Файл: Линейные пространства.pdf

или A(λ
k+1
e k+1
+ λ
k+2
e k+2
+ ... + λ
n e
n
) = θ
,
т.е. λ
k+1
e k+1
+λ
k+2
e k+2
+...+λ
n e
n
∈ KerA,
что невозможно, так как это линейная комбинация векторов, не принадлежащих ядру.
Следовательно, λ
k+1
e k+1
+ λ
k+2
e k+2
+ ... + λ
n e
n
= θ
, а поскольку базисные векторы линейно независимы, λ
k+1
= λ
k+2
= λ
n
= 0
и Ae k+1
, Ae k+2
, ..., Ae n
линейно независимы.
Теперь возьмём произвольный вектор y = Ax ∈ ImA.
Вектор x можно представить в виде суммы элементов ядра и элементов, не принадлежащих ядру:
x = (α
1
e
1
+ ... + α
k e
k
) + (α
k+1
e k+1
+ ... + α
n e
n
)
Тогда y = Ax = A(α
1
e
1
+ ... + α
k e
k
) + A(α
k+1
e k+1
+ ... + α
n e
n
) = θ + α
k+1
Ae k+1
+ ... + α
n
Ae n
,
т.е. любой элемент образа может быть представлен в виде линейной комбинации векторов
Ae k+1
, Ae k+2
, ..., Ae n
Таким образом, оба условия базиса выполнены, dimKerA = k, dimImA = n − k и dimImA + dimKerA = dimR
Замечание.
Свойство размерностей ядра и образа из теоремы 4 не означает, что в сумме ядро и образ образуют всё пространство L, т.е. в общем случае KerA ⊕ ImA ̸= L. Рассмотрим пример.
Пусть A− линейный оператор пространства V
3
и A(i) = j, A(j) = k, A(k) = θ.
Во-первых, запишем матрицу этого оператора:


0 0
0 1
0 0
0 1
0


KerA =< k >
, поскольку "обнуляются" только векторы, коллинеарные k.
Образ линейного оператора – линейная оболочка столбцов его матрицы, т.е. ImA =< j, k >.
Получаем, что KerA ⊂ ImA, KerA + ImA =< j, k >= ImA ̸= V
3
Факторизация линейных пространств
Def.
Будем говорить, что векторы x и y ∈ L сравнимы по ядру линейного оператора A про- странства L, если существует такой z ∈ KerA, что y = x + z.
Обозначение: x ∼
(KerA)
y
Теорема 5. x и y ∈ L сравнимы по KerA тогда и только тогда, когда их образы относительно оператора A совпадают.
Доказательство.
3

Действительно, если x и y ∈ L сравнимы по KerA, то A(y) = A(x + z) = A(x) + A(z) =
A(x) + θ = A(x)
И наоборот, если A(y) = A(x), то y = x + (y − x), где A(y − x) = A(x) − A(y) = θ, т.е.
(y − x) ∈ KerA
Теорема 6.
Пусть A и B− Линейные операторы пространства L и KerA ⊆ KerB. Тогда существует такой оператор C : A(L) −→ L , что B = CA.
Доказательство.
Построим оператор C следующим образом: C(z) = B(y), где y ∈ L такой, что A(y) = z.
Покажем, что такое определение оператора не зависит от выбора вектора y.
Возьмём y
0
∈ L : A(y
0
) = z
. Тогда y − y
0
∈ KerA ⊆ KerB
, т.е. B(y − y
0
) = θ
и B(y) = B(y
0
)
Замечание.
Теорема 5 говорит о том, что линейное пространство L может быть разбито в объединение непересекающихся подмножеств, состоящих из элементов, имеющих один и тот же образ, одним из таких множеств будет само ядро:
L = KerA ∪ L
y
α
∪ L
y
β
∪ ...
по всем y
α
, y
β
, ... ∈ ImA
Def.
Множество таких подмножеств подпространства L называется факторпространством пространства L по ядру оператора A и обозначается L/KerA.
Переходя от пространства к факторпространству, по сути, мы перестаём различать элементы,
преобразуемые оператором в один вектор, объединяя их в один элемент.
На L/KerA можно задать операции сложения и умножения на число:
Если y + z = w, то L
y
+ L
z
= L
w
Такое определение сложения элементов L/KerA справедливо, так как вследствие линейности оператора, если A(y
0
) = y
, A(z
0
) = z
, то A(y
0
+ z
0
) = A(y
0
) + A(z
0
) = y + z = w
, т.е. вне зависи- мости от выбора прообразов их сумме будет соответсовать сумма образов, а значит может быть сопоставлена сумма элементов факторпространства L
y
+ L
z
Умножение элементов на число из поля также согласовано с умножением соответствующих прообразов.
Теорема 7.
Множество L/KerA является пространством над тем же полем, что и L.
Доказательство.
Коммутативность и ассоциативность сложения очевидны.
Нейтральным элементом в L/KerA будет само ядро KerA: KerA = L
θ
, y + θ = y соответ- ствует KerA + L
y
= L
y
Обратным по сложению для L
y будет L
−y
(проверьте!).
Выполнение остальных аксиом распишите самостоятельно.
Ещё об одном пространстве, построенном при помощи линейных операторов, будет рассказано
4

позднее.
Пример.
Рассмотрим оператор ортогонального проектирования на ось Ox в пространстве V
2
x y
a b
P r
−1 1
0 2
3 4
1 2
3
Очевидно, что образы будут совпадать у векторов с одинаковой первой координатой. Ядром оператора будут векторы на оси Oy.
Таким образом, V
2
/KerA
представляет собой бесконечное объединение множеств векторов с одинаковой первой координатой:
V
2
/KerA = ∪
α
L
α
, где L
α
= {u = (α, y) | y ∈ R}
при фиксированном α ∈ R.
5

По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Ядро оператора
• Образ оператора
• Ранг и дефект оператора
• Инъективность оператора
• Факторпространство
2. Как искать базис ядра и образа
3. Связь размерностей ядра и образа
4. Основные теоретические факты с доказательствами
6

Действия над линейными операторами
Пусть A, B− линейные операторы, действующие на линейном пространстве L.
Def.
Произведением оператора A на число λ ∈ P называется оператор, действующий по пра- вилу (λA)(x) = λ · A(x) для любого x ∈ L.
Свойства умножения оператора на число
1. α(βA) = (αβ)A
2. (α + β)A = αA + βA
3. α(A + B) = αA + αB
Докажите самостоятельно.
Def.
Суммой линейных операторов A и B называется оператор, действующий по правилу
(A + B)(x) = A(x) + B(x)
для любого x ∈ L.
Def.
Произведением линейных операторов A и B называется оператор, действующий по пра- вилу A ◦ B(x) = A(B(x)) для любого x ∈ L.
Def.
Если для оператора A существует такой оператор A
−1
, что A ◦ A
−1
= A
−1
◦ A = Id
, то оператор A называется обратимым или невырожденным (в противном случае – вырожденным),
а оператор A
−1
называется обратным к A.
Теорема 1.
Сумма и произведение операторов A и B пространства L также являются линей- ными операторами.
Доказательство.
Для суммы доказательство очевидно. Рассмотрим функцию A◦B, покажем, что она является линейным оператором пространства L.
A ◦ B(x + y) = A(B(x + y)) = A(B(x) + B(y)) = A(B(x)) + A(B(y)) = A ◦ B(x) + A ◦ B(y)
Для умножения на число распишите самостоятельно.
Пусть A и B− матрицы операторов A и B.
Теорема 2.
Оператор A+B имеет матрицу A+B, оператор A◦B имеет матрицу AB в базисе e
1
, e
2
, ..., e n
Доказательство.
Вычислим образы базисных векторов A ◦ B(e i
)
(B(e i
))
e
=




b
1i b
2i b
ni




= b
1i e
1
+ b
2i e
2
+ ... + b ni e
n
(i−й стобец матрицы B
e
)
(A ◦ B)(e i
)
e
= A(B(e i
))
e
= A(b
1i e
1
+ b
2i e
2
+ ... + b ni e
n
)
= b
1i
A(e
1
) + b
2i
A(e
2
) + ... + b ni
A(e n
)
=
1

b
1i




a
11
a
21
a n1




+ b
2i




a
12
a
22
a n2




+ ... + b ni




a
1n a
2n a
nn




=




a
11
b
1i
+ a
12
b
2j
+ ... + a
1n b
ni a
21
b
1i
+ a
22
b
2j
+ ... + a
2n b
ni a
n1
b
1i
+ a n2
b
2j
+ ... + a nn b
ni




,
а это и есть результат произведения матриц.
Для сложения очевидно.
Из теоремы 2 могут быть получены следующие следствия.
Следствие 1.
Множество операторов линейного пространства L образует абелеву группу от- носительно операции сложения.
Вспомните определение группы из первой лекции. Проверьте выполнение четырёх свойств,
предъявите нейтральный и обратный элементы.
Следствие 2.
Умножение операторов в общем случае некоммутативно.
Следствие 3.
Оператор A обратим тогда и только тогда, когда KerA = {θ}.
Действительно, оператор обратим, когда обратима его матрица. Матрица оператора обратима при rankA = n = dimImA ⇐⇒ dimKerA = 0 ⇐⇒ KerA = {θ}.
Замечание.
Рассмотрим Oper(L) – множество всех операторов линейного пространства L.
На этом множестве заданы операции сложения и умножения на число, описанные выше, при- чём относительно сложения это множество образует группу (следствие 1), а перечисленные в начале лекции свойства умножения на число (вкупе с очевидным свойством 1 · A = A) обеспечи- вают выполнение аксиом 5 – 8 линейного пространства.
Таким образом, Oper(L)− ещё один пример линейного пространства (над тем же полем, что и само пространство L).
Очевидно, что это пространство изоморфно пространству квадратных матриц порядка n. Ис- ходя из этого, легко подобрать базис пространства Oper(L) и определить его размерность.
Теперь рассмотрим многочлен от линейных операторов:
P (A) = a
0
A
m
+ a
1
A
m−1
+ ... + a n−1
A + Id
,
где A− произвольный линейный оператор, а Id− тождественный линейный оператор (счита- ем, что A
0
= Id
).
Аналогично для многочлена от матриц (только с матрицей E вместо тождественного опера- тора) .
Теорема 3.
Для любой матрицы порядка n существуют такие числа a
0
, a
1
, ..., a n
2
∈ P
, что a
0
A
n
2
+ a
1
A
n
2
−1
+ ... + a n
2
−1
A + E = Θ
Доказательство.
Множество матриц порядка n образует линейное пространство размерности n
2
, следовательно любые n
2
+ 1
матрица линейно зависимы.
Иначе говоря, для любой матрицы существует аннулирующий многочлен степени n
2
, та- кой что P (A) = Θ.
2

Замечание.
На самом деле существует многочлен степени n. Этот факт утверждает теорема
Гамильтона-Кэли. О том, что это за многочлен, будет сказано позднее (см. лекцию о собственных числах).
Инвариантные подпространства
Пусть A− линейный оператор на L и L
0
≤ L
Def.
Подпространство L
0
называется инвариантным относительно линейного оператора A,
если ∀ x ∈ L
0
A(x
0
) ∈ L
0
, иначе говоря, A(L
0
) ⊆ L
0
Примеры.
1. Тривиальные случаи: {θ} и само L.
2. A : V
3
→ V
3
– оператор поворота геометрического пространства векторов на угол ϕ вокруг оси Ox.
Инвариантной является плоскость Oyz, перпендикулярная оси Ox.
Сама ось вращения является инвариантной, более того – неподвижной, так как при таком вращении все её точки остаются на месте, а значит, и векторы.
3. У оператора дифференцирования D, действующего на пространстве R
n
[x]
инвариантными являются все подпространства R
m
[x]
при m ≤ n. При этом инвариантными не будут, на- пример, подпространства L
x
0
, состоящие из всех многочленов, имеющих корень x
0
:
D(x − x
0
) = 1 /
∈ L
x
0
Теорема 4. KerA, ImA−
инвариантные подпространства.
Доказательство.
Для x ∈ KerA очевидно: A(x) = θ ∈ KerA.
Для y ∈ ImA не менее очевидно: A(y) ∈ ImA, как и образы всех остальных элементов про- странства L.
Def.
Сужением оператора A на инвариантное подпространство L
0
≤ L
называется линейный оператор A
L
0
: L
0
→ L
0
, при котором A
L
0
(x) = A(x)
для любого x ∈ L
0
Свойства инвариантных подпространств
1. Если L
0
−
инвариантное подпространство относительно обратимого оператора A линейного пространства L, то его сужение A
L
0
также обратимо.
2. Если L
1
, L
2
≤ L−
инвариантные подпространства относительно линейного оператора A, то их сумма и пересечение L
1
∩ L
2
и L
1
+ L
2
также инвариантны.
Если x ∈ L
1
∩ L
2
, то x ∈ L
1
, x ∈ L
2
=⇒ A(x) ∈ L
1
, A(x) ∈ L
2
=⇒ A(x) ∈ L
1
∩ L
2
Если x ∈ L
1
+ L
2
, то x = x
1
+ x
2
, x
1
∈ L
1
, x
2
∈ L
2
. Тогда A(x
1
) = y
1
∈ L
1
, A(x
2
) = y
2
∈ L
2
и A(x) = A(x
1
+ x
2
) = A(x
1
) + A(x
2
) = y
1
+ y
2
∈ (L
1
+ L
2
)
3

Теорема 5.
Пусть L
0
−
инвариантное относительно оператора A подпространство простран- ства L и dimL
0
= m
. Тогда существует базис e
1
, e
2
, ..., e n
линейного пространства L, в котором матрица оператора A имеет вид:
B C
0
D
!
,
где B− матрица сужения оператора A на подпространство L
0
, 0− нулевая матрица размера
(n − m) × m
, C, D− некоторые матрицы размеров m × (n − m) и (n − m) × (n − m) соответственно.
И наоборот: если в некотором базисе e
1
, e
2
, ..., e n
матрица оператора A имеет нулевой угол
(нулевую матрицу размера (n − m) × m), то оператор A имеет m−мерное инвариантное подпро- странство.
Доказательство.
Дополним базис e
1
, e
2
, ..., e m
подпространства L
0
векторами e m+1
, ..., e n
до базиса L. Тогда для любого вектора L
0
получим:
A(e i
) = α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ ... + α
m e
m
+ 0 · e m+1
+ ... + 0 · e n
при i = 1, ..., m.
Следовательно, первые m столбцов матрицы оператора A в выбранном базисе будут иметь n − m нулей последними элементами.
Обратное утверждение доказывается теми же рассуждениями в обратном порядке.
Следствие.
Если n−мерное пространство L раскладывается в сумму ненулевых инвариант- ных относительно оператора A подпространств L = L
1
⊕ L
2
⊕ ... ⊕ L
k
, то существует базис, в котором матрица этого оператора имеет блочно-диагональный вид:




A
1 0
0 0
A
2 0
0 0
A
k




,
где A
i
– матрица сужения A
L
i оператора A на подпространство L
i
, i = 1, ..., k.
Примером может служить рассмотренный выше оператор A поворота вокруг оси Ox:
L
1
= Ox, L
2
= Oyz и V
3
= L
1
⊕ L
2
Матрица оператора в базисе i, j, k будет иметь вид:


1 0
0 0
cosϕ
−sinϕ
0
sinϕ
cosϕ


Отметим, что эта матрица ортогональна.
4

По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Произведение оператора на число, сумма и произведение операторов
• Аннулирующий многочлен
• Инвариантное подпространство
2. Матрица суммы и произведения операторов
3. Групповое свойство операторов
4. Свойства инвариантных подпространств
5. Матрица оператора в базисе из векторов инвариантных подпространств
6. Основные теоретические факты с доказательствами
5

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Def.
Пусть A – линейный оператор пространства L. Тогда, если существует такой вектор x ∈ L \ {θ}
, для которого A(x) = λx, то λ называется собственным числом оператора A, а x –
собственным вектором оператора A, отвечающим собственному числу λ. То есть собственными являются векторы, коллинеарные своему образу.
Пусть x, y− собственные векторы, отвечающие собственному числу λ. Тогда A(αx + βy) =
A(αx) + A(βy) = αA(x) + βA(y) = λαA(x) + λβA(y) = λ(αA(x) + βA(y)) = λ(A(αx + βy))
, т.е.
вектор αx + βy также оказывается собственным относительно числа λ. Согласно критерию под- пространства получаем, что множество собственных векторов, отвечающих одному собственному числу λ, образует подпространство.
Def.
Множество решений уравнения A(x) = λx называется собственным подпространством,
отвечающим собственному числу λ (это множество всех собственных векторов, отвечающих λ, и вектор θ).
Заметим, что собственное подпространство инвариантно относительно оператора A, так как указанное свойство выполнено и для λx. Перепишем его в матричном виде в некотором базисе g
1
, g
2
, ..., g n
:
Ax = λx ⇐⇒ Ax = λEx ⇐⇒ (A − λE)x = θ.
Составим соответствующее матричное уравнение (−λE добавит в матрице A на диагонали
−λ
):




a
11
− λ
a
12
a
1n a
21
a
22
− λ ...
a
2n a
n1
a n2
a nn
− λ




·




x
1
x
2
x n




=




0 0
0




Или в явном виде:











(a
11
− λ)x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
= 0,
a
21
x
1
+ (a
22
− λ)x
2
+ ... + a