Файл: Основы метрологии, стандартизации и сертификации кафедра промышленного, гражданского строительства и экспертизы недвижимости.pptx

Интегральной функцией распределения F(х) называют функцию, значение которой для каждого х является вероятностью появления значений хi (в i – том наблюдении), меньших х:

где Р – символ вероятности события, заключенного в фигурных скобках.

F(х) = Р { хi ≤ х } = Р {- ∞< хi ≤ х }
Если интегральная функция имеет точку перегиба при значении Х, близком к истинному значению ИВ, и принимает в этой точке значение, равное 0,5, то говорят о симметричности распределения результатов. Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности, с помощью дифференциальной функции распределения, называемой плотностью распределения вероятностей :

Так как F (x = + ∞)=1, то - ∞∫ ∞ р(х) dx = 1,

т.е. площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице.

Вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х1; х2) равна площади, заключенной между абсциссами х1 и х2:

р(х) = dF(x) / dx

Р {Х1< Х< Х2 } = x1∫x2 p(x) dx

Для наибольшего числа встречающихся на практике случайных величин можно ожидать распределение по закону нормального распределения (з-н Гаусса).

Теоретически доказано, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируется под действием большого числа независимых факторов, каждый из которых оказывает незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

где mx и σ - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, являющиеся основными параметрами нормального распределения; е – основание натурального логарифма.

Кривая имеет точки перегиба, соответствующие абсциссам mx ± σ.

Если данную кривую рассматривают как плотность распределения случайных погрешностей, то начало координат переносят в центр распределения и по оси абсцисс откладывают значение погрешностей ∆ = Х – mx .
Р(х) = (1 / σ√ 2 π) е –(х-m x)2 / 2 σ 2

Уравнение принимает вид

Математическое ожидание случайной величины mx = -∞∫∞ x P(x)dx

представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины.

Математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Дисперсия результатов наблюдений является характеристикой их

рассеивания:

P(∆) = (1 / σ√ 2 π)*е –∆2 / 2 σ2

D(x) = -∞∫∞ (x-mx)2 P(x)dx = σ2

Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений

σ = √ D(x)имеет размерность измеряемой величины и наиболее часто используется в качестве основного параметра, характеризующего рассеивание результатов измерений.

Если абсцисса функций нормального распределения выражается в долях среднего квадратического отклонения t = (x - mx)/ σ и начало координат находится в центре распределения, то распределение называется нормированным.

Уравнения дифференциальной и интегральной функций

нормированного нормального распределения принимают следующий вид:

P(t) = (1 /√2π) е –t2 / 2 ; F(t) = (1 /√2π) -∞∫t е –t2 / 2 dt

Определенный интеграл Ф(t) = (1 /√ 2 π) 0∫t е –t2 / 2 dt

называют функцией Лапласа. Заметим, что F(t) - Ф(t) = 0,5.

ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛАПЛАСА Таблица 1

t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)
0.0	0.0000	0.9	0.3159	1.8	0.4641	2.7	0.4965
0.1	0.0398	1.0	0.3413	1.9	0.4713	2.8	0.4974
0.2	0.0793	1.1	0.3643	2.0	0.4772	2.9	0.4981
0.3	0.1179	1.2	0.3849	2.1	0.4821	3.0	0.4986
0.4	0.1554	1.3	0.4032	2.2	0.4861	3.5	0.4998
0.5	0.1915	1.4	0.4192	2.3	0.4893	4.0	0.4999
0.6	0.2257	1.5	0.4332	2.4	0.4918	∞	0.5
0.7	0.2580	1.6	0.4452	2.5	0.4938
0.8	0.2881	1.7	0.4554	2.6	0.4981

На практике с учетом интервала ± 3 σ часто указывают предельную погрешность для некоторых средств измерений. В ряде случаев для средства измерения указывают среднее квадратическое отклонение случайной погрешности, а доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий. В производственной практике часто считают необходимым выполнение следующего условия: допустимое предельное отклонение от заданного номинального размера должно быть не меньше интервала ± 3 σ . В этом случае в среднем только одно их 370 изделий (измерений) будут бракованным. Область технологического рассеивания какого-либо размера (параметра) изделия, как правило, подчиняется нормальному закону, и периодически определяемое СКО является показателем изменений в технологическом процессе.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

На практике приходится пользоваться ограниченным числом измерений для того, чтобы оценить истинное значение ИВ и точность измерения.

Если число измерений велико (более 100), то кривую распределения можно построить достаточно точно, и если она соответствует нормальному закону, то графически определяется математическое ожидание mx и СКО σ . Результаты измерений x1, x2, …, xn делят на 10, …, 20 интервалов ∆x и записывают в виде статистического ряда

Примечание: mi - число результатов в интервале; Pi - вычисленная вероятность попадания в этот интервал.

При этом ∑ mi = n; Pi = mi / n.

	∆x1	∆x2	….	∆xn
mi	m1	m2	….	mn
Pi	P1	P2	….	Pn

Соответствие полученной кривой закону нормального распределения проверяют по критериям Пирсона и Холмогорова.

Если измерений меньше 15, то принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

При обработке результатов ограниченного числа наблюдений в качестве оценки математического ожидания принимается среднее арифметическое результатов наблюдений Хˉ = ∑ хi / n .

Приближенное значение СКО в этом случае определяется по формуле

σ ̃= √ D̃ = √ ∑ (Хi – Хˉ)2/ (n – 1)
Среднее арифметические отличается от математического ожидания на величину случайной погрешности (погрешности среднего значения), которая подчиняется тому же закону распределения, что и погрешности результатов отдельных наблюдений.

Дисперсия среднего арифметического вычисляется по формуле D̃xˉ = D̃/n , а среднее квадратическое среднего арифметического – по формуле

σ̃ xˉ = σ̃ /√ n = √ ∑ (Хi – Хˉ)2/ n (n-1)

Значения коэффициента t при числе измерений n от 2 до 20 и заданной доверительной вероятности Р Таблица 2

	Доверительная вероятность Р
	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	0.95	0.98	0.99	0.995	0.999
2	1.00	1.38	1.96	3.08	6.31	12.71	31.80	63.70	127.30	637.20
3	0.82	1.06	1.34	1.89	2.92	4.30	6.96	9.92	14.10	31.60
4	0.76	0.98	1.25	1.64	2.35	3.18	4.54	5.84	7.50	12.94
5	0.74	0.94	1.19	1.53	2.13	2.77	3.75	4.60	5.60	8.61
6	0.73	0.92	1.16	1.48	2.02	2.57	3.36	4.03	4.77	6.86
7	0.72	0.91	1.13	1.44	1.94	2.45	3.14	3.71	4.32	5.96
8	0.71	0.90	1.12	1.42	1.90	2.36	3.00	3.50	4.03	5.40
9	0.71	0.89	1.11	1.40	1.86	2.31	2.90	3.36	3.83	5.04
10	0.70	0.88	1.11	1.38	1.83	2.26	2.82	3.25	3.69	4.78

11	0.70	0.88	1.09	1.37	1.81	2.23	2.76	3.17	3.58	4.59
12	0.70	0.88	1.09	1.36	1.80	2.20	2.72	3.11	3.50	4.49
13	0.70	0.87	1.08	1.36	1.78	2.18	2.68	3.06	3.43	4.32
14	0.69	0.87	1.08	1.35	1.77	2.16	2.65	3.01	3.37	4.22
15	0.69	0.87	1.08	1.34	1.76	2.14	2.62	2.98	3.33	4.14
16	0.69	0.87	1.07	1.34	1.75	2.13	2.60	2.95	3.29	4.07
17	0.69	0.86	1.07	1.34	1.75	2.12	2.58	2.92	3.25	4.02
18	0.69	0.86	1.07	1.33	1.74	2.11	2.57	2.90	3.22	3.96
19	0.69	0.86	1.07	1.33	1.73	2.10	2.55	2.88	3.20	3.92

20	0.69	0.86	1.07	1.33	1.73	2.09	2.54	2.86	3.17	3.88
∞	0.67	0.84	1.04	1.28	1.64	1.96	2.33	2.58	2.81	3.29

где: t – коэффициент Стьюдента (табличное значение);

σxˉ - среднее квадратическое отклонение среднего значения Х.

При числе наблюдений n > 20 значения коэффициента t определяют по таблицам функции Лапласа (табл. 1), а при n < 20 - по таблицам функции Стьюдента (табл. 2, 3). Зная число наблюдений n и задавшись доверительной вероятностью Р, можно найти по таблице 2 значение t и, умножив его на σxˉ определить границы доверительного интервала.

В тех случаях, когда требуется определить доверительную вероятность при заданном t , удобнее пользоваться таблицей 3, стр.156).

Псл= ± t * σxˉ

Значения функции Стьюдента для интервалов t=2…3,5… при числе измерений n от 2 до 20 Таблица 3

Смотрите также файлы

Законом Республики Казахстан Об образовании.pdf

I роль транспорта в жизни общества предмет и функции курса История транспорта.pptx

Вопросы На какой срок заключается договор аренды (ст. 610 Гк рф).docx

Отчетный год Отклонение ( ) Динамика, Сумма Уд вес, Сумма.doc

Эстетическое воспитание Эстетическое воспитание.docx

Файл: Основы метрологии, стандартизации и сертификации кафедра промышленного, гражданского строительства и экспертизы недвижимости.pptx

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения.

где Р – символ вероятности события, заключенного в фигурных скобках.

Так как F (x = + ∞)=1, то - ∞∫ ∞ р(х) dx = 1,

т.е. площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице.

Вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х1; х2) равна площади, заключенной между абсциссами х1 и х2:

Для наибольшего числа встречающихся на практике случайных величин можно ожидать распределение по закону нормального распределения (з-н Гаусса).

Кривая имеет точки перегиба, соответствующие абсциссам mx ± σ.

Уравнение принимает вид

Уравнение принимает вид

Математическое ожидание случайной величины mx = -∞∫∞ x P(x)dx

представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины.

Математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Дисперсия результатов наблюдений является характеристикой их

рассеивания:

Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений

σ = √ D(x)имеет размерность измеряемой величины и наиболее часто используется в качестве основного параметра, характеризующего рассеивание результатов измерений.

нормированного нормального распределения принимают следующий вид:

P(t) = (1 /√2π) е –t2 / 2 ; F(t) = (1 /√2π) -∞∫t е –t2 / 2 dt

Определенный интеграл Ф(t) = (1 /√ 2 π) 0∫t е –t2 / 2 dt

называют функцией Лапласа. Заметим, что F(t) - Ф(t) = 0,5.

ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛАПЛАСА Таблица 1

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

На практике приходится пользоваться ограниченным числом измерений для того, чтобы оценить истинное значение ИВ и точность измерения.

Примечание: mi - число результатов в интервале; Pi - вычисленная вероятность попадания в этот интервал.

При этом ∑ mi = n; Pi = mi / n.

Соответствие полученной кривой закону нормального распределения проверяют по критериям Пирсона и Холмогорова.

Если измерений меньше 15, то принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

Приближенное значение СКО в этом случае определяется по формуле

Значения коэффициента t при числе измерений n от 2 до 20 и заданной доверительной вероятности Р Таблица 2

где: t – коэффициент Стьюдента (табличное значение);

σxˉ - среднее квадратическое отклонение среднего значения Х.

В тех случаях, когда требуется определить доверительную вероятность при заданном t , удобнее пользоваться таблицей 3, стр.156).

Значения функции Стьюдента для интервалов t=2…3,5… при числе измерений n от 2 до 20 Таблица 3

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно