Файл: Целые и рациональные числа.docx

$ADC \ )

теореме об отношениях площадей подобных треугольников). - ^ • = — (по свойству средней линии треугольника)—^^==1 — 1 , 4Smpn = 48, Smpn = 48 :4 = 12 (см2). (Ответ: 12 см2.)

5. 
   Подведение итогов (в форме текста)
   

1. Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?

2. Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?

3. Плоскости а и р параллельны, прямая т лежит в плоскости а. Вер­ но ли, что прямая т параллельна плоскости р?

4. Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллель­ ных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет только одну общую точку?

5. Боковые стороны трапеции параллельны плоскости а й плоскости трапеции?

6. Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в од­ ной плоскости, параллельна другой плоскости?

7. Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна од­ ной из этих плоскостей? 8. Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?

9. Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоско­сти а, то и третья сторона параллельна плоскости а?

Домашнее задание

П. 10, №55, 56, 57.
Математика 10 класс Урок №24 Дата ___________

---

Тема: Параллельные плоскости

Цели:

1) Рассмотреть свойства параллельных плоскостей;

2) Сформировать навык применения изученных свойств параллельных плоскостей при решении задач.

3) Средствами урока воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества личности, умение работать в коллективе.

Ход урока

1. 
   Организационный момент
   
2. 
   Актуализация опорных знаний учащихся
   

Теоретический опрос

а) Один ученик готовит у доски доказательство признака параллельно­ сти двух плоскостей. б) Д ругой записывает на доске решение до­ машней задачи № 55. в) Двое учащихся решают по карточкам ин- диивидуального опроса. 1. Плоскости а и р параллельны, прямая т параллельна плоскости р.

Дано\ а || р, т с: а (рис. 1).

Доказать', что т || р.

Решение’.

1) Пусть т не параллельна р. т п р = К, К € р.

. к^р

2) £ е а Получили противоречие условию а || р. Сле- => а п р . дО вательнО 5 т у р цт о и требовалось доказать. т.к. т е а

2 . Две стороны треугольника параллельны плоскости а. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости а.

Дано’. &АВС, АВ || а, ВС || а. (рис. 2).

Доказать’. АС || а.

Решение'. Если две пересекающиеся прямые плоскости АВС параллельны плоскости а, то (АВС) || а. Так как AC cz (АВС), а (АВС) || а, то АС || а. Что и требовалось доказать.

г) Фронтальный теоретический опрос

- сформулируйте определение параллельных плоскостей; - укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки; - сформулируйте признак параллельности плоскостей.

Выслушивается доказательство теоремы и решение задачи № 55.

3. 
   Изучение нового материала
   

1. Рассмотреть свойства параллельных плос­ костей. 1. Дано: а || р, у п а = а, у п р = b (рис. 3).

Доказать: а || Ь.

Доказательство: Предположим, что а п Ь.

Тогда а и р имели бы общую точку, что невоз­ можно, так как а || р по условию. Итак, а и b лежат в одной плоскости у и не пересекаются.

Значит, а || Ь. Свойство доказано.

2. Дано'. АВ || CD, а || р (рис. 4).

Доказать'. АВ = CD.

Доказательство:

71

у п а .у п р а|1Р => по свойству 1° АС || BD.

2) В четырехугольнике ABCD

AC\\BD

AB\\CD

=> ABCD- параллелограмм

В параллелограмме противоположные сто­ роны равны. Значит, АВ = CD. Что и требова­ лось доказать.

4. 
   Закрепление изученного материала
   

1 . Решение задачи 58

Дано: а || р, а пересекается с у (рис. 5).

Доказать, что р пересекается с у.

Решение: Пусть у пересекает а по прямой а.

Проведем в плоскости у прямую Ь, пересекаю­ щую а. Прямая b пересекает а, поэтому она пересекает параллельную ей плоскость р (зада­ ча № 55). Следовательно, и плоскость у, в кото­ рой лежит прямая Ь, пересекает плоскость р.

2. Задача 636 Дано: а ||р , /ВАС. ar>AB=Alt рг^А В

А 2,

а п АС=Вь р n АС=В2, А\В\ = 18 см, ААi = 24 см, 3

АА2 - — А\А2 (рис. 6).

Найти: А2В2, АА2.

Решение: 1. (ВАС)су<1=А\В\, (ВАС) п р = А2В2. Так

как а || р, по свойству 1° параллельных плоскостей А \В\ || А2В2. 2. В (ВАС) ДА1АВ 4А2АВ2 (по двум углам: /А — общий, = /А А 2В2 как соот- ветственные при параллельных прямых AjBi и А2В2 и секущей АВ). Из подобия треугольников следует, что

=

АА2=АА1+А,А2 = 24 + А}А2,24+А1А2= 1 а ,А2, — А,А2 = АА, А,В, 2 2

A D

= 24, А ,А2 = 24 • 2 = 48 (см); АА2 = 48 + 24 = 72 (см); , „ 7218 с л , х

А2В2 = 24 = 54 СМ '

(Ответ: 54 см = А2В2, АА2 = 72 см.)

5. 
   Самостоятельная работа
   

(см. приложение)

6. 
   Подведение итогов
   

Домашнее задание

П. 11 № 59, 63а, 64.
Математика 10 класс Урок №25 Дата ___________

Тема: Тетраэдр

Цели:

1) Повторит понятие многоугольника в планиметрии

2) Ввести понятие тетраэдра;

3) Рассмотреть задачи, связанные с тетраэдром.

Ход урока

1. 
   Организационный момент
   
2. 
   Актуализация опорных знаний учащихся
   

I) Один ученик записывает на доске решение домашней задачи № 63 а.

Д ано', а || р, ЛАВС,А} = а n АВ, А2 = р п АВ, Bi = а п АС, В2 Р п АС;

AjA2 = 2AiAt AjA2 = 12 см, ABi = 5 см. (рис. 1).

Найти: АА2, АВ2.

Решение:

1. AiBi ЦА2В2 (по свойству 1° параллельных плоскостей).

2. ЛА2АВ2 ооЛА7АВу, = АА2 АВ2

3. Так как А/А2 = 2 AjA и А {А2 = 12 см, то А}А = 1 2 :2 = 6 см. 4. АА2 = 12 + 6 = 18 см. 5.

АХА АВХ 6 _ 5

АА2 АВ2 18 АВ2

АВ2 =15 см.

(Ответ: АА2 = 18см, АВ2 = 15 см.) 2) Двое решают по карточкам индивидуального опроса.

I. Отрезки АВ, АС и AD не лежат в одной плоскости. Точки К, M a N - соответственно их середины. а) Докажите, что плоскости BCD и KMN параллельны. б) Найдите площадь &ВСД, если = 36 м2.

(Ответ: SBcd = 144 м2.)

II. Три прямые, проходящие через точку М и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А }, В и С, а вторую - в точках Л/, В} и Ch

а) Докажите, что ABC &A}B]Ci.

---

б) Найти , если МС = СС/.

4В,

(Ответ: -j.)

3) Остальные отвечают на вопросы (устно).

1) Каково взаимное расположение двух плоскостей, если третья плоскость пересекает их по прямым: а) имеющим общую точ­ ку; б) не имеющим общих точек?

2) Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Мо­гут ли эти стороны быть ее боковыми сторонами?

3) Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если эти прямые пересекают две параллельные плоскости, и их от­ резки, заключенные между плоскостями, не равны?

4) Две плоскости пересечены двумя параллельными прямыми. Выяс­ните взаимное расположение этих плоскостей, если отрезки данных прямых, заключенные между этими плоскостями, не равны.

5) Прямая а пересекает параллельные плоскости а и р в точках А и В. Прямая Ь, параллельная прямой а, пересекает плоскости в точках D и С. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если АВ = 3 см, ВС = 4 см.

6) Плоскости а и р параллельны, прямая т лежит в плоскости а.

Докажите, что прямая т параллельна плоскости р.

3. 
   Изучение нового материала
   

И спользовать модели нескольких тетраэдров, а также гибкую модель из картона и ниток (рис. 2).

1) Одна из глав нашего курса будет посвя­щена многогранникам - поверхностям геомет­рических тел, составленных из многоугольни­ков. Познакомимся с одним из них сегодня на уроке - тетраэдром. Это даст нам возмож­ ность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоско­ стей на примере геометрических тел.

Вспомним, прежде всего, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. (Ответы).


Учитель обобщает ответы учащихся: многоугольник мы рассматривали

либо как замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрез­

ков (рис. 3), либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, вклю­ чая ее саму (рис. 4).

При рассмотрении поверхностей и тел в пространстве будем пользоваться вторым толкованием многоугольника.

При таком толковании любой много­ угольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

2) Определение тетраэдра. Построим ДЛВС; точка D, не лежащая в плоскости этого треугольника. Соединив точку

---

D отрезками с вершинами АЛ ВС, получим ADAB, &DBC, &DCA, получим тетраэдр.

И так, поверхность, составленная из четырех треугольников ДАВС, ДРАВ, &DBC и ДЛСА, на­ зывается тетраэдром и обозначается: DABC.

Тетраэдр, то есть четырехгранник («тетра» - че­ тыре, «эдр» - грань). (Показ моделей тетраэдров.) 3) Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны - ребрами, а вер­

шины - вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет

четыре грани, шесть ребер и четыре вершины.

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вер­ шин, называются противоположными.

На рис. 34

учебника AD и ВС, BD и AC, CD и АВ.

Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие - боковы­

ми гранями. 4) Изображение тетраэдра на плоскости

(рис. 5).

4. 
   Закрепление изученного материала
   

1) №68 (устно) по готовому чертежу (рис. 6).

2) №69. Дано'. SABC - тетраэдр, МА = МВ, BN=NC, М е а, N е а, ВС || а, а n (ABS) = РМ, ar\(BC S) = KN(pиc. 7).

Доказать'. РМЦ KN.

BS а (BCS)

В5|| а, (B C S n a = O f ) свойству 1°).

BS cz (ABS) ВВЦ а, (A B Sna = PM)

свойству 1°).

BS || KN, BS || РМ, KN || РМ (по теореме о

параллельности трех прямых).

3) № 716. Дано'. DABC - тетраэдр, М е DB, N<= DC, К е ВС (рис. 8).

Построить’, точку М\.

Условие’.

MX=KN r\{FBD).

1. =>BS\\KM (по

Решение:

1. NK^(DBC),DB<^(DBC).

2. NK не может быть параллельна прямой DB. Так как NK || (ADB) (по признаку) - это противоречит условию NK n DB.

3 . DB cz (ADB), то NK n (ADB) = Mi.

4) Ns 73. Дано\ DABC - тетраэдр, М^АВ, N&BC, Л \ Ре CD, K eA D ; МА=МВ, NB=NC, PC = PD,

/ \ AC = 10 см, BD = 12 см, АК = KD (рис. 9).

Доказать*. К е. (MNPНайти'. Pmnpk-

Решение'.

(MNP) n (ABC) = MN, MN - средняя линия

M BC => MN || AC.

Q Puc. 9 '

2. MN\\(ACD) (по признаку параллельности прямой и плоскости), MN проходит через (MNP), (MNP) || (ACD).

Значит, линия пересечения (MNP) и (A CD) параллельна MN. 3. Пусть эта линия пересекается с ребром AD в точке К. Так как РК || MN и MN || АС, то РК || АС, а так как

---

Р - середина AD, то РК - средняя линия ДЛС£>, то есть К - середина AD.

4. MN= КР=^АС = 5 см; NP= M K=^BD = 6 cm; Р = 2- (5 + 6) = 22см.

(Ответ: 22 см.)

5. 
   Подведение итогов
   

Домашнее задание

П. 12,1 уровень: № 67(a), 70; II уровень: № 67, 71(a).

Математика 10 класс Урок №25 Дата ___________

Тема: Тетраэдр

Цели:

1) Cформировать представление о геометрическом теле­ ­– тетраэдре;

2) Gознакомить учащихся с основными элементами и способами заданий тетраэдра, а также его использование при решении задач;

3)

Ход урока

1. 
   Организационный момент
   
2. 
   Актуализация опорных знаний учащихся
   
3. 
   Изучение нового материала
   

Использовать модели нескольких тетраэдров, а также гибкую модель из картона и ниток (рис.

1) Одна из глав нашего курса будет посвящена многогранникам - поверхностям геометрических тел, составленных из многоугольников. Познакомимся с одним из них сегодня на уроке - тетраэдром. Это даст нам возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей на примере геометрических тел.

Вспомним, прежде всего, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. (Ответы).

Учитель обобщает ответы учащихся: многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 3), либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 4).

При рассмотрении поверхностей и тел в пространстве будем пользоваться вторым толкованием многоугольника. При. таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

2) Определение тетраэдра. Построим ΔАВС; точка D, не лежащая в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами ΔABC, получим ΔDAB, ΔDBC, ΔDCA, получим тетраэдр.

Итак, поверхность, составленная из четырех треугольников ΔABC, ΔDAB, ΔDBC и ΔDCA, называется тетраэдром и обозначается: DABC.

Тетраэдр, то есть четырехгранник («тетра» - четыре, «эдр» - грань). (Показ моделей тетраэдров.)

3) Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре грани

---