Файл: Федеральное агентство связи Федеральное государственное бюджетное.pdf

64
Быстрота убывания определяется величиной β, которую называют коэффициентом затухания.
L
R
2


(6)
Так как
???? есть действительное число и
????
2
не может быть отрицательным, то затухающие колебания имеют место только при условии (см.4):
2
или
,
1 4
или
,
2 2
2 0
2
C
L
R
LC
L
R





(7)
Наконец, постоянные величины
????
0
и
????
0
определяются начальными условиями. Если, например, вначале при разомкнутом контуре конденсатор заряжен (
????
0
- величины заряда), а потом соединен с катушкой и резистором, то начальная фаза колебаний равна нулю, то есть
????
0
=0. На рисунке 2 показаны графики затухающих колебаний в одном электрическом контуре при двух значениях коэффициента затухания. Причем,
????
2
> ????
1
, а величины
????
0
и
????
0
одинаковы. Пунктиром изображена зависимость амплитуды заряда
????
????
от времени. Эта зависимость называется экспоненциальной.
Рис. 2 Графики затухающих колебаний заряда с разными коэффициентами затуханий
Теперь обратим внимание на такие особенности колебательного процесса с затуханием, которые на рисунке заметить нельзя. Для этого найдем уравнение колебаний тока в контуре, приняв уравнение колебаний заряда в виде
????
0
????
−????????
cos ????????
Так как
???? = ????′, то после дифференцирования получим:
].
cos sin
[
0
t
t
e
q
I
t










Записав слагаемое
???? sin ???????? как








2
cos



t
и складывая оба слагаемых выражения в скобках с помощью векторной диаграммы, получим уравнение колебаний тока в виде:
),
cos(
0 0








t
e
q
i
t
(6)

65 где
2 2
0





(см. соотношение 4), а











arctg
есть сдвиг фаз между колебаниями заряда и тока.
Полученный результат приводит к следующим заключениям:
1.
Амплитуда тока в начальный момент времени
????
0
= ????
0
????
0
не зависит от характеристик затухания.
2.
В контурах с малым сопротивлением R и достаточно большой частотой
????
реализуется неравенство:
???? ≪ ????
. Это случай слабого затухания, величина сдвига фаз Ψ стремится к (-
????
2
) . Затухание влияет на частоту
???? только во втором порядке.
Полученная ранее формула (4) позволяет рассчитать относительную разницу величин
????
0
и ???? с помощью соотношения:
2 1
2 0













(7)
В результате при СЛАБОМ ЗАТУХАНИИ уравнения колебаний заряда и тока можно приближенно записать так: sin
,
cos
0 0
0 0
t
e
I
I
t
e
q
q
t
t











(8)
Отметим, что период колебаний
????
0
=
2????
????
0
определяется в этом случае известной формулой Томсона:
LC
T

2

Точное же значение периода затухающих колебаний (в соответствии с формулой (4)) равно
2 2
1 2








L
R
LC
T

(9)
Вернемся еще раз к экспоненциальной зависимости
????
????
= ????
0
????
−????????
, изображенной на рис. 2, чтобы рассказать о других важных характеристиках затухающих колебаний и дать им физическое объяснение.
Непрерывное рассеяние энергии на сопротивлении приводит к тому, что наибольший заряд конденсатора уменьшается с каждым периодом колебаний, именно:
...,
)
(
)
2
(
)
(
)
0
(




NT
q
T
q
T
q
q
m
m
m
m
N - число колебаний. Эти амплитуды колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию. А это означает, что отношение величины каждого максимума
????
????
(????)к последующему ????
????
( t+T) одинаково. Безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения амплитудных значений, отстоящих

66 по времени на период колебания, называется логарифмическим декрементом затухания:
)
(
)
(
ln
T
t
q
t
q
m
m



(10)
С логарифмическим декрементом затухания связана
(обратно пропорциональной зависимостью) еще одна характеристика затухающих колебаний - добротность Q. (Не путать с зарядом q!). В случае слабого затухания добротность определяется следующим образом:
,



Q
(11) то есть, чем меньше затухание, тем больше добротность.
Для того, чтобы выявить смысл характеристик затухания, введем понятие времени релаксации
????.
Это такой промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз (е

2,72- основание натуральных логарифмов).
Заменив t на

в выражении
,
0
t
m
e
q
q




получим
,
1





 e
e
откуда:
1



(12)
То есть коэффициент затухания
????
- это величина, обратная времени релаксации
????.
Связь коэффициента затухания и логарифмического декремента получают из формулы определения последнего (10):


e
ln

T



,
(13) где Т- период колебаний.
В случае слабого затухания можно выразить логарифмический декремент затухания через параметры контура
L
C
R





(14)
В качестве меры затухания можно использовать также число
????
????
- число колебаний, совершающихся в контуре за время, равное времени релаксации
????
При малом затухании время
???? больше периода колебаний. Поэтому имеем: так как
T
N
e
1 1 



, то
e
N
1


(15)
e
N
Q


(16)

67
Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в
???? раз. Добротность же прямо пропорциональная числу ????
????
Исходя из формул (14) и (16), можно получить формулу зависимости добротности от параметров контура при слабом затухании:
C
L
R
Q


1
(17)
Полная картина поведения электрического контура не ограничивается только затухающими колебаниями. В контуре с сильным затуханием (большим сопротивлением R) колебаний заряда нет, есть только монотонное убывание с течением времени. Не будем рассматривать соответствующие решения дифференциального уравнения (2). Заметим только, что специальный случай
«критического затухания» имеет место при сопротивлении R, равном
C
L
R
kp
2

в котором величину
????
кр называют критическим сопротивлением контура.
Эта последняя формула подтверждает общую особенность, выражающуюся в том, что все рассмотренные выше характеристики процессов в колебательном контуре имеют связи с численными значениями параметров контура R, L и С. Исследования, проводимые в этой работе, имеют целью проверить некоторые из них.
3. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Электрическая цепь собрана по схеме, изображенной на рис. 1.
Колебания возбуждаются в контуре благодаря зарядке конденсатора от источника однополупериодного переменного тока с частотой 50 Гц.
Затухающие колебания напряжения
????
с на конденсаторе подаются на клеммы вертикального усиления осциллографа (рис. 3). При этом частоту развертки электрического сигнала осциллографом устанавливают примерно такой же, что и частота зарядки С.
В качестве элементов колебательного контура используются наборы конденсаторов, катушек индуктивности и сопротивлений (резисторов).
Присоединение каждого элемента набора производится с помощью кнопочного выключателя. Для включения элементов R, L, С в цепь контура нужно нажать соответствующие кнопки и зафиксировать их в «утопленном состоянии».
Рис.3 Электрическая схема установки

68
Рис. 4 Затухающие колебания на экране осциллографа
Значения сопротивления R, электроемкости С и индуктивности L для каждого положения кнопочных выключателей составляют отдельную таблицу.
Таблица выдается на рабочее место при выполнении работы. Основные измерения проводятся с помощью осциллографа. Осциллограмма напряжения
????
????
выглядит так, как показано на рис. 4, то есть подобна графику колебаний заряда на конденсаторе на рис. 2
(
????
????
=
????
С
). По горизонтальной оси отложено время t, по вертикальной оси отложено напряжение на конденсаторе U
c
. Время по горизонтальной оси можно рассчитать. Для этого поверх экрана нанесена прямоугольная сетка, калиброванная в единицах времени (мс или мкс). Назовем временную длительность одного квадрата сетки по горизонтали ценой деления развертки и обозначим ее
????. Для более точного измерения каждое деление
«разделено» на доли по 0,2 (это указано на сетке). Тогда время t, в течение которого происходят N колебаний, будет равно t=n

, где n- число квадратов сетки, в пределах которых укладываются эти N колебаний. На рис. 4 видно, что для N=6, то есть для шести периодов Т, число n равно 6,7. Величину
???? отсчитывают непосредственно на панели осциллографа. Отсчёт числа полных колебаний удобно проводить по амплитудным (максимальным) значениям напряжениям. Начало отсчёта «0». На рис. 4 переключатель развертки по горизонтали указывает 0,1. Справа от переключателя нажата кнопка
???????? , значит, цена деления  равна 0,1 мс. Отсчитываем шесть полных колебаний
(N=6). На экране осциллографа время шести колебаний соответствует n=6,7 делениям. Тогда t = n

= 0,67 мс. Время одного колебания, то есть период колебания
???? =
????
????
=
0.67 6
= 0,116 мс.
Важным параметром затухающих колебаний является время релаксации

За это время амплитуда колебания уменьшается в «е» раз (е=2,72 – основание натурального логарифма). Амплитуду напряжения можно измерять в делениях

69
(одно деление – это сторона квадрата сетки на экране осциллографа по вертикали). Цена деления в данном случае для наших рассмотрений не важна.
Важно, чтобы формат изображения был удобен для рассмотрений. На рис. 4 амплитуда напряжения U
m0
= 4 деления. Амплитуда через время релаксации
(
4 2,72
= 1,48) U
m

= 1,48 деления. Осциллограмма показывает, что уменьшение амплитуды в «е» раз произошло за время
???? = ????

???? = 0,1

4,4 = 0,44 мс.

3. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Задание 1
Определить сопротивление
????
????
проводов намотки катушки индуктивности.
1. Включить источники напряжения и осциллограф.
2. Ввести в цепь контура конденсатор с наименьшей электроемкостью С, катушку индуктивности с индуктивностью в пределах L= (50÷150) мГн. Набор сопротивлений оставить выключенным. При этом цепь контура будет замкнутой, а сопротивление равно
????
0
провода намотки включенной катушки индуктивности.
3. Получить на экране осциллографа такую осциллограмму, в которой можно выделить две амплитуды колебаний U
m
, отличающиеся (по вертикальным делениям сетки) в 2,7 раза (число
???? ≈ 2,7). Затем отсчитывают интервал времени

t =

, разделяющий эти две амплитуды. В горизонтальных делениях сетки интервал равен
∆???? = ???? ∙ ???? (???? – цена деления, n - число делений). А по смыслу затухания колебаний - это время релаксации
????. Итак, ???? = ????????.
4. Используя обратную зависимость времени релаксации и коэффициента затухания:
???? =
1
????
и обозначение
2???? =
????
????
в уравнении (2), получим формулу для расчета сопротивления
????
0
:
????
0
= 2
????
????
. Вычисления выполнить в системе единиц СИ.
Задание 2
Исследовать зависимость периода затухающих колебаний от
электроемкости и индуктивности колебательного контура.
1. Подготовить таблицу измерений

70
Таблица 1 Зависимость периода колебаний от электроемкости и индуктивности.
С, нФ
L, мГн
N
n

,
мс/дел
t, мс
T
эксп
,
мс
LC
,
с
Т
теор
,
мс
2. Выполнение этого задания связано с отсчетом по осциллограмме некоторого количества N циклов (или периодов) колебаний. Если это трудно сделать по осциллограмме предыдущего задания, то следует изменить вид осциллограммы так, чтобы она приняла вид, как на рис. 4.
3. Записать значения параметров контура
????
0
, L, С, а также N, n и
????. Вычислить период колебаний по формуле
????
эксп
=
????
????
=
????????
????
4. Повторить измерения пункта 2 не менее 5-ти раз, постепенно увеличивая электроемкость С контура. Параметр L остается постоянным. Все записи величин С, N, n,
???? заносить в одну таблицу 1.
5. При сопротивлении
????
0
затухание колебаний мало. Поэтому для проверки зависимости периода Т от параметров контура следует построить график Т
эксп
как функцию от
√????????, предварительно рассчитав значения √????????.
6. По формуле Томсона рассчитать теоретическое значение периода колебаний:
LC
T
теор

2

7. Построить график зависимости для теоретического значения периода Т
теор
от
√???????? на этих же осях, что и экспериментальный график. Сравнить графики.
Задание 3
Исследовать зависимость логарифмического декремента затухания от
сопротивления контура.
1. Подготовить таблицу измерений (не менее пяти строчек)
Таблица 2. Зависимость логарифмического декремента затухания от сопротивления контура
R
полн
,
Ом
N
U
m0
,
дел
U
mN
,
дел

эксп

теор
Q
эксп
Q
теор

71 2. Установить одно из тех значений L и С, которые использовались в задании 2.
Записать их значения перед таблицей вместе с величиной
????
0 3. Убедиться в том, что изображение графика колебаний симметрично относительно горизонтальной оси. Выбрать две далекие друг от друга амплитуды колебаний
????
????0
и ????
????????
. Отсчитать число циклов колебаний N между ними. Используя деления вертикальной оси сетки, измерить величины амплитуд
????
????0
и ????
????????
. Записать значения в таблицу 2.
4. Увеличить прежнее сопротивление R
0
путем включения наименьшего сопротивления R из набора сопротивлений.
Общее сопротивление R
полное
=R
0
+R записать в таблицу 2. Повторить измерения до 5-ти раз, постепенно увеличивая общее сопротивление и записывая новые значения R
полное
, N,
????
????0
и ????
????????
5. Вычислить для всех значений R
полное
логарифмический декремент затухания по формуле
????
эксп
=
1
????
ℓn
????
????0
????
????????
Данные расчета занести в таблицу 2.
6. Построить график зависимости

эксп
от сопротивления R
полное
.
7. По формуле (14) определить

теор
теоретические значения логарифмического декремента затухания:
L
C
R
полное
теор





8. Построить график

теор
от сопротивления R
полное
для теоретических значений логарифмического декремента затухания на одном листе с экспериментальным графиком. Сравнить графики.
9. Определить экспериментальные (по формуле (11)) и теоретические по формуле (13)) значения добротности. Сравнить их между собой.
10. Сделать выводы по проделанной работе.
4. ПЕРЕЧЕНЬ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
1. Две таблицы.
2. Два графика.
3. Результаты определения сопротивления проводов катушки.
4. Выводы.
5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. За какое время изменения тока в катушке индуктивности передается к сопротивлению контура, если длина соединительного провода равно 0,1 м?

72
Оценить при этом наибольшую возможную частоту колебаний в электрическом контуре.
2. Какие физические законы описывают процессы, протекающие в колебательном контуре?
3. В чем состоит отличие дифференциального уравнения свободных колебаний в реальном (с учетом сопротивления) электрическом контуре от такого же в идеальном контуре?
4. От чего зависит быстрота уменьшения амплитуды напряжения на сопротивлении R контура? Изобразить закономерность графически.
5. Какой промежуток времени колебаний называется временем релаксации?
Зависит ли время релаксации от сопротивления контура?
6. Какая закономерность затухающих колебаний выражается с помощью логарифмического декремента затухания? Каков физический смысл этой величины
?????
7. Какова зависимость добротности электрического контура Q от параметров
R, L, С?
8. Какие формулы подтверждают зависимость: а) Т от
√????????, б) ???? от ?????
Согласуются ли они с графиками, полученными опытным путем? (подумать над этим пунктом)
6. ЗАДАЧИ
(нумерация задач: первая цифра- номер бригады, вторая цифра- номер задачи)
1.1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 444 пФ и катушки с индуктивностью 4 мГн. На какую длину волны настроен контур?
(2511 м).
1.2. Напряжение на обкладках конденсатора в колебательном контуре меняется по закону U = 10cos(10
4
t) (В). Емкость конденсатора 10 мкФ. Найти индуктивность контура и закон изменения силы тока в нем. (10

3
Гн;

sin10
4
t
(А)).
2.1. На какой диапазон длин волн можно настроить колебательный контур, если его индуктивность 4 мГн, а емкость может меняться от 34 пФ до 266 пФ? (от
695м до 1943 м).
2.2. Сила тока в колебательном контуре изменяется по закону I=0,1 sin10
3
t (А).
Индуктивность контура 0,01 Гн. Найти закон изменения напряжения на конденсаторе и его емкость. (

cos 10
3
t (В); 10

4
Ф).
3.1. Конденсатору емкостью 4 мкФ сообщают заряд 10 мкКл, после чего он замыкается на катушку с индуктивностью 10 мГн. Чему равна максимальная сила тока в катушке? (50 мА).