Файл: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (тусур).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.11.2023
Просмотров: 241
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
26
3.2 Математическое моделирование методом конечных элементов
В данной работе разрабатывается модель и проводится испытание прочности на сжатие и растяжение, приводящей к большим смещениям. Для такой задачи механики твёрдого тела необходимо аппроксимировать конструкцию для облегчения решения и получения максимально близкого к реальности результата, в чём может помочь метод конечных элементов (МКЭ)
[29, 36, 37]. В данной главе сосредоточено внимание на том, как он применяется к анализу статических линейно-упругих напряжений, целью анализа обычно является расчёт напряжений, деформаций и смещений.
Дискретизация области
МКЭ подходит к расчётам, разбивая тело на ряд элементов заданного размера, которые соединены друг с другом в узлах, что называется дискретизацией, а совокупность узлов и элементов – сеткой. Дискретизация полезна, так как требование равновесия должно выполняться для конечного числа дискретных элементов, а не непрерывно для всего тела [29, 36, 37].
Можно использовать несколько различных форм элементов.
Поверхностные элементы – это двумерные элементы, которые используются для моделирования тонких поверхностей, они могут быть треугольными или четырёхугольными, твердотельные элементы используются для трехмерных тел, так же есть линейные элементы [29,36,37]. Выбор правильного элемента для модели зависит от конкретного анализируемого сценария и требует определенного опыта. Линейным элементом может быть, например, стержень, который подвергается только осевым нагрузкам, или балка, которая может подвергаться осевым, изгибающим, сдвигающим и скручивающим нагрузкам.
Все это элементы первого порядка, но также можно использовать элементы второго порядка, которые имеют дополнительные узлы посредине и являются более точными.
27
Основные операции с элементами
При необходимости получения результатов компрессионной прочности, приводящей к деформации и напряжению на конструкцию под воздействием приложенной нагрузки, необходимо понимать, что это является вторичными переменными. Для анализа такой величины фундаментальной переменной является смещение в каждом узле сетки.
В каждом элементе необходимо задать вектор {????}, содержащий все возможные перемещения узлов элемента, включая повороты. Если анализировать двумерный случай с балочными элементами, каждый узел может перемещаться по осям X и Y и вращаться вокруг оси Z, поэтому вектор {????} может выглядит так:
{????} =
{
????
1
????
1
????
1
????
2
????
2
????
2
}
(3.1) где ???? – перемещение по оси X;
???? – перемещение по оси Y;
???? – вращение вокруг оси Z.
Каждое из перемещений называется степенью свободы, для балочного элемента есть три степени свободы или всего шесть для балки только с начальным и конечным узлом, в трёхмерном случае степеней свободы шесть на узел, что увеличивает количество ячеек в векторе {????} в два раза. В двумерных элементах каждый узел также имеет три степени свободы в узлах, и поскольку элемент имеет три или четыре узла, степеней свободы у него девять и двенадцать соответственно. Узлы твердотельного элемента имеют три поступательные степени свободы, так как узлы не могут вращаться, и вместо этого вращения элементы фиксируются перемещением узлов по трём осям.
28
Таким образов появляется необходимость рассчитать все смещения в каждом узле сетки. К примеру, для пружины соотношение между силой и смещением определяется законом Гука:
???? = −???????? (3.2) где ???? – жёсткость пружины, определяющая насколько сильно сместится пружина при заданной силе;
???? – абсолютное удлинение стержня.
Точно так же можно думать и об элементах сетки, как об обладающих определенной степенью жесткости, которая противостоит деформации. Таким образом, можно составить уравнение:
{????} = [????]{????} (3.3) где {????} - вектор узловых сил и моментов;
{????} – вектор узловых перемещений;
[????] – матрица жёсткости элемента.
Элемент двумерной балки имеет шесть степеней свободы, поэтому вектор смещений будет иметь шесть строк, а вектор силы и матрица жёсткости, исходя из уравнения 3.3, будет иметь следующий вид:
{
????
????1
????
????1
????
1
????
????2
????
????2
????
2
}
=
[
????
11
????
21
????
31
????
41
????
51
????
61
????
12
????
22
????
32
????
42
????
52
????
62
????
13
????
23
????
33
????
43
????
53
????
63
????
14
????
24
????
34
????
44
????
54
????
64
????
15
????
25
????
35
????
45
????
55
????
65
????
16
????
26
????
36
????
46
????
56
????
66
]
{
????
1
????
1
????
1
????
2
????
2
????
2
}
(3.4)
Матрица жёсткости определяет, насколько каждый узел в элементе сместится при наборе сил и моментов, приложенных к узлам, и поэтому является ключом к вычислению перемещений в каждом узле сетки. Это квадратная матрица, в которой количество строк и столбцов равно количеству степеней
29 свободы элемента, установив равновесие, можно выяснить каковы члены матрицы жёсткости.
Переход от локальной матрицы жёсткости к глобальной
Уравнение 3.4 является системой линейных уравнений, решение которой позволит получить смещение в узлах сетки. Рассматривая пример балки с двумя узлами, можно применить поперечное смещение к одному из узлов, а все остальные степени фиксированы и поэтому равны нулю, тогда можно использовать матрицу жёсткости для расчёта сил и моментов в обоих узлах. При увеличении количества элементов необходимо собрать индивидуальные матрицы жёсткости для всех элементов сетки в глобальную матрицу жёсткости, которая определяет, как будет смещаться вся конструкция при воздействии нагрузок.
Как и матрица жёсткости элемента, глобальная матрица жёсткости представляет собой квадратную матрицу, а количество строк и столбцов равно общему количеству степеней свободы в модели. Матрицы жёсткости элементов собираются вместе, чтобы сформировать глобальную матрицу жёсткости на основе того, как элементы связаны друг с другом [29]. Таким образом глобальная матрица жёсткости разряжена, так как содержит много нулей из-за элементов, которые не взаимодействуют друг с другом, и ленточная, потому что ненулевые члены сгруппированы по диагонали (для линейно-упругих задач матрица будет симметричной) [37].
При соединении элементов в форме треугольника, матрица жесткости изменится, потому что из-за взаимодействия некоторые элементы связываются друг с другом, в такой ситуации элементы больше не привязаны к одной и той же системе координат. Появляется необходимость преобразования матрицы жесткости для каждого элемента, чтобы она соответствовала глобальной системе координат. Этого можно добиться, умножив матрицу жёсткости каждого элемента на матрицу вращения.
30
После объединения матриц жёсткости элементов в глобальную матрицу жёсткости, появляется необходимость решить уравнение 3.3 для получения смещения в каждом узле сетки. Для этого необходимо определить внешние нагрузки и граничные условия. Граничные условия представляют собой известные смещения в определенных узлах, так как определенные степени свободы фиксированы, а вектор силы {????} будет включать в себя приложенную силу и силу реакции на опорах. Исходя из описанного, появляется возможность решить уравнение 3.3, сделать это можно путём инвертирования глобальной матрицы жёсткости и вычислив из полученного уравнения смещение:
{????} = [????]
−1
{????} (3.5)
Но на практике, уравнение 3.5 с инвертированной матрицей не эффективно, потому что это разряженная матрица. Коммерческие решатели в основном используют методы, включающие итеративную аппроксимацию вектора смещения, такие как метод сопряжения градиентов.
При нахождении узловых смещений есть возможность расчёта деформации, а затем и напряжения всей сетки, а типичная сетка конечных элементов может легко иметь сто тысяч степеней свободы, которые невозможно решить вручную, поэтому применение метода конечных элементов (МКЭ) к чему-либо более сложному, чем простая модель, требует использования соответствующего ПО.
31
1 2 3 4
Методы решения дифференциальных уравнений равновесия и
совместимость
Возвращаясь к матрице жёсткости [
????], которая выглядит по-разному для разных типов элементов, для её получения можно использовать несколько различных методов, все они основаны на концепции равновесия:
‒ метод прямой жёсткости (DSM);
‒ вариационный метод;
‒ метод Галёркина.
Метод прямой жёсткости выводит матрицу жёсткости непосредственно из уравнений равновесий, управляемые поведением элементов, которые определяются дифференциальными уравнениями [29]. Дифференциальные уравнения и связанные с ними граничные условия – это то, что называется
“сильной” формой задачи равновесия, но реально решить “сильную” форму можно только для простых элементов. Для более общих случаев можно использовать “слабые” формы, которые описывают дифференциальные уравнения в интегральной форме, вместо прямого решения дифференциальных уравнений, они дают приближенные решения уравнений равновесия, но их легче решить. К методам “слабой” формы относятся вариационный метод и метод
Галёркина.
Вариационный метод основан на вариационном принципе [29,37]. Один из таких принципов, используемый для задач строительной механики, является принцип минимальной потенциальной энергии, в нём говорится, что конфигурация смещения, удовлетворявшая условиям равновесия, минимизирует полную энергию, где потенциальная энергия представляет собой сумму энергии деформации и потенциальной энергии внешних нагрузок. Применяя математический метод, называемый вариационным исчислением, для минимизации полной потенциальной энергии, можно получить приближенное решение уравнения равновесия.
32
Ещё одним методом “слабой” формы является метод взвешенных невязок
Галеркина [37]. В этом методе функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, аппроксимируется как сумма ряда предполагаемых пробных функций, каждая из которых имеет неизвестные коэффициенты. Такое приближенное решение подставляется в дифференциальное уравнение, и получается уравнение для ошибки, называемое невязкой. Если умножить каждую пробную функцию на невязку и прировнять интеграл этого произведения к нулю, можно вычислить неизвестные коэффициенты, минимизирующие невязку
– это даёт приближенное решение дифференциального уравнения.
Независимо от используемого метода, получается матрица жесткости для элемента, но чтобы применять методы, нужно уметь описать, как смещения и другие переменные поля изменяются внутри элемента, а не только в узлах элемента. Для решения такой проблемы элемент должен иметь определенную функцию, которая вычисляет значения внутри элемента путем интерполяции значений в узлах. Функции формы – это всего лишь предположение, обычно выбирают полином, так как они относительно просты и достаточно точны [29].
Таким образом, анализ конструкции методом конечных элементов можно разбить на следующие шаги:
33 1.
Определение проблемы, включая соответствующие свойства материала, нагрузки и граничные условия.
2.
Анализируемое тело разбивается на выбранный тип конечных элементов, соединённых в узлах.
3.
Для каждого элемента определяется матрица жёсткости с использованием одного из трёх методов (метод прямой жёсткости, вариационный метод, метод Галеркина).
4.
Матрицы жёсткости собираются в глобальную матрицу жёсткости на основе связности элементов. Глобальная матрица жёсткости определяет, как конструкция будет реагировать на приложенные нагрузки, и её можно использовать с граничными условиями для расчёта смещения в каждом узле сетки.
5.
Получив смещения, появляется возможность расчёта напряжения, деформации и других интересующих переменных.
6.
В конце остаётся только постобработка для получения желаемых результатов и проверка модели.
Используемое ПО выполняет большую часть тяжёлой работы, а именно шаги с третьего по пятый. Инженер, в свою очередь, отвечает за то, чтобы задача была правильно определена, сетка подходила, а также за интерпретацию и проверку результатов.
Про
ПО конечно-элементного анализа, определение задачи, интерпретацию и проверку результатов, речь пойдёт в последующих главах.
34
3.3 Выбор программного продукта для моделирования
Инженер на производстве занимается разработкой, исследованием, технологией изготовления и эксплуатацией электронных и механических приборов, устройств и систем. Ему приходится заниматься решением задач механики, термодинамики, акустики, электродинамики, электромагнетизма, биоинженерии и др. Создание новой более качественной продукции в короткие сроки требует использования современных компьютерных средств и программных продуктов, позволяющих производить решение задач приборостроения [38].
Существует большое количество различных программных пакетов, которые предназначены для проектирования и разработки объектов производства, для оформления конструкторской и технологической документации. Они объединяются под общим названием САПР (система автоматизированного проектирования), что подразумевает так называемые
CAD/CAM/CAE/PDM-системы [38].
Программные продукты, позволяющие проводить расчёт, анализ и моделирование физических процессов в области механики, термодинамики, акустики, электродинамики, электромагнетизма, биоинженерии и т. п., относятся к CAE (Computer-aided engineering)-системам. Разработано большое количества таких систем для различных областей, поэтому существует проблема выбора программного продукта и оценки его возможностей [38].