Файл: Целые и рациональные числа.docx

Математика 10 класс Дата ___________

Тема: ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Цели:

1) уметь записывать бесконечную десятичную дробь в виде обыкновенной, уметь выполнять действия с десятич­ными и обыкновенными дробями.

2) Развивать мышление, умение анализировать и делать выводы.

3) Воспитывать чувство коллективизма, умение работать в парах.

Ход урока

1. 
   Организационный момент.
   

Проверка домашнего задания

2. 
   Теоретическая часть.
   

1. 
   Первоначально под числом понимали лишь натуральные чис­ла, которых достаточно для счета отдельных предметов.
   

Множество N = {1; 2; 3; ...} натуральных чисел замкнуто от­носительно операций сложения и умножения.

Это значит, что сумма и произведение натуральных чисел явля­ются числами натуральными.

2. 
   Однако разность двух натуральных чисел уже не всегда явля­ется натуральным числом.
   

Приведите примеры.

(5- 5 = 0; 5-7 = -2, числа 0 и -2 не являются натуральными.)

Так, результат вычитания двух одинаковых натуральных чисел приводит к понятию нуля и введению множества целых неотри­цательных чисел Х_о = {0; 1; 2;...},

Чтобы сделать выполнимой операцию вычитания, вводят отри­цательные целые числа, то есть числа, противоположные натураль­ным. Таким образом получают множество целых чисел.

X = {...-3; -2; -1; 0; 1; 2; ...}.

3. 
   Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое число, не равное нулю, необходимо к множеству всех целых чи­сел присоединить множество всех положительных и отрицатель­ных дробей. В результате получается множество рациональ­ных чисел.
   

При выполнении четырех арифметических действий (кроме де­ления на нуль) над рациональными числами всегда получаются ра­циональные числа.

1. 
   Каждое рациональное число можно представить в виде беско­нечной периодической десятичной дроби.
   

Вспомним, что такое периодическая дробь. Это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр - пери­од дроби. Например, 0,3333... = 0,(3) 1,057373... = 1,05(73).

Читаются эти дроби так: «0 целых и 3 в периоде», «1 целая, 5 сотых и 73 в периоде».

Запишем рациональные числа в виде бесконечной периодиче­ской десятичной дроби:

---

натуральное число 25 = 25,00... = 25,(0);

целое число -7 = -7,00... = -7,(0);

обыкновенная дробь = -2,300... = -2,3(0);

& = 1,533... = 1,5(3).

2. 
   Воспользуемся алгоритмом деления уголком:
   

Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби —, где ш - целое п



Нужно умножить дробь на 10^п, где п - количество десятичных знаков, содержащихся в записи этой дроби до периода: х-10^п.

Умножаем на 10^к, где к - количест­во цифр в периоде.

х-10^п 10^к = х-10^п+к.

Отнимем от равенства (2) равенство (1), решим полученное уравнение.
число, п - натуральное число. Рассмотрим в качестве примера задачу 2 из параграфа учебника и составим алгоритм.Пусть х = 0,2(18). Умно­жая на 10, получаем

10х = 2,1818...

Умножая обе части по­следнего равенства на 100, находим 1000х = 218,1818...

Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 990х = 216.

Ш. Практическая часть.

№ 1(1)-на доске.

№1(3)-под диктовку. (Все учащиеся выполняют задание в тетрадях, один ученик проговаривает вслух решение.)

№ 1(5)-самостоятельно. (Учащиеся выполняют задание в тетрадях. Выполнив задание, ученик поднимает руку. Дождавшись, когда весь класс или его большая часть справится с заданием, про­веряем решение. Либо учитель опрашивает нескольких учеников, либо один ученик сообщает ответ и выясняем, нет ли другого отве­та, либо учитель сам сообщает верный ответ. Желательно исполь­зовать сигнальные карточки - карточки с одной стороны зеленого цвета, с другой - красного. Каждый ученик имеет такую карточку, если он согласен с прозвучавшим ответом, то показывает учителю зеленую сторону карточки, если не согласен - красную.)

№ 2(1)

№ 2(3) № 2(5)

№ 3(6)

№4

№ 5(1) Домашнее задание: № 1 (2, 4, 6), № 2 (2, 4, 6), № 3 (2, 4), № 5 (2).

4. 
   Итог урока: по вопросам.
   

1. 
   Множества каких чисел вы знаете? {Натуральные, целые, ра­циональные). Приведите примеры.
   
2. 
   Что такое периодическая дробь? Как записать ее в виде обык­новенной?
   

Математика 10 класс Дата ___________

Тема: ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Цели:

---

1) уметь выполнять вычисления с иррациональными выражениями, сравнивать число­вые значения иррациональных выражений.

2) Развивать практические умения и навыки учащихся.

3) Воспитывать положительную мотивацию к изучаемому предмету
Ход урока

1. 
   Организационный момент.
   

Проверка домашнего задания

2. 
   Теоретическая часть.
   

Необходимость дальнейшего расширения множества чисел связана в основном с двумя причинами. Во-первых, рациональных чисел недостаточно для выражения результатов измерений (напри­мер, нельзя выразить рациональным числом длину диагонали квад­рата со стороной 1). Во-вторых, такие числовые выражения, как 73 , 1/5,8Ш 1°ит. д., не являются рациональными числами.

Объединение множества рациональных чисел и множества ир­рациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических дробей) дает множество К действительных чисел.

Действительным числом называется бесконечная десятич­ная дробь, то есть дробь вида

+ао,а]а2а₃ ... или-ао^агаз...,

где ао - целое неотрицательное число, а каждая из букв а1,а₂,а₃ ... - это одна из десяти цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Например, 72 = 1,4142135...

7з= 1,7320508....

Вычислим сумму

с точностью до единицы:

72+73= 1,4+ 1, 7 = 3,1 = 3;

с точностью до десятой:

72+7з = 1,41 + 1,73 = 3,14 = 3,1;

с точностью до сотой:

72 + 73 = 1,414+ 1,732 = 3,146 = 3,15 и т.д.

Числа 3; 3,1; 3,15 и т. д. являются последовательными прибли­жениями значения суммы 72 + 7з.

Пусть X], Хг, ..., х_п, ... - последовательные приближения дейст­вительного числа х с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т. д. Тогда погрешность приближения | х - х_п | как угодно близко приближа­ется к нулю.

| х - х_п | —> 0 при п —> 00

или Нт | х - х_п I =0

(Читается: «| х - х_п I стремится к нулю при и, стремящемся к бес­конечности» или «предел | х - х_п I при п, стремящемся к бесконеч­ности, равен нулю».)

То есть, х_п —> х при п —> со

или Нт х_п = х

Все основные действия над рациональными числами сохра­няются и

1. 
   для действительных чисел (переместительный, сочета­тельный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т. д.).
   
2. 
   Модуль действительного числа х обозначается | х | и опреде­ляется так же, как и модуль рационального числа:
   

---

'х, если х > 0,



.-х, если х < 0.

3. 
   Практическая часть.
   

№6.

№ 8

№9(1,3,5)

№10(1)

№ 10 (2)

№10(3)

№10 (4)

№ 11(1)

№12

IV Домашнее задание: № 9 (2, 4, 6), № 11 (2), № 93.

V Итог урока. Провести самоанализ (Чему я научился на этом уроке: Что нового узнал?)

Математика 10 класс Дата ___________

Тема: БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Цели:

1) Знать, какая прогрессия называется геометрической, что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,

2) Развивать практические умения и навыки учащихся.

3) Воспитывать чувство коллективизма, умение работать в парах

Ход урока

I. Организационный момент

Проверка домашнего задания

II. Теоретическая часть.



Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов  образующих геометрическую прогрессию со знаменателем  .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,



Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.



Например, последовательность площадей квадратов:

---

. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

 при  .

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.



То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Определение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.  .

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Задача

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

;  .

Решение:

. Найдем q.

---