Файл: Линейные пространства.pdf

Линейные пространства
С линейными простанствами над некоторым полем мы сталкивались и ранее. Прежде чем переходить к их описанию, определим вспомогательные понятия.
Def.
Алгебраической системой называется множество G с заданным на нём набором операций и отношений.
• С одной бинарной операцией ϕ : (a, b) → c, где a, b, c ∈ G (ϕ : G × G → G).
Операция может обозначаться знаком ” · ”, ” + ”, ” ◦ ” и пр. либо пустым символом:
a · b, a + b, a ◦ b, ab и т.д. Будем пользоваться мультипликативной записью (умножение).
Свойства бинарной операции:
1. Замкнутость: ∀ a, b ∈ G ab ∈ G.
Выполняется по умолчанию, так как это условие того, что операция на множестве задана. Требуется проверять при рассмотрении конкретного примера.
2. Ассоциативность: ∀ a, b, c ∈ G (ab)c = a(bc).
3. Наличие нейтрального элемента: ∃ e ∈ G : ∀ a ∈ G ae = ea = a.
4. Обратимость: ∀ a ∈ G ∃ a
−1
∈ G : aa
−1
= a
−1
a = e
5. Коммутативность: ∀ a, b ∈ G ab = ba.
Def.
Алгебраическая система с одной бинарной операцией, на которой выполнены свойства 1, 2, называется полугруппой;
свойства 1, 2, 5 – коммутативной полугруппой;
свойства 1, 2, 3 – полугруппой с единицей.
Def.
Алгебраическая система с одной бинарной операцией, на которой выполнены свойства
1 – 4, называется группой; все пять свойств – коммутативной группой.
• С двумя бинарными операциями, условно обозначаемыми ” + ” и ” · ”.
Def.
Алгебраическая система K с двумя бинарными операциями ” + ” и ” · ”, относительно которых (K, +) – абелева группа, (K, ·) – полугруппа, а также выполнено свойство дистри- бутивности a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca для любых a, b, c ∈ K,
называется кольцом.
Если (K, ·) – коммутативная полугруппа, то кольцо называется коммутативным.
Если (K, ·) – полугруппа с единицей, то K – кольцо с единицей.
Def.
Алгебраическая система K с двумя бинарными операциями ” + ” и ” · ”, относительно каждой из которых K – абелева группа, а также выполнено свойство дистрибутивности,
называется полем. Примечание: для единицы по сложению (т.е. нулевого элемента) тре- бование существования обратного отсутствует
Естественные примеры
(+)
(·)
(+, ·)
N
Полугруппа Полугруппа с 1
Z
Группа
Полугруппа с 1 Кольцо
Q
Группа
Группа
Поле
R
Группа
Группа
Поле
C
Группа
Группа
Поле
1

Примеры конечных алгебраических систем
1. Множество комплексных корней степени n из 1. Абелева группа по умножению.
2. Z
2
= {0, 1} (множество остатков от деления на 2). Поле.
3. Z
3
= {0, 1, 2} (множество остатков от деления на 3). Поле.
·
0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1
– абелева группа.
+
0 1 2 0
0 1 2 1
1 2 0 2
2 0 1
– абелева группа.
4. Z
6
= {0, 1, 2, 3, 4, 5} (множество остатков от деления на 6). Кольцо.
·
0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1
– коммутативная полугруппа (2, 3, 4 не имеют обратного).
+
0 1 2 3 4 5 0
0 1 2 3 4 5 1
1 2 3 4 5 0 2
2 3 4 5 0 1 3
3 4 5 0 1 2 4
4 5 0 1 2 3 5
5 0 1 2 3 4
– абелева группа.
2

Определение.
Пусть дано поле P . Линейным (векторным) пространством L над полем P
будем называть множество элементов, на котором:
• Задана (внутренняя) бинарная операция сложения. Это означает, что выполнено свойство замкнутости:
Для любых x, y ∈ L имеет место: x + y ∈ L,
т.е. результат сложения любых элементов линейного пространства также является его эле- ментом.
• Задана (внешняя) бинарная операция умножения на элемент поля P , т.е.
для любых x ∈ L и λ ∈ P выполнено: λx ∈ P
• Выполняются следующие восемь аксиом (∀ x, y, z ∈ L, ∀ α, β ∈ P ):
1. Ассоциативность сложения: (x + y) + z = x + (y + z).
2. Коммутативность сложения: x + y = y + x.
3. Наличие нейтрального элемента по сложению: ∃ θ ∈ L : x + θ = θ + x = x.
4. Обратимость по сложению: ∃(−x) ∈ L : x + (−x) = θ.
5. Ассоциативность умножения на элементы поля: α(βx) = (αβ)x.
6. Дистрибутивность относительно сложения векторов: α(x + y) = αx + αy.
7. Дистрибутивность относительно сложения скаляров: (α + β)x = αx + βx.
8. 1 · x = x.
Замечания.
1. Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.
2. Если в качестве поля P взято множество R, то линейное пространство называется веще- ственным. Если C− то комплексным.
3. Первые четыре аксиомы определяют группу элементов L.
4. Можно было не различать нейтральный элемент линейного пространства θ и "обычный"
ноль (элемент числового поля), однако, учитывая произвольную природу элементов линей- ного пространства, будем их разделять. Поясним на примере.
Пример.
1. Пусть M
m×n
(R)−
множество матриц размера m×n с вещественными элементами. Проверим аксиомы линейного пространства.
Ассоциативность и коммутативность сложения очевидны, так как они наследуются из свойств поля R.
Нейтральный элемент это нулевая матрица соответствующего размера. Очевидно, что она не совпадает с нулём поля.
Для любой матрицы M
0
существует обратная −M
0
: M
0
+ (−M
0
) = θ
Остальные свойства несложно проверить самостоятельно.
2. R[x]− множество многочленов од одной переменной x с вещественными коэффициентами
Выполнение аксиом линейного пространства в этом случае также несложно проверить. За- метим только, что нейтральным элементом (аксиома 3) в этом множестве является много- член 0. В данном случае он совпадает с нулём поля.
Для f(x) обратным элементом будет −f(x).
3

Сформулируем очевидные свойства.
1. 0x = θ
Действительно, при любом x ∈ L имеет место: x = (0+1)x = 0x+x, аналогично: x = x+0x.
Следовательно, 0x − нейтральный элемент θ.
2. λθ = θ при любом λ из поля P .
Имеем: λθ = λ(θ + θ) = λθ + λθ, т.е. λθ = θ
3. В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент.
Пусть θ, θ
1
−
два нейтральных элемента L. Тогда
θ + θ
1
= θ
(в силу нейтральности θ
1
),
θ + θ
1
= θ
1
(в силу нейтральности θ),
следовательно, элементы равны.
4. Если λx = θ, то либо λ = 0, либо x = θ
Пусть λ ̸= 0, тогда λx = θ =⇒ (св. 2)
1
λ
(λx) = θ =⇒ x = θ
5. (−1) · x = −x (т.е. противоположный элемент получается из исходного умножением на −1)
(−1 + 1)x = 0 · x =⇒ (−1) · x + 1 · x = θ =⇒ (−1) · x + x = θ =⇒ (−1) · x = −x
Линейная зависимость и независимость векторов
Def.
Множество векторов a
1
, a
2
, ..., a n
линейного пространства L над полем P называется ли- нейно зависимым, если существуют такие коэффициенты α
1
, ..., α
n
∈ P
, не все равные 0, что
α
1
a
1
+ ... + α
n a
n
= θ
. В противном случае множество векторов называется линейно независимым.
Любое выражение вида α
1
a
1
+ ... + α
n a
n называется линейной комбинацией векторов a
1
, ..., a n
Теорема 1.
Если среди векторов a
1
, a
2
, ..., a n
есть хотя бы один нулевой вектор, то данные векторы линейно зависимы.
Для доказательства достаточно взять линейную комбинацию с коэффициентом 1 при нулевом векторе и нулевыми остальными коэфиициентами.
Теорема 2.
Если к линейно зависимым векторам a
1
, a
2
, ..., a n
добавить произвольные векто- ры b
1
, b
2
, ..., b m
, то множество векторов a
1
, a
2
, ..., a n
, b
1
, b
2
, ..., b m
будет линейно зависимым.
Доказательство.
По определению: α
1
a
1
+ ... + α
n a
n
= θ
при некоторых α
1
, ..., α
n
∈ P
(не всех равных 0).
Добавляя к левой части равенства любую линейную комбинацию векторов с нулевыми коэф- фициентами, вновь получим верное равенство, в частности:
α
1
a
1
+ ... + α
n a
n
+ 0b
1
+ ... + 0b m
= θ
,
что является условием линейной зависимости множества векторов a
1
, a
2
, ..., a n
, b
1
, b
2
, ..., b m
Следствие.
Если векторы a
1
, a
2
, ..., a n
линейно независимы, то любое их подмножество так- же линейно независимо.
Теорема 3.
Если векторы a
1
, a
2
, ..., a n
линейно независимы и x = α
1
a
1
+ ... + α
n a
n
, то это представление единственно.
Доказательство.
4

Предположим противное, то есть возможны два представления:
α
1
a
1
+ ... + α
n a
n
= x и
β
1
a
1
+ ... + β
n a
n
= x
Вычтем из одного представления другое, получим:
(α
1
− β
1
)a
1
+ ... + (α
n
− β
n
)a n
= θ
Поскольку векторы a
1
, a
2
, ..., a n
линейно независимы, то коэффициенты данной линейной ком- бинации равны нулю, т.е. α
1
= β
1
, ..., α
n
= β
n
, а, значит, представление единственно.
Размерность и базис линейного пространства
Def.
Размерностью линейного пространства называется максимальное число n линейно неза- висимых векторов из этого пространства.
Это означает, что из векторов линейного пространства можно выбрать n линейно независи- мых, а любые n + 1 линейно зависимы. Сравните с определением ранга матрицы.
Обозначение: dimL = n.
Теорема 4.
Даны линейно независимые векторы f
1
, f
2
, ..., f m
, через которые выражаются векторы g
1
, ...g k
:
g
1
= a
11
f
1
+ ...a
1m f
m
,
g
2
= a
21
f
1
+ ...a
2m f
m
,
g k
= a k1
f
1
+ ...a km f
m
Если векторы g i
линейно независимы, то k ≤ m.
Суть утверждения: из m линейно независимых векторов никакими линейными комбинаци- ями не получить большее число линейно независимых векторов.
Доказательство.
Рассмотрим линейную комбинацию векторов λ
1
g
1
+ ... + λ
k g
k
. Поскольку векторы линейно независимы, она равна нулю только в тривиальном случае (λ
1
= ... = λ
k
= 0
).
Подставим в равенство λ
1
g
1
+ ... + λ
k g
k
= θ
выражения для векторов g i
из условий теоремы:
λ
1
(a
11
f
1
+ ...a
1m f
m
) + ... + λ
k
(a k1
f
1
+ ...a km f
m
) = θ
,
или
(
k
P
i=1
λ
i
α
i1
)f
1
+ (
k
P
i=1
λ
i
α
i2
)f
2
... + (
k
P
i=1
λ
i
α
im
)f m
= θ
Так как векторы f
1
, f
2
, ..., f m
линейно независимы, то все коэффициенты при них равны нулю,
то есть





















k
P
i=1
λ
i
α
i1
= 0,
k
P
i=1
λ
i
α
i2
= 0,
k
P
i=1
λ
i
α
im
= 0 5

Эта система уравнений имеет относительно λ
1
единственное решение λ
1
= ...λ
k
= 0
(вслед- ствие линейной независимости g
1
, ..., g k
, см. выше).
Это возможно только при условии равенства ранга матрицы коэффициентов и числа неивест- ных, т.е. k. Тогда число уравнений не меньше k и k ≤ m.
Следствие.
Если в пространстве L существует n линейно независимых векторов e
1
, e
2
, ..., e n
,
причём каждый вектор из L есть их линейная комбинация, то пространство n-мерно.
Def.
Множество элементов u
1
, u
2
, ..., u m
∈ L
называется системой образующих линейного пространства L, если ∀x ∈ L ∃ α
1
, α
2
, ..., α
m
∈ P : x = α
1
u
1
+ ... + α
m u
m
, т.е. любой вектор данного пространства может быть выражен через систему образующих
Def.
Система образующих u
1
, ..., u m
называется базисом линейного пространства L, если она упорядочена и линейно независима.
Предложение.
Если размерность линейного пространства L равна n, то любые n линейно независимых векторов образуют базис L.
Доказательство.
Пусть векторы e
1
, e
2
, ..., e n
линейно независимы. Достаточно показать, что через них можно выразить любой вектор из L.
Возьмём произвольный вектор x ∈ L\θ и приравняем к нулю линейную комбинацию векторов e
1
, e
2
, ..., e n
, x
:
λ
1
e
1
+ λ
2
e
2
+ ... + λ
n e
n
+ λx = θ
Существует два варианта. Если λ = 0, то все остальные коэффициенты также должны быть равны нулю, ведь по условию векторы e
1
, e
2
, ..., e n
линейно независимы. Это противоречит усло- вию размерности пространства (она повысилась на 1 благодаря вектору x).
Если λ ̸= 0, то
λx = −λ
1
e
1
− λ
2
e
2
− ... − λ
n e
n
,
или x = −
λ
1
λ
e
1
−
λ
2
λ
e
2
− ... −
λ
1
λ
e n
,
что и требовалось показать.
Следствие.
В одном линейном пространстве базис можно выбрать более чем одним способом.
Действительно, при n > 1 векторы можно менять местами, получая другой базис. В веще- ственном или комплексном линейном пространстве, умножая базисные векторы на ненулевые множители, можно получать бесконечное множество новых базисов (проверьте).
Примеры.
В качестве базиса множества V
2

свободных векторов плоскости (почему оно является линей- ным пространством?
) можно взять любые два неколлинеарных вектора этой плоскости.
В качестве базиса множества V
3
свободных векторов пространства можно взять любые три некомпланарных вектора. Например, i, j, k.
Теорема 5.
Пусть L− линейное пространство размерности n. Каждый вектор из L един- ственным образом представляется в виде линейной комбинации векторов базиса.
Следует из теоремы 3.
6

Замечание.
Если известен базис пространства, то его размерность можно определить как количество векторов в базисе.
Теорема 6.
В n-мерном пространстве любую систему линейно независимых векторов можно дополнить до базиса.
Доказательство.
Пусть g
1
, g
2
, ..., g k
−
линейно независимые векторы и k < n. Рассмотрим какой-нибудь базис этого пространства, например e
1
, e
2
, ..., e n
Если бы каждый вектор e i
(i = 1, ..., n)
был линейной комбинацией векторов g
1
, g
2
, ..., g k
, то по теореме 4 было бы верно n ≤ k. Но по условию k < n, следовательно, среди векторов e
1
, e
2
, ..., e n
есть хотя бы один, который не является линейной комбинацией g
1
, g
2
, ..., g k
, например, e s
. Добавим его ко множеству векторов g i
(i = 1, ..., k)
. Теперь векторов будет k + 1, которые также линейно независимы (иначе e s
выражался бы через оставшиеся векторы – проверьте). Если k + 1 < n, то повторим этот процесс, пока не получим количество векторов, равное n, то есть новый базис.
Итак, любой вектор пространства можно разложить по базису, причём единственным обра- зом. Это позволяет нам ввести ещё одно важное понятие.
Def.
Пусть x ∈ L, {e
1
, ..., e n
} – базис L, x = α
1
e
1
+ ... + α
n e
n
. Тогда столбец (α
1
, ..., α
n
)
T
называется столбцом координат вектора x в базисе {e
1
, ..., e n
}.
Если x = α
1
e
1
+ ... + α
n e
n и x = β
1
e
1
+ ... + β
n e
n
, то вектор суммы x + y = (α
1
+ β
1
)e
1
+ ... +
(α
n
+ β
n
)e n
,
т.е. x + y = (α
1
+ β
1
, ..., α
n
+ β
n
)
T
Аналогично: λx = λα
1
e
1
+ ... + λα
n e
n
= (λα
1
, ..., λα
n
)
T
Рассмотрим ещё один классический пример.
R
n
= R × ... × R = {(r
1
, r
2
, ..., r n
)
T
| r i
∈ R, i = 1, ..., n}−
множество n-ок вещественных чисел.
В частности R
4
= R × R × R × R = {(r
1
, r
2
, r
3
, r
4
)
T
| r i
∈ R, i = 1, ..., 4}
Подберём самый простой, "естественный" базис пространства R
n
Первый элемент n-ки можно получить, умножая на нужный коэффициент элемент (1, 0, ..., 0)
T
,
аналогично – второй элемент n-ки можно получить при помощи (0, 1, 0, ..., 0)
T
и так далее.
Это означает, что множество векторов (1, 0, ..., 0)
T
, (0, 1, 0, ..., 0)
T
, ..., (0, 0, 0, ..., 1)
T
является системой образующих пространства R
n
, так как через них можно выразить любой другой вектор пространства. Очевидно, что они линейно независимы. Следовательно, это базис.
Координаты любого вектора R
n в рассмотренном базисе совпадают с его "исходной" записью,
так как коэффициенты при базисных векторах соответствуют значениям элемента n-ки с тем же номером.
7

По итогам лекции нужно знать:
1. Понятия:
• Группа, поле
• Линейное пространство (вещественное, комплексное)
• Линейная зависимость векторов
• Линейная комбинация векторов
• Размерность линейного пространства
• Система образующих и базис
• Координаты вектора в базисе
2. Примеры линейных пространств
3. Чем базис отличается от системы образующих
4. Свойства линейного пространства
5. Как проверять, является ли выбранное множество линейным пространством
6. Как определять факт линейной зависимости/независимости векторов линейного простран- ства
7. Как определять размерность пространства
8. Как определять, является ли множество векторов базисом или системой образующих
9. Как находить координаты вектора в базисе
10. Формулировки и доказательства основных фактов
8

Подпространства
Def.
Множество U ⊆ V (обозначение подмножества) называется подпространством про- странства V (обозначается U ≤ V ), если оно само является подпространством относительно операций сложения и умножения на элементы поля, введённых в V .
Теорема 1 (критерий подпространства).
U ≤ V ⇐⇒ ∀ x, y ∈ U, α, β ∈ P (αx + βy ∈ U )
Доказательство.
1. Необходимость.
Пусть U− подпространство линейного пространства V над полем P (т.е. само является ли- нейным пространством над тем же полем). По определению линейного пространства множество
U
является замкнутым относительно умножения векторов из U на элементы из поля P , поэтому
αx, βy ∈ U
. Также оно замкнуто относительно сложения, т.е. αx + βy ∈ U.
2. Достаточность.
Пусть выполняются условие из правой части утверждения. Покажем, что U – подпространство векторного пространства V . В силу определения подпространства, достаточно показать, что Н –