Файл: Целые и рациональные числа.docx

;  ;  ;  .

данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: 

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.  

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна  .

Если n неограниченно возрастает, то 

или  . Поэтому  , т.е.  .
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S₁, S₂, S₃, …, S_n, … .

Например, для прогрессии  ,

имеем 

---

 Так как 

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле  .

III. Практическая часть.

№ 16

№ 16 (3)-устно.

№16(4)

№ 17 (1, 3, 4)

№ 20 (3)

№21 (1)

№21 (3)

№22(1)

IV. Подведение итогов.

С какой последовательностью сегодня познакомились?

Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?

Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Домашнее задание: № 16 (2), № 17 (2), № 21 (2,), № 22 (2), № 23 (2).

Математика 10 класс Дата ___________

Тема: БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Цели:

1) знать форму­лу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, уметь применять эту формулу при решении задач, в частности при записи бесконечной периодической десятичной дроби в виде обыкновенной.

2) Развивать мышление, умение анализировать и делать выводы

3) Воспитывать чувство коллективизма, умение работать в парах

Ход урока
I. Организационный момент.

Проверка домашнего задания

II. Практическая часть.

Работа организована индивидуально у доски и в тетрадях с дифференцированной степенью самостоятельности. Критерием достижения положительного результата этапа является знание всеми учащимися алгоритма нахождения суммы БУГП. Коррекция осуществляется с помощью взаимопроверки. Используются упражнения

18(1,2) Найти сумму БУГП:

1.   Ответ:

2. 

---

, Ответ: 

а также упражнения из дидактических материалов по алгебре и началам анализа Б.Г.Зива и В.А. Гольдича, с/р №2, упражнения 1 из вариантов 1 и 2.

Найти сумму БУГП:

1.   Ответ: 40,5

2.   Ответ: 32.

Желающим, справившимся с общим заданием раньше других, предлагается обратная задача:

Известна сумма БУГП и второй член прогрессии. Нужно найти первый член прогрессии и знаменатель:

дано:  =-0,5; S=1,6;

найти q и  .

За самостоятельное решение этой задачи выставляется отдельная оценка.

5 этап. Первичное обобщение и включение нового знания в систему субъектного опыта учащихся.

Установление содержательных взаимосвязей БУГП с линиями уравнений и действительных чисел.

Фронтально решается задача распознавания БГУП. С помощью этой задачи, с одной стороны, осуществляется диагностика достижения положительного результата предыдущих этапов урока, с другой стороны, полученные результаты позволяют осуществить содержательные взаимосвязи по выше указанным линиям.

Из предложенных последовательностей выбрать БУГП:

1)  =3; q=2.

2)  =-4; q= .

3) 4;2;1; и т.д.;

4) =1; q=x; x>2;

5) = ; q= .

6) 

---

= ; q= .

7)  = ; q=

8)  =1; q=x; ¦x¦<1.

Таковыми являются 2); 3); 5); 6); 7) и 8).

Сначала найдём сумму БУГП из задания 8). Для этого запишем сумму членов прогрессии и воспользуемся формулой суммы БУГП. Получим:

1+ + + …+ + …=  .

Установление содержательных взаимосвязей БУГП с линией уравнений

Сравните полученный результат с уравнением и воспользуйтесь при его решении полученным результатом:

Уравнение 1)  ; ¦x¦<1.

Заметим, что если к обеим частям равенства прибавить 1, то можно воспользоваться полученным выше результатом:



.

Итак, мы получили дробное рациональное уравнение, алгоритм решения которого известен школьникам.

Уравнение 2) 2  + 1 +  -   + 

---

 -   + …= 

¦x¦<1.

Решение уравнения 1) проводится учеником на доске, уравнение 2 предлагается для самостоятельной работы дома.

Делается весьма неожиданный вывод о том, что сумма БГУП даёт возможность решения некоторых уравнений, имеющих бесконечное число членов.

Таким образом, удаётся установить содержательную связь БУГП с линией уравнений.

Установление содержательных взаимосвязей БУГП с линией действительных чисел.

К доске приглашаются 3 ученика для решения задач 1-3.

1) = ; q= .

Сначала находим сумму БУГП по формуле

S= = .

Затем попытаемся осмыслить, что представляет собой сумма членов этой прогрессии, если её члены записать в виде десятичных дробей:

0,3+0,03+0,003+….=0,3333…=0,(3).

Таким образом, видим, что с помощью формулы суммы БУГП можно осуществлять переход от записи действительного числа в виде бесконечной периодической дроби к записи в виде обыкновенной дроби.

2)  = ; q= .

Эта задача носит дублирующий характер и используется для создания условий лучшего осмысления сформулированного вывода.

3)  =

---