Файл: Линейные пространства.pdf

Все корни этого многочлена являются собственными числами оператора .
Замечание.
Отметим, что у многочлена может быть несколько различных вещественных корней (с учетом их кратности), следовательно, у оператора может быть несколько собственных чисел, и одному собственному числу может соответствовать несколько линейно независимых соб- ственных векторов. Если у характеристического многочлена нет вещественных корней, у него нет и вещественных собственных чисел. Случай с комплексными корнями будет рассмотрен позднее.
Собственные числа по определению не зависят от выбора базиса, поэтому и корни характе- ристического многочлена не должны зависеть от выбора базиса. Докажем это.
Теорема 1.
Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса.
Доказательство.
Пусть f
1
, f
2
, ..., f n
и g
1
, g
2
, ..., g n
−
два базиса линейного пространства L. Тогда
A
f
= C
f →g
A
g
C
g→f
В новом базисе характеристический многочлен имеет вид: det(C
f →g
A
g
C
g→f
−λE) = 0
. Пользу- ясь тем, что матрица тождественного оператора не зависит от выбора базиса, C
f →g
· E · C
g→f
= E
и определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц, получаем:
C
f →g
A
g
C
g→f
− C
f →g
λEC
g→f
= C
f →g
(A
g
− λE)C
g→f
,
det(C
f →g
(A
g
− λE)C
g→f
) = detC
f →g det(A
g
− λE)detC
g→f
= det(A
g
− λE)
,
так как в произведении участвует пара взаимно обратных матриц.
Алгоритм поиска собственных чисел и собственных векторов.
1. Записать определитель матрицы A
g
− λE
2. Раскрыть определитель, записав характеристический многочлен в явном виде
3. Найти корни характеристического многочлена
4. Для каждого корня λ
i решить ОСЛУ (A
g
− λE) · X = Θ
Пример.
Пусть в некотором базисе матрица опретора A имеет вид
1 2
5 4

Запишем характеристический многочлен:
χ
A
(λ) = det(A − λE) =
1 − λ
2 5
4 − λ
= (1 − λ)( 4 − λ) − 10 = λ
2
− 5λ − 6 = (λ + 1)(λ − 6),
т.е. корнями характеристического многочлена, а значит и собственными значениями, являют- ся числа −1 и 6.
Найдём решения системы (A
g
− λE) · X = Θ
для λ
1
= −1 :
1 − (−1)
2 5
4 − (−1)

=
2 2
5 5

2

Решениями системы (A
g
− λ
1
E) · X = Θ
(собственными векторами, отвечающими собственно- му числу −1) являются векторы (1, −1)
T
α
, т.е. подпространство < (1, −1)
T
>
Найдём решения системы (A
g
− λE) · X = Θ
для λ
2
= 6 :
1 − 6 2
5 4 − 6

=
−5 2
5
−2

Решениями системы (A
g
− λ
1
E) · X = Θ
(собственными векторами, отвечающими собственно- му числу 6) являются векторы (2, 5)
T
β
, т.е. подпространство < (2, 5)
T
>
Итак, оператор A в данном случае имеет два различных собственных числа и два собственных подпространства размерности 1.
Теорема 2.
Если оператор имеет различные собственные значения λ
1
, λ
2
, ..., λ
k
, то соответ- ствующие им собственные векторы, взятые по одному для каждого числа, линейно независимы.
Доказательство.
Воспользуемся индукцией по числу собственных векторов.
При k = 1 доказательство очевидно.
Пусть утверждение выполняется для k − 1 вектора и они линейно независимы. Докажем для k
Возьмём собственные векторы u
1
, u
2
, ..., u k
, отвечающие числам λ
1
, λ
2
, ..., λ
k соответственно,
и рассмотрим линейную комбинацию
α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ ... + α
n u
n
= θ
(1)
и хотя бы один α
i
, (i = 1, ..., k)
отличен от нуля.
Тогда A(α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ ... + α
n u
n
) = θ
, а вследствие линейности оператора и свойств собствен- ных векторов
α
1
A(u
1
) + α
2
A(u
2
) + ... + α
k
A(u k
) = θ =⇒
=⇒ α
1
λ
1
u
1
+ α
2
λ
2
u
2
+ ... + α
k
λ
k u
k
= θ
(2)
Домножим равенство (1) на λ
k и вычтем результат из равенства (2):
=⇒ α
1
(λ
1
− λ
k
)u
1
+ α
2
(λ
2
− λ
k
)u
2
+ ... + α
k−1
(λ
k−1
− λ
k
)u k−1
= θ
По индуктивному предположению, эти k − 1 векторов линейно независимы, следовательно,
α
i
= 0, i = 1, ..., k − 1
. Тогда либо все коэффициенты в (1) равны нулю, что противоречит их выбору, либо только α
k
̸= 0
, что также невозможно, так как повлекло бы u k
= θ
Следствие.
Если в n−мерном линейном пространстве L линейный оператор имеет n различ- ных собственных чисел, то n собственных векторов, отвечающих каждый своему соственному числу, образуют базис L.
Теорема 3.
В базисе из собственных векторов матрица оператора имеет диагональный вид.
Доказательство.
Так как все векторы базиса собственные, то A(u i
) = λ
i u
i
, и координатный столбец A(u i
)
в базисе u будет иметь вид (0, 0, ..., λ
i
, 0, ..., 0)
T
3

Расположив такие векторы в естественном порядке, получим диагональную матрицу с соб- ственными числами на диагонали.
Теорема 4.
Если в некотором базисе e матрица оператора имеет диагональный вид, то все векторы этого базиса являются собственными векторами, а числа, стоящие на диагонали – соб- ственными числами, то есть A(e k
) = λ
k e
k
, k = 1, ..., dimL.
Очевидно (следует из определения).
Пример.
В рассмотренном выше примере выберем базис u
1
= (1, −1)
T
, u
2
= (2, 5)
T
. В этом базисе мат- рица оператора будет иметь вид:

1 2
−1 5

Проверьте, что именно эта матрица получается в результате совершения действий: A
u
=
C
u→e
A
e
C
e→u
Теорема 5. χ
A
(A) = Θ
Доказательство.
Если λ не является собственным числом A, то det(A − λE) ̸= 0 и матрица (A − λE) имеет обратную:
(A − λE)
−1
=
1
det(A−λE)
e
A
, (1)
где e
A
- присоединённая матрица, т.е. транспонированная матрица алгебраических дополне- ний f
a ij элементов матрицы A. Поскольку f
a ij это миноры элементов A со знаком, которые имеют порядок n − 1, то многочлены от λ, получающиеся при раскрытии этих определителей также имеют степень не выше n − 1. Это означает, что в форме многочлена f
a ij
(λ) = ]
a n−1
ij
λ
n−1
+ ]
a n−2
ij
λ
n−2
+ ... + f a
1
ij
λ + f a
0
ij
(здесь и ниже верхний номер обозначает не степень коэффициента e
a или матрицы e
A, а ещё
один индекс)
Переходя от элементов присоединённой матрицы ко всей матрице e
A
, имеем:
e
A(λ) = ]
A
n−1
λ
n−1
+ ]
A
n−2
λ
n−2
+ ... + f
A
1
λ + f
A
0
,
где f
A
k
−
матрицы с элементами f a
k ij
, т.е. сгруппированными по степени λ, k = 0, 1, ..., (k − 1).
Из формулы для обратной матрицы получаем:
(A − λE)( ]
A
n−1
λ
n−1
+ ]
A
n−2
λ
n−2
+ ... + f
A
1
λ + f
A
0
) = χ
A
(λ)E
, (2)
так как χ
A
(λ) = det(A − λE) = d n
λ
n
+ d n−1
λ
n−1
+ ... + d
1
λ + d
0
. Далее,
χ
A
(λ)E = d n
λ
n
E + d n−1
λ
n−1
E + ... + d
1
λE + d
0
E
(3)
Раскроем скобки и приравняем матрицы при одинаковых степенях λ в (2) и (3), получим:
4

− ]
A
n−1
= d n
E
(n)
A ]
A
n−1
− ]
A
n−2
= d n−1
E
(n - 1)
A f
A
2
− f
A
1
= d
2
E
(2)
A f
A
1
− f
A
0
= d
1
E
(1)
A f
A
0
= d
0
E
(0)
Теперь умножим первое равенство на A
n
, второе – на A
n−1
, третье – на A
n−2
и т.д., последнее
– на A
0
= E
и сложим все равенства. В итоге в левой части слагаемые взаимно уничтожатся, и мы получим равенство:
Θ = d n
A
n
+ d n−1
A
n−1
+ ... + d
1
A + d
0
E = χ
A
(A)
,
что и требовалось доказать.
Теорема 6.
Если λ
0
– корень характеристического многочлена кратности k, а U
λ
0
– собствен- ное подпространство, отвечающее собственному числу λ
0
, то dimU
λ
0
≤ k
Доказательство.
Пусть dimU
λ
0
= m ≥ 1
. Выберем базис e
1
, ..., e m
данного подпространства и дополним его до базиса L: e
1
, ..., e m
, ..., e n
. В этом базисе матрица оператора A будет иметь блочно-треугольный вид:
λ
0
E B
0
C
!
,
т.е. будет иметь блок размера m в виде диагональной матрицы λE.
Запишем характеристический многочлен:
χ
A
(λ) = det(A
e
− λ
0
E)
= (λ − λ
0
)
m
ψ(λ)
Поскольку λ
0
может быть и корнем ψ(λ), заключаем, что m ≤ k.
Теорема 6.
След матрицы оператора не зависит от выбора базиса пространства L.
Доказательство.
Воспользуемся тем фактом, что следы матриц CD и DC совпадают (это следует из правил умножения матриц – проверьте!).
Тогда A
f
= (C
f →g
A
g
)C
g→f
, A
g
= C
g→f
(C
f →g
A
g
)
5

По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Собственное число
• Собственный вектор
• Собственное подпространство
• Характеристический многочлен
2. Алгоритм определения собственных чисел и собственных векторов линейного оператора
3. Вид матрицы оператора в базисе из собственных векторов
4. Аннулирующее свойство характеристического многочлена
5. Инвариантность матрицы опера оператора и её следа
6. Основные теоретические факты с доказательствами
6

Жорданова нормальная форма
В силу сокращения числа лекционных часов в экзаменационную программу вой- дёт только теоремы 1 и 2 с доказательствами, теорема 6 без доказательства и пред- шествующие ей определения.
Ранее мы говорили о том, что в базисе из собственных векторов матрица оператора имеет диагональный вид. Можно также сформулировать следующие утверждения.
Теорема 1.
Матрица оператора A линейного пространства L диагонализируема тогда и толь- ко тогда, когда L = U
λ
1
⊕ ... ⊕ U
λ
s
, где U
λ
1
, ..., U
λ
1
– собственные подпространства L.
Доказательство.
Если матрица диагонализируема, то существует базис u
1
, u
2
, ..., u n
из собственных векторов пространства L (теоремы 3-4 предыдущей лекции). Рассмотрим подпространство U
λ
1
⊕ ... ⊕ U
λ
s
⊆
L
. С другой стороны любой x ∈ L раскладывается по базису u
1
, u
2
, ..., u n
и каждый u i
принадле- жит одному из собственных подпространств. Поэтому x ∈ U
λ
1
⊕ ... ⊕ U
λ
s
Обратно: построим базис L, объединив базисы всех U
λ
i
(i = 1, ..., s). Очевидно, что он состоит из собственных векторов, и матрица оператора в этом базисе диагональна.
Def.
Алгебраической кратностью собственного числа λ
i называется его кратность как корня характеристического многочлена.
Def.
Геометрической кратностью собственного числа λ
i называется размерность собственного подпространства, отвечающего λ
i
Теорема 2.
Матрица оператора A диагонализируема над полем C тогда и только тогда, ко- гда алгебраическая кратность любого собственного числа совпадает с его геометрической крат- ностью.
Доказательство.
Пусть a i
, p i
– соответственно алгебраическая и геометрическая кратности собственного числа
λ
i
(i = 1, ..., s).
Если матрица диагонализируема, то 0 < dimU
λ
i
= p i
≤ a i
. Но равенство dimL =
s
P
i=1
(dimU
λ
i
)
возможно лишь при a i
= p i
Обратно: если алгебраическая кратность каждого собственного числа совпадает с геомет- рической, то s
P
i=1
(dimU
λ
i
) = p
1
+ ... + p s
= a
1
+ ... + a s
, т.е. сумма размерностей собственных подпространств совпадает с dimL и существует базис из собственных векторов.
Теорема доказана.
Далее нам понадобится следующее утверждение.
Теорема 2.
Если линейные операторы A и B перестановочны (т.е. A ◦ B = B ◦ A), то ядро и образ одного из них инвариантны относительно другого.
Доказательство.
Если x ∈ KerA, то A(x) = θ и B(A(x)) = θ. Тогда в силу перестановочности и A(B(x)) = θ,
т.е. B(x) ∈ KerA.
1

Пусть x ∈ ImA. Тогда существует такой x
0
∈ L
, что A(x
0
) = x
. Следовательно, B(x) =
B(A(x
0
)) = A(B(x
0
))
, т.е. B(x) ∈ ImA.
Утверждение доказано.
Будем рассматривать n−мерное комплексное пространство L и линейный оператор A этого пространства. Согласно следствию из теоремы Гаусса о комплексных корнях многочлена, харак- теристический многочлен раскладывается на множители следующим образом:
χ
A
(λ) = (−1)
n
(λ − λ
1
)
k
1
(λ − λ
2
)
k
2
· ... · (λ − λ
s
)
k
1
s
Как частный случай все корни могут оказаться вещественными.
Теорема 4.
Для любого линейного оператора A комплексного пространства L это простран- ство раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно A подпространств.
Доказательство.
Рассмотрим дробно-рациональную функцию
1
χ
A
(λ)
и разложим её в сумму простейших дро- бей (рассматривая дроби второго типа только с максимальным показателем степени - остальные включим в данную):
1
χ
A
(λ)
=
f
1
(λ)
(λ−λ
1
)
k1
+ ... +
f s
(λ)
(λ−λ
s
)
ks
Теперь приведём к общему знаменателю и приравняем числители:
1 =
f
1
(λ)χ
A
(λ)
(λ−λ
1
)
k1
+ ... +
f s
(λ)χ
A
(λ)
(λ−λ
s
)
ks
= q
1
(λ) + ... + q s
(λ)
,
где q i
(λ) =
f i
(λ)χ
A
(λ)
(λ−λ
i
)
ki
, i = 1, ..., s.
Подставив в последнее равенство матрицу A, получим:
E = Q
1
+ ... + Q
s
(для q i
(A) = Q
i
) (1)
Поскольку в произведение q i
(λ)q j
(λ)
входят все множители из разложения χ
A
(λ)
, а сам
χ
A
(A) = θ
, заключаем, что Q
i
Q
j
= Θ
Умножим (1) на Q
i и, пользуясь сделанным замечанием, получим:
Q
i
= Q
i
Q
i
(остальные слагаемые равны нулю).
Теперь подействуем обеими частями (1) на произвольный вектор x ∈ L :
x = Q
1
(x) + ... + Q
s
(x) = x
1
+ ...x s
(при Q
i
(x) = x i
).
такое представление единственно, так как если бы нашлись такие y
1
, ..., y s
∈ L
, что y i
∈ Q
i и
x = y
1
+ ... + y s
, то y i
= Q
i
(z i
)
для некоторых z i
∈ L
. Иначе говоря,
x = Q
1
(z
1
) + ... + Q
s
(z s
)
. (2)
Умножив последнее равенство на Q
i
, получим:
Q
i
(x) = Q
i
(z i
)
2

Итак, произвольный вектор x ∈ L раскладывается единственным образом в сумму элементов подпространств Q
i
(L)
, а, значит, само L раскладывается в прямую сумму:
L = Q
1
(L) ⊕ ... ⊕ Q
s
(L)
. (3)
По теореме 3 эти подпространства инвариантны. Теорема доказана.
Def.
Подпространства Q
i
(L)
из доказательства теоремы 2 называются корневыми подпро- странствами.
Далее будем обозначать их как K
i
Теорема 5. K
i
= Ker(A − λ
i
E)
k i
для любого i (k i
здесь это алгебраическая кратность соот- ветствующего собственного числа).
Доказательство.
В произведение (λ−λ
1
)
k i
q i
(λ)
(см. теорему 4) входят все множители из χ
A
(λ)
, следовательно,
по теореме Гамильтона-Кэли, подставив в него матрицу A, получим ноль:
(A − λ
i
E)
k i
Q
i
= Θ
Это означает, что для любого x ∈ L (A − λ
i
E)
k i
Q
i
(x) = θ
(здесь θ это нулевой вектор), т.е.
Q
i
(x) ∈ Ker(A − λ
i
E)
k i
и Q
i
(L) ⊆ Ker(A − λ
i
E)
k i
Теперь проверим обратное включение. Пусть x ∈ Ker(A − λ
i
E)
k i
. В каждую матрицу опера- тора Q
j при j ̸= i входит множитель ( − λ
i
E)
k i
, для которого ( − λ
i
E)
k i
() = θ
. Поэтому равенство
(2) для x превращается в x = Q
i
(x)
. Поэтому x ∈ Ker(A − λ
i
E)
k i
⊆ Q
i
(L)
Следствие 1. Ker(A − λ
i
E) ⊆ K
i
Действительно, если Ker(A − λ
i
E)x = θ
, то и Ker(A − λ
i
E)
k i
x = θ
Следствие 2. L = Ker(A − λ
i
E)
k
1
⊕ ... ⊕ Ker(A − λ
i
E)
k s
Def.
Пусть K
i
— корневое подпространство оператора A, отвечающее собственному числу λ
i
Высотой вектора x ∈ K
i называется число h, такое, что (A − λI)
h
(x) = θ
, но (A − λI)
h−1
(x) ̸= θ
Очевидно, что собственные векторы имеют высоту 1.
Def.
Жордановой клеткой, отвечающей собственному числу λ
i
, называется матрица J
i1
раз- мера m × m вида






λ
i
1 0
0 0
0
λ
i
1 0
0 0
0 0
λ
i
1 0
0 0
0
λ
i






,
где λ
i
– собственное число, m – высота вектора x корневого подпространства, отвечающего числу λ
i