьшее значение z будет достигаться в точке (
1
/
3
,
1
/
3
). Рассматриваемая задача может быть также решена и для любого треугольника, и искомая точка является центром тяжести треугольника. Относительные максимумы и минимумы. До сих пор мы рассматривали максимумы и минимумы функции, предполагая,
∗
Функция двух переменных, суженая на отрезок, оказывается функцией одной переменной
Гл. V. Функции нескольких переменных
[167
что те переменные, от которых функция зависит, суть независимые переменные. В подобных случаях максимумы и минимумы называются абсолютными. Перейдем теперь к рассмотрению того случая,
когда переменные, от которых зависит функция, связаны некоторыми соотношениями. В подобных случаях максимумы и минимумы называются относительными.
∗
Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (x
1
, x
2
, . . . , x m
, x m+1
, . . . , x от (m + n) переменных x i
, которые связаны n соотношениями, x
2
, . . . , x m
, x m+1
, x m+n
) = 0
(17)
(i = 1, 2, . . . , В дальнейшем для сокращения письма мы не будем писать аргументов у функций. Разрешая n соотношений (17) относительно n переменных, например m+1
, x m+2
, . . . , x мы выразим их через остальные m независимых переменных x
1
, x
2
, . . . , x подставляя эти выражения в функцию f , получим функцию от m независимых переменных, те. придем к задаче отыскания абсолютных максимумов и минимумов. Но такое разрешение системы) часто бывает практически затруднительными даже невыполнимыми мы укажем другой способ решения задачи, способ множителей Лагранжа.
Пусть в некоторой точке M (x
1
, x
2
, . . . , x m+n
) функция f достигает относительного максимума или минимума. Предполагая существование производных в точке M , можем утверждать, что полный дифференциал функции f должен обращаться в нуль в точке [162]:
m+n
X
s=1
∂f
∂x s
dx s
= В математической литратуре такие максимумы и минимумы часто называются условными
167]
§ 16. Формула Тейлора
513
С другой стороны, дифференцируя соотношения (17), получим в той же точке M следующие n равенств s
dx = 0 (i = 1, 2, . . . Умножим эти последние уравнения на неопределенные пока множители и сложим их все почленно друг с другом и соотношением (18):
m+n
X
s=1
∂f
∂x s
+ λ
1
∂ϕ
1
∂x s
+ λ
2
∂ϕ
2
∂x s
+ . . . + λ
n
∂ϕ
n
∂x s
dx s
= Определим эти n множителей так, чтобы коэффициенты при n дифференциалах dx m+1
, dx m+2
, . . . , dx m+n зависимых переменных были равны нулю, те. определим λ
1
, λ
2
,
. . . , λ
n из n равенств s
+ λ
1
∂ϕ
1
∂x s
+ λ
2
∂ϕ
2
∂x s
+ . . . + λ
n
∂ϕ
n
∂x s
= 0
(20)
(s = m + 1, m + 2, . . . , m + Тогда в левой части соотношения (19) останутся лишь члены,
содержащие дифференциалы независимых переменных dx
1
, dx
2
, . . . , dx то есть m
X
s=1
∂f
∂x s
+ λ
1
∂ϕ
1
∂x s
+ λ
2
∂ϕ
2
∂x s
+ . . . + λ
n
∂ϕ
n
∂x s
dx s
= Но дифференциалы dx
1
, dx
2
, . . . , dx независимых переменных суть величины произвольные. Приравнивая один из них единице, а
[167
что те переменные, от которых функция зависит, суть независимые переменные. В подобных случаях максимумы и минимумы называются абсолютными. Перейдем теперь к рассмотрению того случая,
когда переменные, от которых зависит функция, связаны некоторыми соотношениями. В подобных случаях максимумы и минимумы называются относительными.
∗
Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции f (x
1
, x
2
, . . . , x m
, x m+1
, . . . , x от (m + n) переменных x i
, которые связаны n соотношениями, x
2
, . . . , x m
, x m+1
, x m+n
) = 0
(17)
(i = 1, 2, . . . , В дальнейшем для сокращения письма мы не будем писать аргументов у функций. Разрешая n соотношений (17) относительно n переменных, например m+1
, x m+2
, . . . , x мы выразим их через остальные m независимых переменных x
1
, x
2
, . . . , x подставляя эти выражения в функцию f , получим функцию от m независимых переменных, те. придем к задаче отыскания абсолютных максимумов и минимумов. Но такое разрешение системы) часто бывает практически затруднительными даже невыполнимыми мы укажем другой способ решения задачи, способ множителей Лагранжа.
Пусть в некоторой точке M (x
1
, x
2
, . . . , x m+n
) функция f достигает относительного максимума или минимума. Предполагая существование производных в точке M , можем утверждать, что полный дифференциал функции f должен обращаться в нуль в точке [162]:
m+n
X
s=1
∂f
∂x s
dx s
= В математической литратуре такие максимумы и минимумы часто называются условными
167]
§ 16. Формула Тейлора
513
С другой стороны, дифференцируя соотношения (17), получим в той же точке M следующие n равенств s
dx = 0 (i = 1, 2, . . . Умножим эти последние уравнения на неопределенные пока множители и сложим их все почленно друг с другом и соотношением (18):
m+n
X
s=1
∂f
∂x s
+ λ
1
∂ϕ
1
∂x s
+ λ
2
∂ϕ
2
∂x s
+ . . . + λ
n
∂ϕ
n
∂x s
dx s
= Определим эти n множителей так, чтобы коэффициенты при n дифференциалах dx m+1
, dx m+2
, . . . , dx m+n зависимых переменных были равны нулю, те. определим λ
1
, λ
2
,
. . . , λ
n из n равенств s
+ λ
1
∂ϕ
1
∂x s
+ λ
2
∂ϕ
2
∂x s
+ . . . + λ
n
∂ϕ
n
∂x s
= 0
(20)
(s = m + 1, m + 2, . . . , m + Тогда в левой части соотношения (19) останутся лишь члены,
содержащие дифференциалы независимых переменных dx
1
, dx
2
, . . . , dx то есть m
X
s=1
∂f
∂x s
+ λ
1
∂ϕ
1
∂x s
+ λ
2
∂ϕ
2
∂x s
+ . . . + λ
n
∂ϕ
n
∂x s
dx s
= Но дифференциалы dx
1
, dx
2
, . . . , dx независимых переменных суть величины произвольные. Приравнивая один из них единице, а
Гл. V. Функции нескольких переменных
[168
остальные нулю, мы видим, что из равенства (21) вытекает, что все коэффициенты этого неравенства должны быть равны нулю то есть s
+ λ
1
∂ϕ
1
∂x s
+ λ
2
∂ϕ
2
∂x s
+ . . . + λ
n
∂ϕ
n
∂x s
= 0
(s = 1, 2, . . . , m). (Надо считать, что во всех предыдущих формулах, начиная с, переменные x заменены координатами той точки M , в которой достигает, по предположению, относительного максимума или минимума. В частности, это относится и к уравнениям (20), из которых должны быть определены λ
1
, λ
2
, . . . , Таким образом, уравнения (22), (20) и (17) выражают необходимое условие того, что в точке (x
1
, x
2
, . . . , x m+n
) достигается относительный максимум или минимум.
Уравнения (22), (20) и (17) дадут нам (m + 2n) уравнений для определения (m + n) переменных x и n множителей Из системы (22) и (20) видно, что для определения тех значений переменных x s
, при которых функция f достигает относительного максимума или минимума, надо приравнять нулю частные производные по всем x от функции Φ, определяемой равенством+ считая λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n постоянными, и присоединить n уравнений связи (В следующем параграфе мы кратко изложим вопрос о достаточных условиях.
Отметим, что при выводе указанного правила мы предположили не только существование производных у функций f и ϕ
i
, но и возможность определения множителей λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n из уравнения. В связи с этим указанное правило может не дать нам некоторых значений (x
1
, x
2
, . . . , x m+n
), для которых достигается относительный максимум или минимум. Мы выясним сейчас более подробно это обстоятельство в простейших случаях и уточним теорию. Дополнительные замечания.
Пусть ищутся относительные максимумы и минимумы функции f (x, y) при одном дополнительном
168]
§ 16. Формула Тейлора
515
условии
ϕ(x, y) = и предположим, что, например, относительный максимум достигается в точке (x
0
, y
0
), так что ϕ(x
0
, y
0
) = 0. Пусть ϕ(x, y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в точке (x
0
, y
0
) и ее некоторой окрестности, и предположим, кроме того, что, y
0
) 6= При этом уравнение (23) определит единственным образом в окрестности функцию y = ω(x), непрерывную, с непрерывной производной и такую, что y
0
= ω(x
0
) [157]. Подставляя y = ω(x) в функцию f (x, y), мы можем утверждать, что функция f [x, ω(x)] одного переменного должна достигать максимума при x = x
0
, и, следовательно, ее полная производная по x должна обращаться в нуль при x = x
0
, то есть f
′
x
0
(x
0
, y
0
) + f
′
y
0
(x
0
, y
0
)ω
′
(x
0
) = Подставляя y = ω(x) в (23) и дифференцируя по x, получим в точке, y
0
) [69]:
ϕ
′
x
0
(x
0
, y
0
) + ϕ
′
y
0
(x
0
, y
0
)ω
′
(x
0
) = Умножая второе уравнение на λ и складывая почленно с первым, получим Определяя λ из условия f
′
y
0
+ λϕ
′
y
0
= 0, что возможно, в силу (24), будем иметь f
′
x
0
+ λϕ
′
x
0
= 0, те. придем к двум уравнениям f
′
x
0
+ λϕ
′
x
0
= 0;
f
′
y
0
+ λϕ
′
y
0
= к которым надо присоединить еще уравнение ϕ(x
0
, y
0
) = 0, чем и оправдывается способ множителей. Если условие (24) не выполнено, те, но ϕ
′
x
0
(x
0
, y
0
) 6= 0, то можно повторить все предыдущие рассуждения, меняя x и y ролями. Если в точке (x
0
, y
0
) мы имеем, y
0
) = и, y
0
) = то мы не можем доказать, что точка (x
0
, y
0
) получается при помощи правила множителей.
Равенства (26) показывают, что точка (x
0
, y
0
) является особой точкой кривой (23) [76]. Дадим сейчас пример такой задачи, для которой имеют место условия (26) в точке относительного минимума
168]
§ 16. Формула Тейлора
517
Умножаем эти равенства на λ
1
, и складываем с предыдущим) = 0. (Принимая во внимание (28), можем утверждать, что из двух уравнений f
′
y
0
+ λ
1
ϕ
′
y
0
+ λ
2
ψ
′
y
0
= 0,
f
′
z
0
+ λ
1
ϕ
′
z
0
+ λ
2
ψ
′
z
0
= мы сможем определить и λ
2
, и уравнение (29) после этого приведет нас к равенству f
′
x
0
+ λ
1
ϕ
′
x
0
+ λ
2
ψ
′
x
0
= чем и оправдывается способ множителей для данного случая. К уравнениями) надо добавить еще, y
0
, z
0
) = и, y
0
, z
0
) = Вместо условия (28) мы могли бы поставить аналогичное условие,
дифференцируя не пои, а пои или пои. Но если не только выражение, стоящее в левой части (28), но и два других аналогичных выражения, которые получаются при дифференцировании пои или пои равны нулю, то мы не сможем оправдать способ множителей для точки (x
0
, y
0
, z
0
). Можно показать, что во всех рассмотренных в следующем номере примерах мы не можем иметь такого случая. Так,
[168
остальные нулю, мы видим, что из равенства (21) вытекает, что все коэффициенты этого неравенства должны быть равны нулю то есть s
+ λ
1
∂ϕ
1
∂x s
+ λ
2
∂ϕ
2
∂x s
+ . . . + λ
n
∂ϕ
n
∂x s
= 0
(s = 1, 2, . . . , m). (Надо считать, что во всех предыдущих формулах, начиная с, переменные x заменены координатами той точки M , в которой достигает, по предположению, относительного максимума или минимума. В частности, это относится и к уравнениям (20), из которых должны быть определены λ
1
, λ
2
, . . . , Таким образом, уравнения (22), (20) и (17) выражают необходимое условие того, что в точке (x
1
, x
2
, . . . , x m+n
) достигается относительный максимум или минимум.
Уравнения (22), (20) и (17) дадут нам (m + 2n) уравнений для определения (m + n) переменных x и n множителей Из системы (22) и (20) видно, что для определения тех значений переменных x s
, при которых функция f достигает относительного максимума или минимума, надо приравнять нулю частные производные по всем x от функции Φ, определяемой равенством+ считая λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n постоянными, и присоединить n уравнений связи (В следующем параграфе мы кратко изложим вопрос о достаточных условиях.
Отметим, что при выводе указанного правила мы предположили не только существование производных у функций f и ϕ
i
, но и возможность определения множителей λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n из уравнения. В связи с этим указанное правило может не дать нам некоторых значений (x
1
, x
2
, . . . , x m+n
), для которых достигается относительный максимум или минимум. Мы выясним сейчас более подробно это обстоятельство в простейших случаях и уточним теорию. Дополнительные замечания.
Пусть ищутся относительные максимумы и минимумы функции f (x, y) при одном дополнительном
168]
§ 16. Формула Тейлора
515
условии
ϕ(x, y) = и предположим, что, например, относительный максимум достигается в точке (x
0
, y
0
), так что ϕ(x
0
, y
0
) = 0. Пусть ϕ(x, y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в точке (x
0
, y
0
) и ее некоторой окрестности, и предположим, кроме того, что, y
0
) 6= При этом уравнение (23) определит единственным образом в окрестности функцию y = ω(x), непрерывную, с непрерывной производной и такую, что y
0
= ω(x
0
) [157]. Подставляя y = ω(x) в функцию f (x, y), мы можем утверждать, что функция f [x, ω(x)] одного переменного должна достигать максимума при x = x
0
, и, следовательно, ее полная производная по x должна обращаться в нуль при x = x
0
, то есть f
′
x
0
(x
0
, y
0
) + f
′
y
0
(x
0
, y
0
)ω
′
(x
0
) = Подставляя y = ω(x) в (23) и дифференцируя по x, получим в точке, y
0
) [69]:
ϕ
′
x
0
(x
0
, y
0
) + ϕ
′
y
0
(x
0
, y
0
)ω
′
(x
0
) = Умножая второе уравнение на λ и складывая почленно с первым, получим Определяя λ из условия f
′
y
0
+ λϕ
′
y
0
= 0, что возможно, в силу (24), будем иметь f
′
x
0
+ λϕ
′
x
0
= 0, те. придем к двум уравнениям f
′
x
0
+ λϕ
′
x
0
= 0;
f
′
y
0
+ λϕ
′
y
0
= к которым надо присоединить еще уравнение ϕ(x
0
, y
0
) = 0, чем и оправдывается способ множителей. Если условие (24) не выполнено, те, но ϕ
′
x
0
(x
0
, y
0
) 6= 0, то можно повторить все предыдущие рассуждения, меняя x и y ролями. Если в точке (x
0
, y
0
) мы имеем, y
0
) = и, y
0
) = то мы не можем доказать, что точка (x
0
, y
0
) получается при помощи правила множителей.
Равенства (26) показывают, что точка (x
0
, y
0
) является особой точкой кривой (23) [76]. Дадим сейчас пример такой задачи, для которой имеют место условия (26) в точке относительного минимума
Гл. V. Функции нескольких переменных
[168
Пусть требуется найти кратчайшее расстояние от точки (−1, 0) до точек, лежащих на полукубической параболе y
2
− x
3
= 0, изображенной на рис. 87 [76]. Таким образом, ищется минимум функции f = (при условии ϕ = y
2
− x
3
= 0. Геометрически очевидно, что минимум достигается в точке (0, 0), лежащей на полукубической параболе, причем эта точка является особой точкой параболы. Способ множителей приведет нас к следующим двум уравнениям + 1) − 3λx
2
= 0,
2y + 2λy = При подстановке x = 0, y = 0 первое уравнение приводит к нелепому равенству 2 = 0, а второе — удовлетворено при любом λ. В данном случае способ множителей не приведет нас к точке (0, 0), в которой достигается относительный минимум.
Совершенно аналогично можно показать, что если в точке (x
0
, y
0
, функция достигает максимума или минимума, при одном дополнительном условии ϕ(x, y, z) = 0, ипритом по крайней мере одна из частных производных первого порядка функции ϕ отлична от нуля в точке, y
0
, z
0
), то эта точка может быть получена по способу множителей.
Аналогичны рассуждения ив более общих случаях, но при этом приходится ссылаться на теорему существования неявных функций для систем уравнений, о чем мы упоминали в [157]. Пусть, например, функция) достигает относительного максимума в точке (x
0
, y
0
, z
0
) при двух дополнительных условиях, y, z) = 0,
ψ(x, y, z) = и при обычных предположениях существования и непрерывности производных, и пусть мы имеем, y
0
, z
0
)ψ
′
z
0
(x
0
, y
0
, z
0
) − ϕ
′
z
0
(x
0
, y
0
, z
0
)ψ
′
y
0
(x
0
, y
0
, z
0
) 6= При этом уравнения (27) определяют единственным образом функции) такие, что y
0
= ω
1
(x
0
), z
0
= ω
2
(x
0
). Подставляя эти функции в функцию f , получим функцию одного x, которая имеет максимум при x = x
0
, откуда следует f
′
x
0
(x
0
, y
0
, z
0
) + f
′
y
0
(x
0
, y
0
, z
0
)ω
′
1
(x
0
) + f
′
z
0
(x
0
, y
0
, z
0
)ω
′
2
(x
0
) = Подставляя указанные функции в (27) и дифференцируя по x в точке, y
0
, z
0
), получим+ ϕ
′
y
0
ω
′
1
(x
0
) + ϕ
′
z
0
ω
′
2
(x
0
) = 0,
ψ
′
x
0
+ ψ
′
y
0
ω
′
1
(x
0
) + ψ
′
z
0
ω
′
2
(x
0
) = 0.
[168
Пусть требуется найти кратчайшее расстояние от точки (−1, 0) до точек, лежащих на полукубической параболе y
2
− x
3
= 0, изображенной на рис. 87 [76]. Таким образом, ищется минимум функции f = (при условии ϕ = y
2
− x
3
= 0. Геометрически очевидно, что минимум достигается в точке (0, 0), лежащей на полукубической параболе, причем эта точка является особой точкой параболы. Способ множителей приведет нас к следующим двум уравнениям + 1) − 3λx
2
= 0,
2y + 2λy = При подстановке x = 0, y = 0 первое уравнение приводит к нелепому равенству 2 = 0, а второе — удовлетворено при любом λ. В данном случае способ множителей не приведет нас к точке (0, 0), в которой достигается относительный минимум.
Совершенно аналогично можно показать, что если в точке (x
0
, y
0
, функция достигает максимума или минимума, при одном дополнительном условии ϕ(x, y, z) = 0, ипритом по крайней мере одна из частных производных первого порядка функции ϕ отлична от нуля в точке, y
0
, z
0
), то эта точка может быть получена по способу множителей.
Аналогичны рассуждения ив более общих случаях, но при этом приходится ссылаться на теорему существования неявных функций для систем уравнений, о чем мы упоминали в [157]. Пусть, например, функция) достигает относительного максимума в точке (x
0
, y
0
, z
0
) при двух дополнительных условиях, y, z) = 0,
ψ(x, y, z) = и при обычных предположениях существования и непрерывности производных, и пусть мы имеем, y
0
, z
0
)ψ
′
z
0
(x
0
, y
0
, z
0
) − ϕ
′
z
0
(x
0
, y
0
, z
0
)ψ
′
y
0
(x
0
, y
0
, z
0
) 6= При этом уравнения (27) определяют единственным образом функции) такие, что y
0
= ω
1
(x
0
), z
0
= ω
2
(x
0
). Подставляя эти функции в функцию f , получим функцию одного x, которая имеет максимум при x = x
0
, откуда следует f
′
x
0
(x
0
, y
0
, z
0
) + f
′
y
0
(x
0
, y
0
, z
0
)ω
′
1
(x
0
) + f
′
z
0
(x
0
, y
0
, z
0
)ω
′
2
(x
0
) = Подставляя указанные функции в (27) и дифференцируя по x в точке, y
0
, z
0
), получим+ ϕ
′
y
0
ω
′
1
(x
0
) + ϕ
′
z
0
ω
′
2
(x
0
) = 0,
ψ
′
x
0
+ ψ
′
y
0
ω
′
1
(x
0
) + ψ
′
z
0
ω
′
2
(x
0
) = 0.
168]
§ 16. Формула Тейлора
517
Умножаем эти равенства на λ
1
, и складываем с предыдущим) = 0. (Принимая во внимание (28), можем утверждать, что из двух уравнений f
′
y
0
+ λ
1
ϕ
′
y
0
+ λ
2
ψ
′
y
0
= 0,
f
′
z
0
+ λ
1
ϕ
′
z
0
+ λ
2
ψ
′
z
0
= мы сможем определить и λ
2
, и уравнение (29) после этого приведет нас к равенству f
′
x
0
+ λ
1
ϕ
′
x
0
+ λ
2
ψ
′
x
0
= чем и оправдывается способ множителей для данного случая. К уравнениями) надо добавить еще, y
0
, z
0
) = и, y
0
, z
0
) = Вместо условия (28) мы могли бы поставить аналогичное условие,
дифференцируя не пои, а пои или пои. Но если не только выражение, стоящее в левой части (28), но и два других аналогичных выражения, которые получаются при дифференцировании пои или пои равны нулю, то мы не сможем оправдать способ множителей для точки (x
0
, y
0
, z
0
). Можно показать, что во всех рассмотренных в следующем номере примерах мы не можем иметь такого случая. Так,
1 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 ... 43
например, в примере I мы имеем одно дополнительное условие (32), ив левой части этого условия по крайней мере одно из чисел A, B и C отлично от нуля. Если, например, C 6= 0, то производная левой части (по z равна числу C и, следовательно, отлична от нуля во всякой точке, y, z). Это и указывает на то, что в рассматриваемом случае всякий ответ должен получаться по способу множителей.
Приведем теперь короткие указания о достаточных условиях относительного максимума или минимума, ограничиваясь тем случаем, когда мы имеем две независимые переменные. Пусть ищутся относительные максимумы и минимумы функции f (x, y, z) при наличии одной связи, y, z) = 0. Составляем функцию Φ = f + λϕ. Положим, что, приравнивая нулю ее производные первого порядка пои учитывая уравнение связи, мы получали значения x = x
0
, y = y
0
, z = z
0
, λ = Мы должны испытать полученные значения переменных, те. определить знак разности f (x, y, z) − f(x
0
, y
0
, z
0
) при всех (x, y, z), достаточно близких к (x
0
, y
0
, z
0
) и удовлетворяющих уравнению связи ϕ(x, y, z) = Введем функцию ψ(x, y, z) = f (x, y, z) + λ
0
ϕ(x, y, z). Из уравнения связи непосредственно следует, что вместо разности f (x, y, z) − f(x
0
, y
0
, z
0
)
Гл. V. Функции нескольких переменных
[168
можно взять разность ψ(x, y, z)−ψ(x
0
, y
0
, z
0
) и исследовать ее знак. Частные производные первого порядка функции ψ(x, y, z) в точке (x
0
, y
0
, обращаются по условию в нуль. Разлагая последнюю разность по формуле Тейлора и ограничиваясь членами со вторыми производными, получим выражение вида [ср. 165]:
ψ(x, y, z) − ψ(x
0
, y
0
, z
0
) = a
11
dx
2
+ a
22
dy
2
+ a
33
dz
2
+
+ 2a
12
dxdy + 2a
13
dxdz + 2a
23
dydz + . . . где через a ik мы обозначим значения соответствующих частных производных второго порядка функции ψ(x, y, z) в точке (x
0
, y
0
, z
0
) и через dx, dy, dz — приращения переменных. Положим, что ϕ
′
z
0
(x
0
, y
0
, z
0
) 6= так что уравнение связи определяет z = ω(x, y), причем z
0
= ω(x
0
, Из уравнения связи получаем, y, z)dx + ϕ
′
y
(x, y, z)dy + ϕ
′
z
(x, y, z)dz = Подставляя значения x = x
0
, y = y
0
, z = z
0
, выражаем dz через dx и dy:
dz = −
ϕ
′
x
0
(x
0
, y
0
, z
0
)
ϕ
′
z
0
(x
0
, y
0
, z
0
)
dx −
ϕ
′
y
0
(x
0
, y
0
, z
0
)
ϕ
′
z
0
(x
0
, y
0
, Подставляя это выражение dz в предыдущую формулу и собирая подобные члены, получим, y, z) − ψ(x
0
, y
0
, z
0
) = Adx
2
+ 2Bdxdy + Cdy
2
+ . . Теперь можно использовать признак максимума и минимума из Так, например, если AC − B
2
> 0 и A > 0, тов точке (x
0
, y
0
, z
0
) функция f (x, y, z) имеет относительный минимум. Из рассуждений, приведенных в [163], непосредственно следует, что для обоснования указанного правила достаточно предположить, что функции f (x, y, z) и ϕ(x, y, z) имеют в точке (x
0
, y
0
, z
0
) и ее окрестности непрерывные производные до второго порядка.
Мы не останавливаемся более подробно на вопросе о достаточных условиях относительного максимума и минимума. Существенными в предыдущих рассуждениях являлись замена разности f (x, y, z) −
f (x
0
, y
0
, z
0
) разностью ψ(x, y, z) − ψ(x
0
, y
0
, z
0
), у которой производные первого порядка в точке (x
0
, y
0
, z
0
) равны нулю, а также факт, что дифференциал зависимого переменного определялся через дифференциалы независимых переменных из уравнения первой степени. Аналогичным образом надо поступать для выяснения достаточных условий и при другом числе переменных и связей
169]
§ 16. Формула Тейлора 169. Примеры. Требуется найти кратчайшее расстояние от точки a, b, c до плоскости + By + Cz + D = Квадрат расстояния отданной точки (a, b, c) до переменной точки, y, z) выражается формулой r
2
= (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − В данном случае координаты (x, y, z) должны удовлетворять уравнению) (точка должна находиться на плоскости. Найдем минимум выражения) при условии (32). Составляем функцию = (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
+ λ
1
(Ax + By + Cz + Приравнивая нулю ее частные производные по x, y, z, получим x = a −
1 2
λ
1
A,
y = b −
1 2
λ
1
B,
z = c −
1 Подставляя эти значения в условие (32), можем определить λ
1
:
λ
1
=
2(Aa + Bb + Cc + D)
A
2
+ B
2
+ Мы получили единственный ответ, итак как наименьшее значение должно существовать, то ему и должны соответствовать найденные значения переменных. Подставляя значения (34) в выражение (33), получаем выражение для квадрата расстояния от точки до плоскости 0
=
1 4
λ
2 1
(A
2
+ B
2
+ где определяется по формуле (Разложить данное положительное число a натри положительных слагаемых x, y, z так, чтобы выражение x
m y
n был наибольшим (m,n,p — данные положительные числа).
Найдем максимум выражения (36) при условии x + y + z = a.
(37)
169]
§ 16. Формула Тейлора
521
Обозначим буквою c сопротивление проволоки изданного вещества,
длина которой и площадь поперечного сечения равны единице.
Функция V переменных q
0
, q
1
, . . . , q k
, наименьшее значение которой ищется, будет = l
0
q
0
+ l
1
q
1
+ . . . + l k
q Принимая во внимание данную разность потенциалов E, можем написать соотношений c
l
0
i
0
q
0
+
l s
i s
q s
− E = 0 (s = 1, 2, . . . , Составим функцию = (l
0
q
0
+ l
1
q
1
+ . . . + l k
q k
) +
k
X
s=1
λ
s
c
l
0
i
0
q
0
+
l s
i s
q s
− Приравнивая нулю частные производные от Φ по q
0
, q
1
, . . . , q k
, получим l
0
−
cl
0
i
0
q
2 0
(λ
1
+ λ
2
+ . . . + λ
k
) = 0,
l s
−
λ
s cl s
i s
q
2
s
= 0 (s = 1, 2, . . . , Из условий (39) получим l
1
i
1
q
1
=
l
2
i
2
q
2
= . . . =
l k
i k
q обозначив буквою σ общую величину этих отношений, можем написать q
s
=
l s
i s
σ
(s = 1, 2, . . . , k),
σ Из уравнений (40) имеем ci s
=
l
2
s i
s Подставив эти выражения λ
s в первое из уравнений (40), получим q
2 0
=
i
0
σ
2
(l
2 1
i
1
+ l
2 2
i
2
+ . . . + l
2
k или q
0
=
p i
0
(l
2 1
i
1
+ l
2 2
i
2
+ . . . + l
2
k i
k
)
E
c
−
l
0
i
0
q
0
,
[168
можно взять разность ψ(x, y, z)−ψ(x
0
, y
0
, z
0
) и исследовать ее знак. Частные производные первого порядка функции ψ(x, y, z) в точке (x
0
, y
0
, обращаются по условию в нуль. Разлагая последнюю разность по формуле Тейлора и ограничиваясь членами со вторыми производными, получим выражение вида [ср. 165]:
ψ(x, y, z) − ψ(x
0
, y
0
, z
0
) = a
11
dx
2
+ a
22
dy
2
+ a
33
dz
2
+
+ 2a
12
dxdy + 2a
13
dxdz + 2a
23
dydz + . . . где через a ik мы обозначим значения соответствующих частных производных второго порядка функции ψ(x, y, z) в точке (x
0
, y
0
, z
0
) и через dx, dy, dz — приращения переменных. Положим, что ϕ
′
z
0
(x
0
, y
0
, z
0
) 6= так что уравнение связи определяет z = ω(x, y), причем z
0
= ω(x
0
, Из уравнения связи получаем, y, z)dx + ϕ
′
y
(x, y, z)dy + ϕ
′
z
(x, y, z)dz = Подставляя значения x = x
0
, y = y
0
, z = z
0
, выражаем dz через dx и dy:
dz = −
ϕ
′
x
0
(x
0
, y
0
, z
0
)
ϕ
′
z
0
(x
0
, y
0
, z
0
)
dx −
ϕ
′
y
0
(x
0
, y
0
, z
0
)
ϕ
′
z
0
(x
0
, y
0
, Подставляя это выражение dz в предыдущую формулу и собирая подобные члены, получим, y, z) − ψ(x
0
, y
0
, z
0
) = Adx
2
+ 2Bdxdy + Cdy
2
+ . . Теперь можно использовать признак максимума и минимума из Так, например, если AC − B
2
> 0 и A > 0, тов точке (x
0
, y
0
, z
0
) функция f (x, y, z) имеет относительный минимум. Из рассуждений, приведенных в [163], непосредственно следует, что для обоснования указанного правила достаточно предположить, что функции f (x, y, z) и ϕ(x, y, z) имеют в точке (x
0
, y
0
, z
0
) и ее окрестности непрерывные производные до второго порядка.
Мы не останавливаемся более подробно на вопросе о достаточных условиях относительного максимума и минимума. Существенными в предыдущих рассуждениях являлись замена разности f (x, y, z) −
f (x
0
, y
0
, z
0
) разностью ψ(x, y, z) − ψ(x
0
, y
0
, z
0
), у которой производные первого порядка в точке (x
0
, y
0
, z
0
) равны нулю, а также факт, что дифференциал зависимого переменного определялся через дифференциалы независимых переменных из уравнения первой степени. Аналогичным образом надо поступать для выяснения достаточных условий и при другом числе переменных и связей
169]
§ 16. Формула Тейлора 169. Примеры. Требуется найти кратчайшее расстояние от точки a, b, c до плоскости + By + Cz + D = Квадрат расстояния отданной точки (a, b, c) до переменной точки, y, z) выражается формулой r
2
= (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − В данном случае координаты (x, y, z) должны удовлетворять уравнению) (точка должна находиться на плоскости. Найдем минимум выражения) при условии (32). Составляем функцию = (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
+ λ
1
(Ax + By + Cz + Приравнивая нулю ее частные производные по x, y, z, получим x = a −
1 2
λ
1
A,
y = b −
1 2
λ
1
B,
z = c −
1 Подставляя эти значения в условие (32), можем определить λ
1
:
λ
1
=
2(Aa + Bb + Cc + D)
A
2
+ B
2
+ Мы получили единственный ответ, итак как наименьшее значение должно существовать, то ему и должны соответствовать найденные значения переменных. Подставляя значения (34) в выражение (33), получаем выражение для квадрата расстояния от точки до плоскости 0
=
1 4
λ
2 1
(A
2
+ B
2
+ где определяется по формуле (Разложить данное положительное число a натри положительных слагаемых x, y, z так, чтобы выражение x
m y
n был наибольшим (m,n,p — данные положительные числа).
Найдем максимум выражения (36) при условии x + y + z = a.
(37)
Гл. V. Функции нескольких переменных
[169
Вместо максимума выражения (36) можно искать максимум его логарифма Составляем функцию = m log x + n log y + p log z + λ
1
(x + y + z − Приравнивая нулю ее частные производные, получим x = −
m
λ
1
,
y = −
n
λ
1
,
z = и соотношение (37) дает −
m + n + p то есть x =
ma m + n + p
,
y =
na m + n + p
,
z =
pa m + n + причем найденные значения переменных суть положительные числа.
Можно показать, что при поставленных условиях выражение (36) должно иметь наибольшее значение, и единственность ответа показывает, как ив примере 1, что найденным значениям переменных и соответствует,
именно, наибольшее значение выражения (Формулы (38) показывают, что для решения задачи число a надо разбить на части, пропорциональные показателями Рис. Предлагаем читателю в последних двух примерах провести исследование достаточных условий по методу, указанному в предыдущем па- раграфе.
3.
Проводник длины разветвляется на одном из своих концов на k отдельных проводников длин l
s
(s = 1, 2, . . . , k), причем сила тока в соответствующих частях проводника есть i
0
, i
1
, . . . , i k
. Спрашивается, как надо выбрать площади поперечных сечений q
0
, q
1
, . . . , q отдельных частей проводника для того, чтобы приданной разности потенциалов E для цепей (l
0
, l
1
), (l
0
, l
2
),
. . . , (l
0
, l k
) пошло наименьшее количество материала V (рис. 167).
[169
Вместо максимума выражения (36) можно искать максимум его логарифма Составляем функцию = m log x + n log y + p log z + λ
1
(x + y + z − Приравнивая нулю ее частные производные, получим x = −
m
λ
1
,
y = −
n
λ
1
,
z = и соотношение (37) дает −
m + n + p то есть x =
ma m + n + p
,
y =
na m + n + p
,
z =
pa m + n + причем найденные значения переменных суть положительные числа.
Можно показать, что при поставленных условиях выражение (36) должно иметь наибольшее значение, и единственность ответа показывает, как ив примере 1, что найденным значениям переменных и соответствует,
именно, наибольшее значение выражения (Формулы (38) показывают, что для решения задачи число a надо разбить на части, пропорциональные показателями Рис. Предлагаем читателю в последних двух примерах провести исследование достаточных условий по методу, указанному в предыдущем па- раграфе.
3.
Проводник длины разветвляется на одном из своих концов на k отдельных проводников длин l
s
(s = 1, 2, . . . , k), причем сила тока в соответствующих частях проводника есть i
0
, i
1
, . . . , i k
. Спрашивается, как надо выбрать площади поперечных сечений q
0
, q
1
, . . . , q отдельных частей проводника для того, чтобы приданной разности потенциалов E для цепей (l
0
, l
1
), (l
0
, l
2
),
. . . , (l
0
, l k
) пошло наименьшее количество материала V (рис. 167).
169]
§ 16. Формула Тейлора
521
Обозначим буквою c сопротивление проволоки изданного вещества,
длина которой и площадь поперечного сечения равны единице.
Функция V переменных q
0
, q
1
, . . . , q k
, наименьшее значение которой ищется, будет = l
0
q
0
+ l
1
q
1
+ . . . + l k
q Принимая во внимание данную разность потенциалов E, можем написать соотношений c
l
0
i
0
q
0
+
l s
i s
q s
− E = 0 (s = 1, 2, . . . , Составим функцию = (l
0
q
0
+ l
1
q
1
+ . . . + l k
q k
) +
k
X
s=1
λ
s
c
l
0
i
0
q
0
+
l s
i s
q s
− Приравнивая нулю частные производные от Φ по q
0
, q
1
, . . . , q k
, получим l
0
−
cl
0
i
0
q
2 0
(λ
1
+ λ
2
+ . . . + λ
k
) = 0,
l s
−
λ
s cl s
i s
q
2
s
= 0 (s = 1, 2, . . . , Из условий (39) получим l
1
i
1
q
1
=
l
2
i
2
q
2
= . . . =
l k
i k
q обозначив буквою σ общую величину этих отношений, можем написать q
s
=
l s
i s
σ
(s = 1, 2, . . . , k),
σ Из уравнений (40) имеем ci s
=
l
2
s i
s Подставив эти выражения λ
s в первое из уравнений (40), получим q
2 0
=
i
0
σ
2
(l
2 1
i
1
+ l
2 2
i
2
+ . . . + l
2
k или q
0
=
p i
0
(l
2 1
i
1
+ l
2 2
i
2
+ . . . + l
2
k i
k
)
E
c
−
l
0
i
0
q
0
,
Гл. V. Функции нескольких переменных
[169
откуда окончательно q
0
=
c
E
[l
0
i
0
+
q i
0
(l
2 1
i
1
+ l
2 2
i
2
+ . . . + l
2
k Подставляя это выражение в соотношения (41), получим для q
1
, q
2
,
. . . , q k
:
q s
=
cl s
i s
E
1 +
l
0
i
0
p i
0
(l
2 1
i
1
+ l
2 2
i
2
+ . . . + l
2
k i
k
)
(s = 1, 2, . . . , Таким образом, необходимые условия максимума и минимума V дают нам единственную систему положительных значений для q
0
, q
1
, . . . ,
q k
; но из физических соображений ясно, что при некотором выборе площадей поперечных сечений должно получаться наименьшее количество материала, и можно утверждать, что полученные значения q
0
, q
1
,. . . , q и дадут решения задачи
[169
откуда окончательно q
0
=
c
E
[l
0
i
0
+
q i
0
(l
2 1
i
1
+ l
2 2
i
2
+ . . . + l
2
k Подставляя это выражение в соотношения (41), получим для q
1
, q
2
,
. . . , q k
:
q s
=
cl s
i s
E
1 +
l
0
i
0
p i
0
(l
2 1
i
1
+ l
2 2
i
2
+ . . . + l
2
k i
k
)
(s = 1, 2, . . . , Таким образом, необходимые условия максимума и минимума V дают нам единственную систему положительных значений для q
0
, q
1
, . . . ,
q k
; но из физических соображений ясно, что при некотором выборе площадей поперечных сечений должно получаться наименьшее количество материала, и можно утверждать, что полученные значения q
0
, q
1
,. . . , q и дадут решения задачи
ГЛАВА КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, НАЧАЛА
ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 17. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Комплексные числа. Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни. Это обстоятельство приводит, естественно, к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем которых являются вещественные числа. При этом существенно определить эти числа и действия над ними таким образом, чтобы для новых чисел остались в силе все основные законы действий, известные для вещественных чисел. Это, как мы покажем дальше, оказывается возможным.
Не только указанная выше невыполнимость, в некоторых случаях, действия извлечения корня, но и простые геометрические соображения приводят к естественному расширению понятия о числе.
Мы и будем руководиться этими геометрическими соображениями при расширении понятия о числе
170]
§ 17. Комплексные числа
525
ный символ для обозначения комплексного числа. После определения сложения комплексных чисел мы вернемся к рассмотрению этого знака.
Вещественные числа a и b представляют собой, очевидно, величины проекций вектора M N на координатные оси.
Отложим от начала координат вектор OA (рис. 168), совпадающий по длине и направлению с вектором M N . Конец этого вектора будет иметь координаты (a, b), и этой точке A мы можем сопоставить тоже комплексное число a + bi, что и векторами Итак, всякому вектору плоскости (всякой точке плоскости)
соответствует определенное комплексное число a + bi. Вещественные числа a и b равны проекциям рассматриваемого вектора на координатные оси (координатам рассматриваемой точки).
Придавая в выражении a + bi буквами всевозможные вещественные значения, получим совокупность комплексных чисел называется вещественной и bi — мнимой частью комплексного числа.
∗
В частном случае вектора, параллельного оси OX, комплексное число совпадает со всей вещественной частью + 0i = Таким образом, вещественное число a мы считаем частным случаем комплексного числа.
Понятие о равенстве двух комплексных чисел вытекает из их геометрической интерпретации. Два вектора считаются равными,
если они имеют одинаковую длину и совпадающее направление,
т. е. если они имеют одинаковые проекции на координатные оси, а потому два комплексных числа считаются равными между собой тогда и только тогда, когда в отдельности равны их вещественные и мнимые части, те. условие равенства комплексных чисел будет a
1
+ b
1
i = a
2
+ b
2
i равносильно a
1
= a
2
, b
1
= Часто мнимой частью комплексного числа называют только b, подчеркивая что и вещественная и мнимая части являются числами вещественными.
Это позволяет говорить о комплексном числе, как об упорядоченной паре вещественных чисел
171]
§ 17. Комплексные числа
527
В дальнейшем мы будем часто обозначать комплексное число одной буквой.
∗
Если α есть комплексное число, то его модуль будет обозначаться символом |α|. Пользуясь выражением (3) для a и можем выразить комплексное число через его модуль и аргумент в виде r(cos ϕ + i sin В этом случае говорят, что комплексное число написано в тригонометрической форме. Сложение и вычитание комплексных чисел. Сумма векторов представляет собою замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, что проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, мы приходим к следующему определению сложения комплексных чисел) + (b
1
+ b
2
+ . . . + b n
)i. (Нетрудно видеть, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и что слагаемые можно объединять в группы (сочетательный закон, ибо такими свойствами обладают сумма вещественных чисел a и сумма вещественных чисел b Как мы упоминали выше, комплексное число a + 0i отождествляется с вещественным числом a. Точно также число 0 + bi записывают просто в виде bi (чисто мнимое число. Пользуясь определением сложения, мы можем утверждать, что комплексное число a + bi есть сумма вещественного числа a и чисто мнимого числа то есть a + b = (a + 0i) + (0 + Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т. е.
разность x + yi = (a
1
+ b
1
i) − (a
2
+ В современных учебниках комплексные числа обычно обозначаются буквой Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . определяется из условия + yi) + (a
2
+ b
2
i) = a
1
+ или, в силу (4) и (2): x + a
2
= a
1
; y + b
2
= b
1
, те, и окончательно получаем+ b
1
i) − (a
2
+ b
2
i) = (a
1
− a
2
) + (b
1
− Вычитание комплексного числа (a
2
+ b
2
i), как мы видим, равносильно сложению уменьшаемого (a
1
+ b
1
i) и комплексного числа b
2
i). Это соответствует следующему вычитание векторов сводится к сложению вектора уменьшаемого с вектором, повели- чине равным вычитаемому, по направлению ему противополож- ным.
Рис. Рассмотрим вектор A
2
A
1
, начальной точке которого соответствует комплексное число a
ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 17. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Комплексные числа. Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни. Это обстоятельство приводит, естественно, к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем которых являются вещественные числа. При этом существенно определить эти числа и действия над ними таким образом, чтобы для новых чисел остались в силе все основные законы действий, известные для вещественных чисел. Это, как мы покажем дальше, оказывается возможным.
Не только указанная выше невыполнимость, в некоторых случаях, действия извлечения корня, но и простые геометрические соображения приводят к естественному расширению понятия о числе.
Мы и будем руководиться этими геометрическими соображениями при расширении понятия о числе
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . Мы знаем, что всякое вещественное число графически можно изобразить или как отрезок, отложенный на данной оси OX, или же как точку на этой оси, если условимся начала всех отрезков помещать в начала координат обратно — всякому отрезку или точке на оси OX соответствует определенное вещественное число.
Если теперь вместо одной оси OX рассматривать всю плоскость, отнесенную к координатным осям OX, OY , то, обобщив надлежащим образом понятие о числе, мы получим возможность каждому вектору, лежащему в этой плоскости, или каждой ее точке сопоставить некоторое число, которое мы назовем комплексным.
Если условимся не различать между собой векторы, равные по длине и одинаково направленные, то можно сопоставить вещественное число не только всякому вектору на оси OX, но, вообще, всякому вектору, параллельному оси OX. В частности, вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, соответствует вещественное число единица.
Вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OY , сопоставим символ i, называемой мнимой единицей. Всякий вектор M N плоскости может быть представлен как сумма двух векторов M P и P N , параллельных осям координат (рис. 168). Вектору M P , параллельному оси Рис. соответствует некоторое вещественное число a. Вектору M P , параллельному оси OY , пусть соответствует символ где b — вещественное число, абсолютное значение которого равно длине вектора и которое будет положительным, если направление P N совпадает с положительным направлением оси , и отрицательным, если направление противоположно положительному направлению OY . Таким образом, естественно, вектору M сопоставить комплексное число, имеющее вид a + Отметим тот факт, что знак (+) в написанном выражении a + bi не есть знак действия. Это выражение надо рассматривать как еди-
Если теперь вместо одной оси OX рассматривать всю плоскость, отнесенную к координатным осям OX, OY , то, обобщив надлежащим образом понятие о числе, мы получим возможность каждому вектору, лежащему в этой плоскости, или каждой ее точке сопоставить некоторое число, которое мы назовем комплексным.
Если условимся не различать между собой векторы, равные по длине и одинаково направленные, то можно сопоставить вещественное число не только всякому вектору на оси OX, но, вообще, всякому вектору, параллельному оси OX. В частности, вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, соответствует вещественное число единица.
Вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OY , сопоставим символ i, называемой мнимой единицей. Всякий вектор M N плоскости может быть представлен как сумма двух векторов M P и P N , параллельных осям координат (рис. 168). Вектору M P , параллельному оси Рис. соответствует некоторое вещественное число a. Вектору M P , параллельному оси OY , пусть соответствует символ где b — вещественное число, абсолютное значение которого равно длине вектора и которое будет положительным, если направление P N совпадает с положительным направлением оси , и отрицательным, если направление противоположно положительному направлению OY . Таким образом, естественно, вектору M сопоставить комплексное число, имеющее вид a + Отметим тот факт, что знак (+) в написанном выражении a + bi не есть знак действия. Это выражение надо рассматривать как еди-
170]
§ 17. Комплексные числа
525
ный символ для обозначения комплексного числа. После определения сложения комплексных чисел мы вернемся к рассмотрению этого знака.
Вещественные числа a и b представляют собой, очевидно, величины проекций вектора M N на координатные оси.
Отложим от начала координат вектор OA (рис. 168), совпадающий по длине и направлению с вектором M N . Конец этого вектора будет иметь координаты (a, b), и этой точке A мы можем сопоставить тоже комплексное число a + bi, что и векторами Итак, всякому вектору плоскости (всякой точке плоскости)
соответствует определенное комплексное число a + bi. Вещественные числа a и b равны проекциям рассматриваемого вектора на координатные оси (координатам рассматриваемой точки).
Придавая в выражении a + bi буквами всевозможные вещественные значения, получим совокупность комплексных чисел называется вещественной и bi — мнимой частью комплексного числа.
∗
В частном случае вектора, параллельного оси OX, комплексное число совпадает со всей вещественной частью + 0i = Таким образом, вещественное число a мы считаем частным случаем комплексного числа.
Понятие о равенстве двух комплексных чисел вытекает из их геометрической интерпретации. Два вектора считаются равными,
если они имеют одинаковую длину и совпадающее направление,
т. е. если они имеют одинаковые проекции на координатные оси, а потому два комплексных числа считаются равными между собой тогда и только тогда, когда в отдельности равны их вещественные и мнимые части, те. условие равенства комплексных чисел будет a
1
+ b
1
i = a
2
+ b
2
i равносильно a
1
= a
2
, b
1
= Часто мнимой частью комплексного числа называют только b, подчеркивая что и вещественная и мнимая части являются числами вещественными.
Это позволяет говорить о комплексном числе, как об упорядоченной паре вещественных чисел
Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . В частности + bi = 0 равносильно a = 0; b = Вместо того, чтобы определить вектор M N его проекциями a и b на координатные оси, мы можем определить его двумя другими величинами, а именно его длиною r и углом ϕ, который направление N образует с положительным направлением оси OX (рис. Если же мы считаем, что комплексное число a + bi соответствует точке с координатами (a, b)), то r и ϕ будут, очевидно, полярными координатами этой точки. Как известно, имеют место соотношения = r cos ϕ, b = r sin ϕ, r =
p a
2
+ b
2
,
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
, sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
, ϕ = arctg Положительное число r называется модулем, ϕ — аргументом комплексного числа a + bi. Аргумент определяется лишь с точностью до слагаемого, кратного 2π, так как всякий вектор M N совместится сам с собой, если его повернуть на любое число полных оборотов в ту или иную сторону вокруг точки M . В случае r = комплексное число равно нулю, и его аргумент совершенно неопре- деленен. Условие равенства двух комплексных чисел состоит, очевидно, в том, что модули их должны быть равны, а аргументы могут отличаться лишь слагаемым, кратным Вещественное число имеет аргумент 2kπ, если оно положительное, и (2k + 1)π, если оно отрицательное, где k — любое целое число.
Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, током- плексное число имеет вид bi и называется чисто мнимым. Соответствующий такому числу вектор параллелен оси OY , и аргумент чисто мнимого числа bi равен+ 2kπ
, если b > 0, и+ если b < Модуль вещественного числа совпадает сего абсолютным значением. Для обозначения модуля числа a + bi пишут это число между двумя вертикальными чертами + bi| =
p a
2
+ b
2
p a
2
+ b
2
,
cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
, sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
, ϕ = arctg Положительное число r называется модулем, ϕ — аргументом комплексного числа a + bi. Аргумент определяется лишь с точностью до слагаемого, кратного 2π, так как всякий вектор M N совместится сам с собой, если его повернуть на любое число полных оборотов в ту или иную сторону вокруг точки M . В случае r = комплексное число равно нулю, и его аргумент совершенно неопре- деленен. Условие равенства двух комплексных чисел состоит, очевидно, в том, что модули их должны быть равны, а аргументы могут отличаться лишь слагаемым, кратным Вещественное число имеет аргумент 2kπ, если оно положительное, и (2k + 1)π, если оно отрицательное, где k — любое целое число.
Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, током- плексное число имеет вид bi и называется чисто мнимым. Соответствующий такому числу вектор параллелен оси OY , и аргумент чисто мнимого числа bi равен+ 2kπ
, если b > 0, и+ если b < Модуль вещественного числа совпадает сего абсолютным значением. Для обозначения модуля числа a + bi пишут это число между двумя вертикальными чертами + bi| =
p a
2
+ b
2
171]
§ 17. Комплексные числа
527
В дальнейшем мы будем часто обозначать комплексное число одной буквой.
∗
Если α есть комплексное число, то его модуль будет обозначаться символом |α|. Пользуясь выражением (3) для a и можем выразить комплексное число через его модуль и аргумент в виде r(cos ϕ + i sin В этом случае говорят, что комплексное число написано в тригонометрической форме. Сложение и вычитание комплексных чисел. Сумма векторов представляет собою замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, что проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, мы приходим к следующему определению сложения комплексных чисел) + (b
1
+ b
2
+ . . . + b n
)i. (Нетрудно видеть, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и что слагаемые можно объединять в группы (сочетательный закон, ибо такими свойствами обладают сумма вещественных чисел a и сумма вещественных чисел b Как мы упоминали выше, комплексное число a + 0i отождествляется с вещественным числом a. Точно также число 0 + bi записывают просто в виде bi (чисто мнимое число. Пользуясь определением сложения, мы можем утверждать, что комплексное число a + bi есть сумма вещественного числа a и чисто мнимого числа то есть a + b = (a + 0i) + (0 + Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т. е.
разность x + yi = (a
1
+ b
1
i) − (a
2
+ В современных учебниках комплексные числа обычно обозначаются буквой Гл. VI. Комплексные числа, начала высшей алгебры. . определяется из условия + yi) + (a
2
+ b
2
i) = a
1
+ или, в силу (4) и (2): x + a
2
= a
1
; y + b
2
= b
1
, те, и окончательно получаем+ b
1
i) − (a
2
+ b
2
i) = (a
1
− a
2
) + (b
1
− Вычитание комплексного числа (a
2
+ b
2
i), как мы видим, равносильно сложению уменьшаемого (a
1
+ b
1
i) и комплексного числа b
2
i). Это соответствует следующему вычитание векторов сводится к сложению вектора уменьшаемого с вектором, повели- чине равным вычитаемому, по направлению ему противополож- ным.
Рис. Рассмотрим вектор A
2
A
1
, начальной точке которого соответствует комплексное число a
1 ... 32 33 34 35 36 37 38 39 ... 43