Файл: Линейные пространства.pdf

, выбранного таким образом, что эта высота максимальна.
Первый столбец отвечает собственному вектору u
0
i1
Далее, (J
i1
− λ
i
E)u
1
i1
= u
0
i1
, ..., (J
i1
− λ
i
E)x = u m−2
i1
Собственному числу может соответсвовать больше одного линейно независимого собственного вектора.
3

Def.
Жордановым блоком, Отвечающим собственному числу λ
i
, называется блочно-диагональная матрица J
i
, каждый блок которой является жордановой клеткой, отвечающей одному и тому же собственному числу λ
i
:




J
i1 0
0 0
0
J
i2 0
0 0
0 0
J
ip




,
где p – геометрическая кратность собственного числа λ
i
То есть жорданов блок это объединение расположенных на главной диагонали жордановых клеток по всем линейно независимым собственным векторам (первый столбец), отвечающим соб- ственному числу λ
i
Def.
Матрица вида




J
1 0
0 0
0
J
2 0
0 0
0 0
J
s




,
где J
i
(i = 1, ..., s) – жордановы блоки, отвечающие собственному числу λ
i
, s – количество собственных чисел оператора A, называется жордановой матрицей или нормальной жордановой формой матрицы оператора A.
Теорема 6.
Для любого оператора, действующего в комплексном линейном пространстве, су- ществует базис, в котором его матрица жорданова. Такой базис называется жордановым базисом оператора.
Без доказательства.
Def.
Жордановой цепочкой, соответствующей собственному числу λ
0
называется набор век- торов e
0
, ..., e l
, удовлетворяющим равенствам
(A − λ
0
Id)(e
0
) = θ, (A − λ
0
Id)(e
1
) = e
0
, ..., (A − λ
0
Id)(e l
) = e l−1
При этом e i
называют i-ым вектором, присоединенным к e
0
. Очевидно, i-ый присоединенный вектор является корневым вектором высоты i + 1.
Теорема 7.
Векторы жордановой цепочки линейно независимы.
Доказательство.
Воспользуемся методом математической индукции по количеству k векторов в цепочке e
0
, e
1
, ..., e l
При k = 1 очевидно. Пусть k > 1 векторов жордановой цепочки линейно независимы. Дока- жем для k + 1.
Составим линейную комбинацию k + 1 вектора жордановой цепочки и приравняем её к нулю:
α
0
e
0
+ α
1
e
1
+ ... + α
k−1
e k−1
+ α
k e
k
= θ
Подействуем на это равенство оператором (A − λ
0
Id)
. Получим:
α
1
e
0
+ α
2
e
1
+ ... + α
k e
k−1
= θ
,
4

что вследствие линейной независимости данного набора векторов (по индуктивному предпо- ложению) возможно только в тривиальном случае α
1
= ... = α
k
= 0
. Возвращаясь к линейной комбинации прообразов, получаем, что и α
0
= 0
, что и требовалось получить.
Если внимательно посмотреть на жорданову матрицу, то можно увидеть, что входящим в её
состав жордановым клеткам соответствуют свои жордановы цепочки. Таким образом, объедине- ние всех жордановых цепочек есть базис пространства L, называемый жордановым базисом пространства L.
Пример.
Рассмотрим оператор пространства R
2
, имеющий матрицу
A
=
1 −1 1
3

χ
A
(λ) =
1 − λ
−1 1
3 − λ
= λ
2
− 4λ + 4
,
т.е. оператор имеет одно собственное число 2 алгебраической кратности 2.
rank(A − 2E) = 1
– геометрическая кратность собственного числа 2.
Получается, что жорданова форма матрицы A это матрица
A
u
=
2 1 0
2

Решением ОСЛУ (A − 2E)X = Θ будут векторы вида (1, −1)
T
α
, образующие собственное подпространоство размерности 1.
Для жорданова базиса можно выбрать собственный вектор u
1
= (1, −1)
T
. Для поиска второго вектора жорданова базиса необходимо решить НОСЛУ (A − 2E)u
2
= u
1
, т.е.
−1
−1 1
1 1
−1

В результате получим: (−1, 1)
T
β + (−1, 0)
T
В качестве u
2
веберем, например, вектор (−1, 0)
T
Проверьте, что A
u
= C
u→e
A
e
C
e→u
, зная, что
C
e→u
=

1
−1
−1 0

5

По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Алгебраическая кратность собственного числа
• Геометрическая кратность собственного числа
• Жорданова клетка
• Жорданова нормальная форма
• Жорданов базис
2. Теоремы 1, 2, 6 6

Линейные операторы евклидова пространства
Def.
Оператор A
∗
называется сопряжённым к оператору A евклидова пространства L, если
∀ x, y ∈ L (A(x), y) = (x, A
∗
(y)).
Для исследования матрицы сопряжённого оператора докажем несколько лемм.
Замечание.
Для начала заметим, что в ортонормированном базисе скалярное произведение векторов x и y можно выразить как (x, y) = x · y
T
(в этом блоке строки будем обозначать как x, а столбцы как x
T
), т.е. как произведение координатной строки на координатный столбец.
Лемма 1.
Пусть матрица A имеет размер n×n. Если Ax
T
= θ
для любого столбца x
T
высоты n
, то A = Θ.
Иначе говоря, оператор n−мерного пространства L, соответствующий матрице A, обращает каждый вектор в нулевой, в частности базисные векторы. Следовательно, его матрица нулевая.
Лемма 2.
Пусть матрица A имеет размер n × n. Если для любой строки x длины n и любого столбца y
T
высоты n выполнено xAy
T
= 0
, то A = Θ.
Раз x, y
T
– произвольные строка и столбец, мы можем взять в качестве x строку (Ay
T
)
T
Получим:
(Ay
T
)
T
· Ay
T
= 0
В терминах скалярного произведения (см. замечание) это опять же возможно, только если
Ay
T
= θ
, а значит, оператор и матрица нулевые.
Лемма 3.
Пусть матрицы A, B имеют размер n × n. Если для любой строки x длины n и любого столбца y
T
высоты n выполнено xAy
T
= xBy
T
, то A = B.
xAy
T
= xBy
T
⇐⇒ xAy
T
− xBy
T
= 0 ⇐⇒ x(A − B)y
T
= 0
, что, по лемме 2, означает, что
A − B = Θ
, или A = B.
Теорема 1.
Если A и A
∗
– матрицы линейного оператора и сопряжённого к нему в ортонор- мированном базисе, то A
∗
= A
T
Доказательство.
Пусть произвольные векторы из L имеют координатные столбцы x
T
, y
T
в ортонормированном базисе. Тогда (A(x), y) = (x, A
∗
(y))
, или в матричном виде:
(Ax
T
)
T
y
T
= xA
∗
y
T
⇐⇒ xA
T
y
T
= xA
∗
y
T
,
что, по лемме 3, означает, что A
T
= A
∗
Теорема 2.
В произвольном базисе f евклидова пространства L матрицы сопряжённых опе- раторов связаны соотношением
A
T
Γ = ΓA
∗
,
где Γ – матрица Грама базиса f.
(без доказательства)
1

Свойства сопряжённых операторов.
1. (A ◦ B)
∗
= B
∗
◦ A
∗
Следует из свойств матриц.
2. (A
∗
)
∗
= A
3. (A + B)
∗
= A
∗
+ B
∗
4. (λA)
∗
= λA
∗
5. Id
∗
= Id
Теорема 3 (Теорема Фридгольма).
Образ оператора A и ядро сопряженного оператора
A
∗
ортогональны и ImA = (KerA
∗
)
⊥
Доказательство.
Пусть x ∈ ImA, y ∈ KerA
∗
Для x должен существовать вектор z ∈ L, такой, что A(z) = x.
Тогда (x, y) = (A(z), y) = (z, A
∗
y) = 0
, так как y ∈ KerA
∗
Теперь пусть (x, v) = 0 для некоторого v ∈ L. Тогда (x, v) = (A(z), v) = (z, A
∗
(v)) = 0
, следо- вательно A
∗
(v) = 0, v ∈ KerA
∗
Таким образом, элементы этих множеств ортогональны, и все элементы, ортогональные ImA
лежат в KerA
∗
. Следовательно, это ортогональные дополнения.
Евклидово пространство над полем комплексных чисел
Скалярное произведение в комплексном пространстве L определяется схожим образом.
Def.
Скалярным произведением называется функция
ν : L × L −→ C (то есть функция, сопоставляющая паре векторов пространства комплекс- ное число
), такая что
∀ a, b, c ∈ L, ∀ α, β ∈ R выполнены свойства (далее будем опускать обозначение функции ν):
1.
• (a + b, c) = (a, c) + (b, c)
• (αa, b) = α(a, b)
• (a, αb) = α(a, b)
2. (a, b) = (b, a).
3. (a, a) > 0 при a ̸= 0.
Заметим, что в ортонормированном базисе (x, y) = (x
1
e
1
+ ... + x n
e n
, y
1
e
1
+ ... + y n
e n
) =
(x
1
e
1
, y
1
e
1
) + ... + (x n
e n
, y n
e n
) = x
1
y
1
(e
1
, e
1
) + ... + x n
y n
(e n
, e n
) = x
1
y
1
+ ... + x n
y n
=
n
P
1
x i
y i
2

Таким образом, и матрица сопряженного оператора будет не только транспонированной, но и комплексно-сопряженной.
Пример.
В ортонормированном базисе для матриц сопряжённых операторов имеем:
1 − 2i
3 2 − 3i i

∗
=
1 + 2i
2 + 3i
3
−i

Самосопряжённые операторы
Def.
Линейный оператор A евклидова пространства L называется самосопряжённым, если
∀ x, y ∈ L
выполнено условие: (A(x), y) = (x, A(y)), т.е. A
∗
= A
Замечание.
Для матрицы самосопряжённого оператора над полем вещественных чисел вы- полнено: A = A
T
, т.е. она симметрична.
Для элементов матрицы самосопряжённого оператора над полем комплексных чисел в орто- нормированном базисе выполнено другое свойство: a ij
= a ji
, т.е. симметричные элементы ком- плексно сопряжены. В частности это означает, что на диагонали будут находиться вещественные числа.
Теорема 4.
Собственные числа самосопряженного оператора вещественны.
Доказательство.
Пусть λ -– собственное число, u -– отвечающий λ собственный вектор оператора A, т.е.
A(u) = λu
Тогда с одной стороны: (A(u), u) = (λu, u) = λ(u, u),
а с другой: (u, A(u)) = (u, λu) = λ(u, u).
Поскольку эти скалярные произведения равны, получаем (λ − λ)(u, u) = 0.
Есть два варианта: λ = λ либо (u, u) = 0. Второй вариант невозможен в силу определения собственного вектора, следовательно, λ = λ и λ ∈ R.
Теорема 5.
Пусть A -– самосопряженный оператор n−мерного пространства L. Тогда суще- ствуют n попарно ортогональных собственных векторов.
Доказательство.
Матрица A, согласно теореме Жордана, содержит хотя бы одну жорданову клетку, а значит,
имеет хотя бы один собственный вектор u
1
, соответствующий вещественному собственному числу
λ
1
Пусть L
⊥
u
1
– подпространство векторов, ортогональных u
1
(т.е. ортогональное дополнение ли- нейной оболочки < u
1
>
). Его размерность равна n − 1. Кроме того, если x ∈ L
⊥
u i
, то
(A(x), u
1
) = (x, A(u
1
)) = (x, λu
1
) = λ(x, u
1
) = 0
,
т.е. образ вектора x также ортогонален u
1
, а значит, A(x) ∈ L
⊥
u i
и подпространство инвари- антно относительно A.
Сужение оператора A на L
⊥
u i
также является самосопряжённым оператором (так как условие из определения выполнено для всех векторов L и для любого подмножества в частности). По- вторяя приведённые выше рассуждения, находим ещё один собственный вектор u
2
и собственное значение λ
2
(возможно, равное λ
1
), а также ортогональное дополнение к < u
2
>
в L
⊥
u i
, имеющее
3

размерность n − 2.
Повторяя эти рассуждения и дальше, получим последовательность (возможно, совпадающих)
собственных чисел λ
1
, λ
2
, ..., λ
n и последовательность ортогональных друг другу собственных век- торов.
Следствие.
Пусть A — самосопряженный оператор. Тогда существует ортогональный базис,
в котором матрица оператора диагональна и вещественна.
В качестве такого базиса можно взять базис из ортогональных собственных векторов, суще- ствование которых доказано в теореме 5.
Замечание.
Матрица перехода к ортонормированному базису, в котором матрица самосо- пряжённого оператора диагональна, является ортогональной.
Теорема 6.
Собственные векторы, отвечающие различным собственным числам самосопря- женного оператора, ортогональны.
Доказательство.
Пусть A(u
1
) = λ
1
u
1
и A(u
2
) = λ
2
u
2
(λ
1
̸= λ
2
)
Тогда λ
1
(u
1
, u
2
) = (λ
1
u
1
, u
2
) = (A(u
1
), u
2
) = (u
1
, A(u
2
)) = (u
1
, λ
2
u
2
) = λ
2
(u
1
, u
2
)
,
или
(λ
1
− λ
2
)(u
1
, u
2
) = 0
Поскольку собственные числа различны, получаем, что (u
1
, u
2
) = 0
Теорема 7.
Образ и ядро самосопряженного оператора ортогональны.
Следует из теоремы 3.
4

По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Сопряжённый оператор
• Самосопряжённый оператор
• Скалярное произведение комплексного пространства
2. Матрица сопряжённого оператора в вещественном и комплексном пространствах
3. Свойства сопряжённый операторов
4. Связь образа оператора и ядра самосопряжённого оператора
5. Матрица самосопряжённого оператора
6. Основные теоретические факты с доказательствами
5