ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 84
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
векторное пространство над полем Р.
Из условия ∀x, y ∈ U, α, β ∈ P (αx+βy ∈ U) следует, что множество U замкнуто относительно сложения и относительно умножения элементов из U на элементы из поля P.
Проверим для U выполнимость аксиом линейного пространства. Заметим что, так как U ⊆ V
и V − линейное пространство над полем P , то в U выполняются аксиомы 1, 2, 5-8.
Покажем, что аксиомы 3 и 4 также выполнены.
Если u ∈ U, то 0 · u = θ (свойство 1, лекция 1), т.е. θ ∈ U. Аксиома 3 выполнена.
Также −1 · u = −u (свойство 5, лекция 1), т.е. обратный элемент также содержится в U и выполнена аксиома 4.
Примеры.
1. M
1
– множество вещественных матриц вида
a
11
a
12 0
a
22
, M
2
= M
2·2
(R)
,
M
1
≤ M
2
, dimM
1
= 3, dimM
2
= 4 2. U = {(0, a
2
, a
3
, ..., a n
) | a i
∈ R, i = 2, ..., n}, U ≤ R
n
, dimR
n
= n, dimU = n − 1.
Линейные оболочки
Def.
Линейной оболочкой векторов b
1
, b
2
, ..., b m
линейного пространства L называется множе- ство всевозможных линейных комбинаций данных векторов.
Обозначается угловыми скобками: < b
1
, ..., b m
>= {α
1
b
1
+ ... + α
m b
m
| α
1
, ..., α
m
∈ P }
При этом говорят, что линейная оболочка натянута на векторы b
1
, ..., b m
Теорема 2.
Линейная оболочка векторов b
1
, b
2
, ..., b m
является минимальным подпростран- ством пространства L, содержащим векторы b
1
, b
2
, ..., b m
Доказательство.
Сначала покажем, что это действительно подпространство.
Очевидно, что < b
1
, ..., b m
>⊆ L
, а, значит, аксиомы 1, 2, 5-8 опять проверять не нужно. Необ- ходимо проверить замкнутости относительно сложения векторов и умножения на элементы поля,
а также аксиомы 3 и 4.
Замкнутость по сложению:
1
α
1
b
1
+ ... + α
m b
m
+ β
1
b
1
+ ... + β
m b
m
= (α
1
+ β
1
)b
1
+ ... + (α
m
+ β
m
)b m
, т.е. мы получили новую линейную комбинацию, а, следовательно, элемент < b
1
, ..., b m
>
Замкнутость по умножению на элементы поля:
распишите самостоятельно
Тривиальная линейная комбинация показывает выполнение аксиомы 3.
Комбинация −α
1
b
1
− ... − α
m b
m обеспечивает выполнение аксиомы 4.
Пусть U ≤ L и b
1
, b
2
, ..., b m
∈ U
. Несложно видеть, что любая линейная комбинация элемен- тов b
1
, b
2
, ..., b m
будет содержаться в U (так как оно является пространством), следовательно,
< b
1
, ..., b m
>⊆ U
Теорема доказана.
Замечание 1.
Поскольку все элементы линейной оболочки < b
1
, ..., b m
>
выражаются через сами векторы b
1
, ..., b m
, то для своей линейной оболочки они являются системой образующих. Ес- ли данные векторы линейно независимы, то они же являются базисом линейной оболочки. Если линейно зависимы, то максимальная линейно независимая совокупность векторов, выбранных из b
1
, ..., b m
, образует базис линейной оболочки.
Замечание 2.
Любое линейное пространство является линейной оболочкой своего базиса.
Примеры.
• < (1, 0, 0)
T
, (1, 1, 0)
T
, (0, 2, 0)
T
>= R
2
• < x
5
, x
3
, x >= {ax
5
+ bx
3
+ cx | a, b, c ∈ R}
• < (1, 1, 1)
T
, (1, 1, 2)
T
, (1, 2, 1)
T
>= R
3
Преобразование координат
Пусть в линейном пространстве L заданы два базиса: g
1
, g
2
, ..., g n
и f
1
, f
2
, ..., f n
Разложим второй базис по первому:
f
1
= a
11
g
1
+ a
12
g
2
+ ... + a
1n g
n
,
f
2
= a
21
g
1
+ a
22
g
2
+ ... + a
2n g
n
,
f n
= a n1
g
1
+ a n2
g
2
+ ... + a nn g
n
Теорема 3.
Пусть x ∈ L и x g
– координаты x в базисе g, а x f
– координаты x в базисе f.
Тогда координаты вектора в двух данных базисах связаны следующим образом: x g
= C
g→f
·x f
,
где G
g→f
– матрица перехода от g к f, столбцы которой это координаты f i
в базисе g:
C
g→f
= (f
1
)
g
(f
2
)
g
(f n
)
g
=
a
11
a
21
a n1
a
12
a
22
a n2
a
1n a
2n a
nn
Доказательство.
Пусть x g
= α
1
g
1
+ ... + α
n g
n и x f
= β
1
f
1
+ ... + β
n f
n
, или в координатах:
x g
= (α
1
, ..., α
n
)
T
, x f
= (β
1
, ..., β
n
)
T
Подставим в x вместо векторов f i
их выражения в базисе g:
2
По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Подпространство
• Линейная оболочка
• Матрица перехода между базисами
2. Критерий подпространства
3. Как находить базис линейной оболочки векторов
4. Устройство и способ нахождения матрицы перехода
5. Связь матриц перехода между базисами
6. Матрица перехода от естественного базиса
4
Изоморфизм линейных пространств
Разные линейные пространства могут состоять из элементов абсолютно разной природы, но быть устроенными одинаково как относительно самих множеств элементов, так и относительно операций над ними.
Def. Линейные пространства L и L
′
над полем P называются изоморфными, если между векторами x ∈ L и x ∈ L
′
можно установить взаимно однозначное соответствие ” ←→ ”, такое,
что если x ←→ x
′
и y ←→ y
′
, то x + y ←→ x
′
+ y
′
и λx ←→ λx
′
при любом λ ∈ P .
Определение говорит нам о том, что, помимо соответствия между элементами пространств,
введённые на них операции также согласованы.
Из определения в частности следует, что (−x) ←→ (−x
′
) и θ
L
←→ θ
L
′
(достаточно взять под- ходящие λ).
Теорема 1. Линейно независимым векторам соответствуют линейно независимые векторы.
Доказательство.
Пусть имеет место соответствие v i
←→ w i
, v i
∈ L, w i
∈ L
′
(i = 1, ..., n) и векторы v i
линейно независимы. Покажем, что тогда и w i
линейно независимы.
Предположим, что w i
линейно зависимы, тогда, согласно определению, можно составить ли- нейную комбинацию α
1
w i
+ ...α
n w
n
= θ, причем хотя бы один коэффициент α
s не равен нулю.
Но так как пространства изоморфны, то сумме соответствует сумма, а нейтральному элементу соответствует нейтральный элемент, следовательно,
θ
L
= α
1
v i
+ ...α
n v
n
←→ α
1
w i
+ ...α
n w
n
= θ
L
′
Поскольку векторы v i
по условию линейно независимы, все α
i равны 0, а это противоречит их выбору.
Следствие. Два пространства различной размерности не могут быть изоморфны.
Это так, поскольку при n > m для нетривиальной линейной комбинации n векторов n−мерного пространства можно было бы подобрать нетривиальную линейную комбинацию векторов изо- морфного m−мерного пространства, равную его нулевому элементу, что также привело бы к противоречию.
Теорема 2. Все пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны друг другу.
Доказательство. Пусть e i
, e
2
, ..., e n
− базис в L, а f
1
, f
2
, ..., f n
− базис в L
′
Сопоставив друг другу векторы x ←→ x
′
(x ∈ L, x
′
∈ L
′
, где x = α
1
e
1
+ ... + α
n e
n и
x
′
= α
1
f
1
+ ... + α
n f
n
, то есть векторы с одинаковыми координатами), получим изоморфизм пространств.
Таким образом, единственной существенной характеристикой конечномерного линейного про- странства является его размерность.
Примеры
Рассмотрим пространства R
4
и M
2×2
(R).
Базисом первого являются векторы (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1).
Базисом второго являются матрицы
1 0
0 0
,
0 1
0 0
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
1
Оба эти пространства четырёхмерны и координаты любой квадратной матрицы второго по- рядка в выбранном базисе будут совпадать с естественной записью соответствующего ей элемента
R
4
По тому же принципу можно построить изоморфизм M
2×2
(R) и P
3
[x], установив следующие соответствия:
1 ←→
1 0
0 0
, x ←→
0 1
0 0
, x
2
←→
0 0
1 0
, x
3
←→
0 0
0 1
Сумма и пересечние подпространств
Пусть L
1
, L
2
≤ L. Дадим несколько определений.
Def. Пересечением подпространств L
1
и L
2
называется множество, обозначаемое L
1
∩ L
2
и состоящее из векторов, входящих одновременно в оба подпространства, т.е.
L
1
∩ L
2
= {x ∈ L | x ∈ L
1
, x ∈ L
2
}.
Def. Суммой подпространств L
1
и L
2
называется множество, обозначаемое L
1
+L
2
и состоящее из всевозможных сумм векторов этих двух подпространств, т.е.
L
1
+ L
2
= {v ∈ L | v = u + w, u ∈ L
1
, w ∈ L
2
}.
Теорема 3. Пересечение и сумма подпространств суть подпространства пространства L.
Доказательство.
Согласно критерию подпространства (см. предыдущую лекцию), необходимо доказать, что
∀ x, y ∈ L
1
∩ L
2
, α, β ∈ P (αx + βy ∈ L
1
∩ L
2
). Аналогично для L
1
+ L
2
Итак, пусть x, y ∈ L
1
∩ L
2
По определению пересечения подпространств, x, y ∈ L
1
и x, y ∈ L
2
. Применив критерий под- пространства к L
1
и L
2
по отдельности, получим, что при любых α, β ∈ P будет выполнено:
αx + βy ∈ L
1
и αx + βy ∈ L
2
, т.е. αx + βy ∈ L
1
∩ L
2
Теперь пусть x, y ∈ L
1
+ L
2
По определению суммы подпространств, это означает, что x = x
1
+ x
2
, y = y
1
+ y
2
при некоторых x
1
, y
1
∈ L
1
, x
2
, y
2
∈ L
2
Тогда αx + βy = (αx
1
+ βy
1
) + (αx
2
+ βy
2
), где αx
1
+ βy
1
∈ L
1
, αx
2
+ βy
2
∈ L
2
(так как
L
1
, L
2
− подпространства), т.е. αx + βy также представлен в виде суммы векторов из L
1
и L
2
и принадлежит сумме подпространств.
Теорема доказана.
В общем случае вектор v из суммы подпространств можно разложить в сумму u + w из определения не единственным образом.
Например, если L = R
3
, L
1
= {(a
1
, a
2
, 0)
T
| a
1
, a
2
∈ R}, L
2
= {(0, b
2
, b
3
)
T
| b
2
, b
3
∈ R}, то для вектора (1, 1, 1)
T
∈ L
1
+ L
2
(здесь сумма подпространств совпадает с самим пространством L)
выполнены равенства:
(1, 1, 1)
T
= (1, 1, 0)
T
+ (0, 0, 1)
T
,
(1, 1, 1)
T
= (1, 0, 0)
T
+ (0, 1, 1)
T
,
где (1, 1, 0)
T
, (1, 0, 0)
T
∈ L
1
, (0, 1, 1)
T
, (0, 0, 1)
T
∈ L
2 2
Def1. Прямая сумма. Пусть L
1
+ L
2
= V . Если любой вектор v ∈ V представим един- ственным образом в виде суммы v
1
+ v
2
, где v
1
∈ L
1
, v
2
∈ L
2
, то такая сумма подпространств называется прямой. При этом говорят, что V разложено в прямую сумму подпространств. Обо- значение: V = L
1
⊕ L
2
Def2. Прямая сумма. Пусть L
1
+ L
2
= V . Если L
1
∩ L
2
= θ, то такая сумма подпространств называется прямой.
Теорема 4. Определения Def1 и Def2 прямой суммы эквивалентны.
Доказательство.
Def1 =⇒ Def2. Возьмём вектор y ∈ L
1
∩ L
2
и вектор x = x
1
+ y
1
∈ L
1
+ L
2
, x
1
∈ L
1
, x
2
∈ L
2
Рассмотрим сумму векторов:
x + y = x
1
+ x
2
+ y = (x
1
+ y) + x
2
Здесь x
1
+ y ∈ L
1
, x
2
∈ L
2
. С другой стороны:
x + y = x
1
+ x
2
+ y = x
1
+ (y + x
2
), где x
1
∈ L
1
, x
2
+ y ∈ L
2
Поскольку любой вектор из суммы подпространств имеет единственное разложение такого вида, делаем вывод, что y = θ.
Def2 =⇒ Def1. Пусть x = x
1
+ x
2
, x = y
1
+ y
2
, где x
1
, y
1
∈ L
1
, x
2
, y
2
∈ L
2
. Вычитая из первого разложения второе, получим:
(x
1
− y
1
) + (x
2
− y
2
) = θ.
Обозначим первую разность за u, а вторую за v (u ∈ L
1
, v ∈ L
2
). Тогда u + v = θ =⇒ u = −v.
Однако из u ∈ L
1
следует, что и v ∈ L
1
, т.е. v ∈ L
1
∩ L
2
. Это возможно в единственном случае –
если v = θ = u, но тогда x
1
= y
1
, x
2
= y
2
, т.е. разложение единственно.
Теорема 5. Если L = L
1
⊕ L
2
, то dimL = dimL
1
+ dimL
2
Доказательство.
Пусть g
1
, g
2
, ..., g k
− базис L
1
, f
1
, f
2
, ..., f l
− базис L
2
Приравняем к нулю линейную комбинацию векторов обоих базисов:
α
1
g
1
+ ... + α
k g
k
+ β
1
f
1
+ ... + β
l f
l
= θ, или x + y = θ для x = α
1
g
1
+ ... + α
k g
k
∈ L
1
, y = β
1
f
1
+ ... + β
l f
l
∈ L
2
Поскольку ноль суммы подпространств представим только в виде суммы двух нулей как эле- ментов двух подпространств, заключаем, что x = y = θ.
Из этого следует, что все α
i
, b j
(i = 1, ...k, j = 1, ...l) равны нулю, а, значит, векторы g
1
, g
2
, ..., g k
, f
1
, f
2
, ..., f l
линейно независимы и образуют базис пространства L, dimL = k + l =
dimL
1
+ dimL
2
Теорема 6. Пусть L
1
, L
2
≤ V , L
1
+L
2
= L, L
1
∩L
2
= L
0
. Тогда dimL = dimL
1
+dimL
2
−dimL
0
,
т.е. размерность суммы двух подпространств равна сумме их размерностей минус размерность
3
Евклидовы пространства
Дадим два определния в обратном порядке.
Def.
Евклидовым пространством будем называть вещественное линейное пространство со скалярным произведением.
Из условия ∀x, y ∈ U, α, β ∈ P (αx+βy ∈ U) следует, что множество U замкнуто относительно сложения и относительно умножения элементов из U на элементы из поля P.
Проверим для U выполнимость аксиом линейного пространства. Заметим что, так как U ⊆ V
и V − линейное пространство над полем P , то в U выполняются аксиомы 1, 2, 5-8.
Покажем, что аксиомы 3 и 4 также выполнены.
Если u ∈ U, то 0 · u = θ (свойство 1, лекция 1), т.е. θ ∈ U. Аксиома 3 выполнена.
Также −1 · u = −u (свойство 5, лекция 1), т.е. обратный элемент также содержится в U и выполнена аксиома 4.
Примеры.
1. M
1
– множество вещественных матриц вида
a
11
a
12 0
a
22
, M
2
= M
2·2
(R)
,
M
1
≤ M
2
, dimM
1
= 3, dimM
2
= 4 2. U = {(0, a
2
, a
3
, ..., a n
) | a i
∈ R, i = 2, ..., n}, U ≤ R
n
, dimR
n
= n, dimU = n − 1.
Линейные оболочки
Def.
Линейной оболочкой векторов b
1
, b
2
, ..., b m
линейного пространства L называется множе- ство всевозможных линейных комбинаций данных векторов.
Обозначается угловыми скобками: < b
1
, ..., b m
>= {α
1
b
1
+ ... + α
m b
m
| α
1
, ..., α
m
∈ P }
При этом говорят, что линейная оболочка натянута на векторы b
1
, ..., b m
Теорема 2.
Линейная оболочка векторов b
1
, b
2
, ..., b m
является минимальным подпростран- ством пространства L, содержащим векторы b
1
, b
2
, ..., b m
Доказательство.
Сначала покажем, что это действительно подпространство.
Очевидно, что < b
1
, ..., b m
>⊆ L
, а, значит, аксиомы 1, 2, 5-8 опять проверять не нужно. Необ- ходимо проверить замкнутости относительно сложения векторов и умножения на элементы поля,
а также аксиомы 3 и 4.
Замкнутость по сложению:
1
α
1
b
1
+ ... + α
m b
m
+ β
1
b
1
+ ... + β
m b
m
= (α
1
+ β
1
)b
1
+ ... + (α
m
+ β
m
)b m
, т.е. мы получили новую линейную комбинацию, а, следовательно, элемент < b
1
, ..., b m
>
Замкнутость по умножению на элементы поля:
распишите самостоятельно
Тривиальная линейная комбинация показывает выполнение аксиомы 3.
Комбинация −α
1
b
1
− ... − α
m b
m обеспечивает выполнение аксиомы 4.
Пусть U ≤ L и b
1
, b
2
, ..., b m
∈ U
. Несложно видеть, что любая линейная комбинация элемен- тов b
1
, b
2
, ..., b m
будет содержаться в U (так как оно является пространством), следовательно,
< b
1
, ..., b m
>⊆ U
Теорема доказана.
Замечание 1.
Поскольку все элементы линейной оболочки < b
1
, ..., b m
>
выражаются через сами векторы b
1
, ..., b m
, то для своей линейной оболочки они являются системой образующих. Ес- ли данные векторы линейно независимы, то они же являются базисом линейной оболочки. Если линейно зависимы, то максимальная линейно независимая совокупность векторов, выбранных из b
1
, ..., b m
, образует базис линейной оболочки.
Замечание 2.
Любое линейное пространство является линейной оболочкой своего базиса.
Примеры.
• < (1, 0, 0)
T
, (1, 1, 0)
T
, (0, 2, 0)
T
>= R
2
• < x
5
, x
3
, x >= {ax
5
+ bx
3
+ cx | a, b, c ∈ R}
• < (1, 1, 1)
T
, (1, 1, 2)
T
, (1, 2, 1)
T
>= R
3
Преобразование координат
Пусть в линейном пространстве L заданы два базиса: g
1
, g
2
, ..., g n
и f
1
, f
2
, ..., f n
Разложим второй базис по первому:
f
1
= a
11
g
1
+ a
12
g
2
+ ... + a
1n g
n
,
f
2
= a
21
g
1
+ a
22
g
2
+ ... + a
2n g
n
,
f n
= a n1
g
1
+ a n2
g
2
+ ... + a nn g
n
Теорема 3.
Пусть x ∈ L и x g
– координаты x в базисе g, а x f
– координаты x в базисе f.
Тогда координаты вектора в двух данных базисах связаны следующим образом: x g
= C
g→f
·x f
,
где G
g→f
– матрица перехода от g к f, столбцы которой это координаты f i
в базисе g:
C
g→f
= (f
1
)
g
(f
2
)
g
(f n
)
g
=
a
11
a
21
a n1
a
12
a
22
a n2
a
1n a
2n a
nn
Доказательство.
Пусть x g
= α
1
g
1
+ ... + α
n g
n и x f
= β
1
f
1
+ ... + β
n f
n
, или в координатах:
x g
= (α
1
, ..., α
n
)
T
, x f
= (β
1
, ..., β
n
)
T
Подставим в x вместо векторов f i
их выражения в базисе g:
2
x = β
1
(a
11
g
1
+ a
12
g
2
+ ... + a
1n g
n
) + ... + β
n
(a n1
g
1
+ a n2
g
2
+ ... + a nn g
n
)
Так как разложение по базису единственно, то
α
1
= β
1
a
11
+ β
2
a
12
+ ... + β
n a
1n
,
α
2
= β
2
a
21
+ β
2
a
22
+ ... + β
n a
2n
,
α
n
= β
1
a n1
+ β
2
a n2
+ ... + β
n a
nn
,
или в матричном виде:
α
1
α
2
α
n
=
a
11
a
21
a n1
a
12
a
22
a n2
a
1n a
2n a
nn
·
β
1
β
2
β
n
(поясните, почему detC
g→f
̸= 0)
Таким образом, мы получили, что x g
= C
g→f
· x f
Следствие. C
f →g
= C
−1
g→f
Замечание.
Рассмотрим ещё раз пространство R
n с его естественным базисом e
1
= (1, 0, ..., 0)
T
, ..., e n
=
(0, 0, ..., 1)
T
Пусть f
1
, f
2
, ..., f n
−
какой-то другой базис данного пространства. Матрицу, столбцы которой представляют собой координаты векторов f
1
, f
2
, ..., f n
в стандартном базисе будем называть мат- рицей данного базиса. Обозначим её за F . Очевидно, что в данном случае F = C
e→f
3
1
(a
11
g
1
+ a
12
g
2
+ ... + a
1n g
n
) + ... + β
n
(a n1
g
1
+ a n2
g
2
+ ... + a nn g
n
)
Так как разложение по базису единственно, то
α
1
= β
1
a
11
+ β
2
a
12
+ ... + β
n a
1n
,
α
2
= β
2
a
21
+ β
2
a
22
+ ... + β
n a
2n
,
α
n
= β
1
a n1
+ β
2
a n2
+ ... + β
n a
nn
,
или в матричном виде:
α
1
α
2
α
n
=
a
11
a
21
a n1
a
12
a
22
a n2
a
1n a
2n a
nn
·
β
1
β
2
β
n
(поясните, почему detC
g→f
̸= 0)
Таким образом, мы получили, что x g
= C
g→f
· x f
Следствие. C
f →g
= C
−1
g→f
Замечание.
Рассмотрим ещё раз пространство R
n с его естественным базисом e
1
= (1, 0, ..., 0)
T
, ..., e n
=
(0, 0, ..., 1)
T
Пусть f
1
, f
2
, ..., f n
−
какой-то другой базис данного пространства. Матрицу, столбцы которой представляют собой координаты векторов f
1
, f
2
, ..., f n
в стандартном базисе будем называть мат- рицей данного базиса. Обозначим её за F . Очевидно, что в данном случае F = C
e→f
3
По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Подпространство
• Линейная оболочка
• Матрица перехода между базисами
2. Критерий подпространства
3. Как находить базис линейной оболочки векторов
4. Устройство и способ нахождения матрицы перехода
5. Связь матриц перехода между базисами
6. Матрица перехода от естественного базиса
4
Изоморфизм линейных пространств
Разные линейные пространства могут состоять из элементов абсолютно разной природы, но быть устроенными одинаково как относительно самих множеств элементов, так и относительно операций над ними.
Def. Линейные пространства L и L
′
над полем P называются изоморфными, если между векторами x ∈ L и x ∈ L
′
можно установить взаимно однозначное соответствие ” ←→ ”, такое,
что если x ←→ x
′
и y ←→ y
′
, то x + y ←→ x
′
+ y
′
и λx ←→ λx
′
при любом λ ∈ P .
Определение говорит нам о том, что, помимо соответствия между элементами пространств,
введённые на них операции также согласованы.
Из определения в частности следует, что (−x) ←→ (−x
′
) и θ
L
←→ θ
L
′
(достаточно взять под- ходящие λ).
Теорема 1. Линейно независимым векторам соответствуют линейно независимые векторы.
Доказательство.
Пусть имеет место соответствие v i
←→ w i
, v i
∈ L, w i
∈ L
′
(i = 1, ..., n) и векторы v i
линейно независимы. Покажем, что тогда и w i
линейно независимы.
Предположим, что w i
линейно зависимы, тогда, согласно определению, можно составить ли- нейную комбинацию α
1
w i
+ ...α
n w
n
= θ, причем хотя бы один коэффициент α
s не равен нулю.
Но так как пространства изоморфны, то сумме соответствует сумма, а нейтральному элементу соответствует нейтральный элемент, следовательно,
θ
L
= α
1
v i
+ ...α
n v
n
←→ α
1
w i
+ ...α
n w
n
= θ
L
′
Поскольку векторы v i
по условию линейно независимы, все α
i равны 0, а это противоречит их выбору.
Следствие. Два пространства различной размерности не могут быть изоморфны.
Это так, поскольку при n > m для нетривиальной линейной комбинации n векторов n−мерного пространства можно было бы подобрать нетривиальную линейную комбинацию векторов изо- морфного m−мерного пространства, равную его нулевому элементу, что также привело бы к противоречию.
Теорема 2. Все пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны друг другу.
Доказательство. Пусть e i
, e
2
, ..., e n
− базис в L, а f
1
, f
2
, ..., f n
− базис в L
′
Сопоставив друг другу векторы x ←→ x
′
(x ∈ L, x
′
∈ L
′
, где x = α
1
e
1
+ ... + α
n e
n и
x
′
= α
1
f
1
+ ... + α
n f
n
, то есть векторы с одинаковыми координатами), получим изоморфизм пространств.
Таким образом, единственной существенной характеристикой конечномерного линейного про- странства является его размерность.
Примеры
Рассмотрим пространства R
4
и M
2×2
(R).
Базисом первого являются векторы (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1).
Базисом второго являются матрицы
1 0
0 0
,
0 1
0 0
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
1
Оба эти пространства четырёхмерны и координаты любой квадратной матрицы второго по- рядка в выбранном базисе будут совпадать с естественной записью соответствующего ей элемента
R
4
По тому же принципу можно построить изоморфизм M
2×2
(R) и P
3
[x], установив следующие соответствия:
1 ←→
1 0
0 0
, x ←→
0 1
0 0
, x
2
←→
0 0
1 0
, x
3
←→
0 0
0 1
Сумма и пересечние подпространств
Пусть L
1
, L
2
≤ L. Дадим несколько определений.
Def. Пересечением подпространств L
1
и L
2
называется множество, обозначаемое L
1
∩ L
2
и состоящее из векторов, входящих одновременно в оба подпространства, т.е.
L
1
∩ L
2
= {x ∈ L | x ∈ L
1
, x ∈ L
2
}.
Def. Суммой подпространств L
1
и L
2
называется множество, обозначаемое L
1
+L
2
и состоящее из всевозможных сумм векторов этих двух подпространств, т.е.
L
1
+ L
2
= {v ∈ L | v = u + w, u ∈ L
1
, w ∈ L
2
}.
Теорема 3. Пересечение и сумма подпространств суть подпространства пространства L.
Доказательство.
Согласно критерию подпространства (см. предыдущую лекцию), необходимо доказать, что
∀ x, y ∈ L
1
∩ L
2
, α, β ∈ P (αx + βy ∈ L
1
∩ L
2
). Аналогично для L
1
+ L
2
Итак, пусть x, y ∈ L
1
∩ L
2
По определению пересечения подпространств, x, y ∈ L
1
и x, y ∈ L
2
. Применив критерий под- пространства к L
1
и L
2
по отдельности, получим, что при любых α, β ∈ P будет выполнено:
αx + βy ∈ L
1
и αx + βy ∈ L
2
, т.е. αx + βy ∈ L
1
∩ L
2
Теперь пусть x, y ∈ L
1
+ L
2
По определению суммы подпространств, это означает, что x = x
1
+ x
2
, y = y
1
+ y
2
при некоторых x
1
, y
1
∈ L
1
, x
2
, y
2
∈ L
2
Тогда αx + βy = (αx
1
+ βy
1
) + (αx
2
+ βy
2
), где αx
1
+ βy
1
∈ L
1
, αx
2
+ βy
2
∈ L
2
(так как
L
1
, L
2
− подпространства), т.е. αx + βy также представлен в виде суммы векторов из L
1
и L
2
и принадлежит сумме подпространств.
Теорема доказана.
В общем случае вектор v из суммы подпространств можно разложить в сумму u + w из определения не единственным образом.
Например, если L = R
3
, L
1
= {(a
1
, a
2
, 0)
T
| a
1
, a
2
∈ R}, L
2
= {(0, b
2
, b
3
)
T
| b
2
, b
3
∈ R}, то для вектора (1, 1, 1)
T
∈ L
1
+ L
2
(здесь сумма подпространств совпадает с самим пространством L)
выполнены равенства:
(1, 1, 1)
T
= (1, 1, 0)
T
+ (0, 0, 1)
T
,
(1, 1, 1)
T
= (1, 0, 0)
T
+ (0, 1, 1)
T
,
где (1, 1, 0)
T
, (1, 0, 0)
T
∈ L
1
, (0, 1, 1)
T
, (0, 0, 1)
T
∈ L
2 2
Def1. Прямая сумма. Пусть L
1
+ L
2
= V . Если любой вектор v ∈ V представим един- ственным образом в виде суммы v
1
+ v
2
, где v
1
∈ L
1
, v
2
∈ L
2
, то такая сумма подпространств называется прямой. При этом говорят, что V разложено в прямую сумму подпространств. Обо- значение: V = L
1
⊕ L
2
Def2. Прямая сумма. Пусть L
1
+ L
2
= V . Если L
1
∩ L
2
= θ, то такая сумма подпространств называется прямой.
Теорема 4. Определения Def1 и Def2 прямой суммы эквивалентны.
Доказательство.
Def1 =⇒ Def2. Возьмём вектор y ∈ L
1
∩ L
2
и вектор x = x
1
+ y
1
∈ L
1
+ L
2
, x
1
∈ L
1
, x
2
∈ L
2
Рассмотрим сумму векторов:
x + y = x
1
+ x
2
+ y = (x
1
+ y) + x
2
Здесь x
1
+ y ∈ L
1
, x
2
∈ L
2
. С другой стороны:
x + y = x
1
+ x
2
+ y = x
1
+ (y + x
2
), где x
1
∈ L
1
, x
2
+ y ∈ L
2
Поскольку любой вектор из суммы подпространств имеет единственное разложение такого вида, делаем вывод, что y = θ.
Def2 =⇒ Def1. Пусть x = x
1
+ x
2
, x = y
1
+ y
2
, где x
1
, y
1
∈ L
1
, x
2
, y
2
∈ L
2
. Вычитая из первого разложения второе, получим:
(x
1
− y
1
) + (x
2
− y
2
) = θ.
Обозначим первую разность за u, а вторую за v (u ∈ L
1
, v ∈ L
2
). Тогда u + v = θ =⇒ u = −v.
Однако из u ∈ L
1
следует, что и v ∈ L
1
, т.е. v ∈ L
1
∩ L
2
. Это возможно в единственном случае –
если v = θ = u, но тогда x
1
= y
1
, x
2
= y
2
, т.е. разложение единственно.
Теорема 5. Если L = L
1
⊕ L
2
, то dimL = dimL
1
+ dimL
2
Доказательство.
Пусть g
1
, g
2
, ..., g k
− базис L
1
, f
1
, f
2
, ..., f l
− базис L
2
Приравняем к нулю линейную комбинацию векторов обоих базисов:
α
1
g
1
+ ... + α
k g
k
+ β
1
f
1
+ ... + β
l f
l
= θ, или x + y = θ для x = α
1
g
1
+ ... + α
k g
k
∈ L
1
, y = β
1
f
1
+ ... + β
l f
l
∈ L
2
Поскольку ноль суммы подпространств представим только в виде суммы двух нулей как эле- ментов двух подпространств, заключаем, что x = y = θ.
Из этого следует, что все α
i
, b j
(i = 1, ...k, j = 1, ...l) равны нулю, а, значит, векторы g
1
, g
2
, ..., g k
, f
1
, f
2
, ..., f l
линейно независимы и образуют базис пространства L, dimL = k + l =
dimL
1
+ dimL
2
Теорема 6. Пусть L
1
, L
2
≤ V , L
1
+L
2
= L, L
1
∩L
2
= L
0
. Тогда dimL = dimL
1
+dimL
2
−dimL
0
,
т.е. размерность суммы двух подпространств равна сумме их размерностей минус размерность
3
пересечения.
Доказательство.
Дополним базис e
1
, ..., e s
подпространства L
0
до базисов L
1
и L
2
соответственно:
e
1
, ..., e s
, g
1
, ..., g k
− базис L
1
,
e
1
, ..., e s
, f
1
, ..., f l
− базис L
2
Покажем, что векторы e
1
, ..., e s
, g
1
, ..., g k
, f
1
, ..., f l
Линейно независимы.
Пусть α
1
e
1
+ ... + α
s e
s
+ β
1
g
1
+ ... + β
k g
k
+ γ
1
f
1
+ ... + γ
l f
l
= θ, или x
0
+ x
1
+ x
2
= θ для x
0
= α
1
e
1
+ ... + α
s e
s
, x
1
= β
1
g
1
+ ... + β
k g
k
, x
2
= γ
1
f
1
+ ... + γ
l f
l
Тогда x
0
+ x
1
= −x
2
, а так как x
0
, x
1
∈ L
1
, то и x
2
∈ L
1
Но x
2
∈ L
2
как линейная комбинация векторов этого подпространства. Следовательно, x
2
∈
L
1
∩ L
2
= L
0
=⇒ x
2
= θ, γ
1
= ... = γ
l
= 0.
Аналогично можно показать, что β
i
= 0(i = 1, ..., k), тогда в линейной комбинации останется
α
1
e
1
+ ... + α
s e
s
= θ =⇒ α
1
= ... = α
s
= 0. Линейная независимость доказана.
Теперь покажем, что любой вектор L можно разложить по векторам e
1
, ..., e s
, g
1
, ..., g k
, f
1
, ..., f l
Возьмём произвольный вектор x ∈ L. x = x
1
+ x
2
при x
1
∈ L
1
, x
2
∈ L
2
. Разложим x
1
, x
2
по своим базисам:
x
1
= α
1
e
1
+ ... + α
s e
s
+ λ
1
g
1
+ ... + λ
k g
k
,
x
2
= β
1
e
1
+ ... + β
s e
s
+ µ
1
f
1
+ ... + µ
l f
l
,
в свою очередь x = x
1
+ x
2
= (α
1
+ β
1
)e
1
+ ... + (α
s
+ β
s
)e s
+ λ
1
g
1
+ ... + λ
k g
k
+ µ
1
f
1
+ ... + µ
l f
l
Оба условия выполнены, т.е. e
1
, ..., e s
, g
1
, ..., g k
, f
1
, ..., f l
− базис L.
Теперь посчитаем размерности:
dimL
1
= k + s, dimL
2
= l + s, dimL
0
= s, dimL = k + l + s
=⇒ dimL = dimL
1
+ dimL
2
− dimL
0
Пример.
Пусть L
1
= {(a
1
, a
2
, a
3
, 0)
T
| a
1
, a
2
, a
3
∈ R}, L
2
= {(0, b
2
, b
3
, b
4
)
T
| b
2
, b
3
, b
4
∈ R}
Тогда L
1
+ L
2
= R
4
, L
1
∩ L
2
= {(0, a
2
, a
3
, 0)
T
| a
2
, a
3
∈ R}, dimL
1
+ dimL
2
− dim(L
1
∩ L
2
) =
3 + 3 − 2 = 4 = dimR
4 4
Доказательство.
Дополним базис e
1
, ..., e s
подпространства L
0
до базисов L
1
и L
2
соответственно:
e
1
, ..., e s
, g
1
, ..., g k
− базис L
1
,
e
1
, ..., e s
, f
1
, ..., f l
− базис L
2
Покажем, что векторы e
1
, ..., e s
, g
1
, ..., g k
, f
1
, ..., f l
Линейно независимы.
Пусть α
1
e
1
+ ... + α
s e
s
+ β
1
g
1
+ ... + β
k g
k
+ γ
1
f
1
+ ... + γ
l f
l
= θ, или x
0
+ x
1
+ x
2
= θ для x
0
= α
1
e
1
+ ... + α
s e
s
, x
1
= β
1
g
1
+ ... + β
k g
k
, x
2
= γ
1
f
1
+ ... + γ
l f
l
Тогда x
0
+ x
1
= −x
2
, а так как x
0
, x
1
∈ L
1
, то и x
2
∈ L
1
Но x
2
∈ L
2
как линейная комбинация векторов этого подпространства. Следовательно, x
2
∈
L
1
∩ L
2
= L
0
=⇒ x
2
= θ, γ
1
= ... = γ
l
= 0.
Аналогично можно показать, что β
i
= 0(i = 1, ..., k), тогда в линейной комбинации останется
α
1
e
1
+ ... + α
s e
s
= θ =⇒ α
1
= ... = α
s
= 0. Линейная независимость доказана.
Теперь покажем, что любой вектор L можно разложить по векторам e
1
, ..., e s
, g
1
, ..., g k
, f
1
, ..., f l
Возьмём произвольный вектор x ∈ L. x = x
1
+ x
2
при x
1
∈ L
1
, x
2
∈ L
2
. Разложим x
1
, x
2
по своим базисам:
x
1
= α
1
e
1
+ ... + α
s e
s
+ λ
1
g
1
+ ... + λ
k g
k
,
x
2
= β
1
e
1
+ ... + β
s e
s
+ µ
1
f
1
+ ... + µ
l f
l
,
в свою очередь x = x
1
+ x
2
= (α
1
+ β
1
)e
1
+ ... + (α
s
+ β
s
)e s
+ λ
1
g
1
+ ... + λ
k g
k
+ µ
1
f
1
+ ... + µ
l f
l
Оба условия выполнены, т.е. e
1
, ..., e s
, g
1
, ..., g k
, f
1
, ..., f l
− базис L.
Теперь посчитаем размерности:
dimL
1
= k + s, dimL
2
= l + s, dimL
0
= s, dimL = k + l + s
=⇒ dimL = dimL
1
+ dimL
2
− dimL
0
Пример.
Пусть L
1
= {(a
1
, a
2
, a
3
, 0)
T
| a
1
, a
2
, a
3
∈ R}, L
2
= {(0, b
2
, b
3
, b
4
)
T
| b
2
, b
3
, b
4
∈ R}
Тогда L
1
+ L
2
= R
4
, L
1
∩ L
2
= {(0, a
2
, a
3
, 0)
T
| a
2
, a
3
∈ R}, dimL
1
+ dimL
2
− dim(L
1
∩ L
2
) =
3 + 3 − 2 = 4 = dimR
4 4
Евклидовы пространства
Дадим два определния в обратном порядке.
Def.
Евклидовым пространством будем называть вещественное линейное пространство со скалярным произведением.
1 2 3 4 5 6 7