Файл: Учебное пособие СанктПетербург 2016.pdf

Числа B
k определяются с помощью начального условия, и в итоге c
k
(t) =
q k
a
2
λ
k

1 − e
−a
2
λ
k t

Используя выражения для чисел q k
и учитывая равенство λ
k
=

γ
k
R

2
,
получим c
k
(t) =
2QhR
J
0
(
γ
k
)(
γ
2
k
+ h
2
R
2
)

R
a
γ
k

2

1 − e
−
(
aγk
R
)
2
t

Функцию v(
ρ
, t) представим в виде ряда v(
ρ
, t) =
2QhR
3
a
2
+∞
X
k=1 1
γ
2
k
J
0
(
γ
k
)(
γ
2
k
+ h
2
R
2
)

1 − e
−
(
aγk
R
)
2
t

J
0

γ
k
ρ
R

3. Решение поставленной краевой задачи представляется в виде u(
ρ
, t) = T
0
+
2QhR
3
a
2
+∞
X
k=1 1
γ
2
k
J
0
(
γ
k
)(
γ
2
k
+ h
2
R
2
)

1 − e
−
(
aγk
R
)
2
t

J
0

γ
k
ρ
R

2.4. Принцип максимума
Рассмотрим функцию u(x, t), определенную и непрерывную в об- ласти 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T , удовлетворяющую однородному уравнению теплопроводности
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
(0 < x < l,
0 < t ≤ T ).
Утверждение 2.1. Функция u(x, t) достигает своих максимального и минимального значений или в начальный момент времени (при t =
= 0), или в граничных точках (при x = 0 или x = l).
Это свойство функции u(x, t) называется принципом максимального
(минимального) значения или принципом максимума (минимума).
Физический смысл сформулированной теоремы очевиден. При отсут- ствии внутри тела источников тепла происходит лишь его перераспределе- ние: тепло перетекает от более нагретых участков тела к менее нагретым.
В связи с этим температура во внутренних точках не может превосходить температуру на границе, если нагрев тела происходит через граничные точ- ки, или начальную температуру тела, если оно не нагревается.
Докажем эту теорему.
Доказательство. 1. Если u(x, t) ≡ const, то теорема очевидна.
59

2. Предположим, что u(x, t) 6≡ const. Для определенности будем дока- зывать теорему для наибольшего значения. Для доказательства применим метод “от противного”. Пусть M – наибольшее значение, которое прини- мает функция u(x, t) на границе области (т. е. при t = 0, x = 0, x = l).
Допустим, что во внутренних точках области функция u(x, t) может при- нимать значения, большие чем M . Пусть (x
0
, t
0
) – это точка, в которой u(x, t) достигает своего максимального значения, равного M +
ε
(
ε
> 0),
причем 0 < x
0
< l, 0 < t
0
≤ T . Так как (x
0
, t
0
) – точка максимума функции u(x, t),



















∂u(x
0
, t
0
)
∂x
= 0,







∂u(x
0
, t
0
)
∂t
= 0,
t
0
< T,
∂u(x
0
, t
0
)
∂t
≥ 0,
t
0
= T,
∂
2
u(x
0
, t
0
)
∂x
2
≤ 0.
(2.15)
Функция u(x, t) удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности.
Сравним знаки правой и левой частей уравнения теплопроводности в точ- ке (x
0
, t
0
). Согласно неравенствам (2.15) правая и левая части могут од- новременно быть равны нулю. Противоречие в точке (x
0
, t
0
) не получе- но. Покажем, что внутри области найдется такая точка (x
1
, t
1
), в которой
∂
2
u(x
1
, t
1
)
∂x
2
≤ 0 и
∂u(x
1
, t
1
)
∂t
> 0.
Рассмотрим вспомогательную функцию v(x, t) = u(x, t) +
ε
2
t
0
− t
T
Очевидно, что в точке (x
0
, t
0
)
v(x
0
, t
0
) = u(x
0
, t
0
) = M +
ε
,
а на границе (при t = 0, x = 0, x = l)
v(x, t) ≤ M +
ε
2
(2.16)
Функция v(x, t) непрерывна, поэтому в некоторой точке она достигает свое- го максимального значения. Пусть это значение достигается в точке (x
1
, t
1
):
v(x
1
, t
1
) ≥ v(x
0
, t
0
) = M +
ε
При этом 0 < x
1
< l, 0 < t
1
≤ T . Точка (x
1
, t
1
) не может лежать на границе,
так как для граничных точек выполняется условие (2.16). Поскольку точка
60

(x
1
, t
1
) – это точка максимума функции v(x, t), то



















∂v(x
1
, t
1
)
∂x
= 0,







∂v(x
1
, t
1
)
∂t
= 0,
t
1
< T,
∂v(x
1
, t
1
)
∂t
≥ 0,
t
1
= T,
∂
2
v(x
1
, t
1
)
∂x
2
≤ 0.
Так как
∂
2
u
∂x
2
=
∂
2
v
∂x
2
и
∂u
∂t
=
∂v
∂t
+
ε
2T
, то в точке (x
1
, t
1
) получим неравенства
∂
2
u(x
1
, t
1
)
∂x
2
≤ 0,
∂u(x
1
, t
1
)
∂t
=
∂v(x
1
, t
1
)
∂t
+
ε
2T
≥
ε
2T
> 0.
Таким образом, в точке (x
1
, t
1
) функция u(x, t) не удовлетворяет урав- нению теплопроводности. Получено противоречие, а значит, теорема дока- зана.
Следствием принципа максимума (минимума) является теорема един- ственности. Докажем ее для первой краевой задачи.
Утверждение 2.2. Решение начально-краевой задачи
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ f (x, t),
0 < x < l,
t > 0,
u(x, 0) = g(x),
u(0, t) =
ϕ
(t),
u(l, t) = Ψ(t)
единственно.
Доказательство. Пусть есть 2 решения задачи u
1
(x, t) и u
2
(x, t). Рас- смотрим функцию v(x, t) = u
1
(x, t) − u
2
(x, t). Эта функция определена и непрерывна при 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T и удовлетворяет однородному уравне- нию теплопроводности, а значит, согласно принципу максимума, достигает своего максимального значения на границе области, т. е. при t = 0, x = 0,
x = l. Используя начальное и краевые условия, получим для функции v(x, t):
v(x, 0) = 0,
v(0, t) = 0,
v(l, t) = 0.
Следовательно, v(x, t) ≡ 0, а значит,
u
1
(x, t) ≡ u
2
(x, t).
61

2.5. Решение уравнения теплопроводности для бесконечного однородного стержня
Рассмотрим бесконечный однородный стержень с теплоизолированной боковой поверхностью. Ось 0x направим вдоль оси стержня. Если внутри стержня отсутствуют источники тепла, то функция u(x, t), описывающая распространение температуры в стержне, будет удовлетворять уравнению теплопроводности
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
(−∞ < x < +∞,
t > 0).
(2.17)
Поставим следующую задачу: зная распределение температуры в началь- ный момент времени u(x, 0) = f (x), найти температуру точек стержня u(x, t) для любого t > 0.
Из физических соображений можно предположить, что в бесконечно удаленных точках температура стержня ограничена. Относительно функ- ции f (x) предположим, что для нее выполняется условие
+∞
Z
−∞
|f (x)|dx < +∞.
(2.18)
Частные решения уравнения теплопроводности будем искать в виде про- изведения u(x, t) = X(x)T (t),
где X(x) – функция только переменной x; T (t) – функция только перемен- ной t. Подставляя это произведение в уравнение, получим
X(x)T
0
(t) = a
2
X
00
(x)T (t),
или, разделив переменные,
T
0
(t)
a
2
T (t)
=
X
00
(x)
X(x)
Левая часть зависит лишь от t, а правая – только от x. Такое равенство может выполняться только тогда, когда
T
0
(t)
a
2
T (t)
=
X
00
(x)
X(x)
= const .
Обозначив эту постоянную ±
µ
2
, получим систему уравнений
(
T
0
(t) = ±
µ
2
t,
X
00
(x) = ±
µ
2
X(x).
62

Решением первого дифференциального уравнения будет функция
T (t) = C(
µ
)e
±a
2
µ
2
t
Если в показателе степени экспоненты оставить знак плюс, то получится функция, которая будет неограниченно расти при увеличении t. Поэтому в полученном равенстве следует оставить только знак минус (т. е. выбранная постоянная равна (−
µ
2
)). Тогда для функции X(x) получится уравнение
X
00
(x) = −
µ
2
X(x).
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
X(x) = C
1
cos(
µ
x) + C
2
sin(
µ
x).
В общем случае C
1
и C
2
зависят от
µ
, а следовательно, являются функци- ями
µ
:
C
1
= C
1
(
µ
),
C
2
= C
2
(
µ
).
Тогда частные решения уравнения (2.17) можно представить в виде u
µ
(x, t) = (A(
µ
) cos(
µ
x) + B(
µ
) sin(
µ
x))e
−a
2
µ
2
t
,
где A(
µ
) = C(
µ
)C
1
(
µ
), B(
µ
) = C(
µ
)C
2
(
µ
). Так как
µ
может принимать любые значения от −∞ до +∞, общее решение уравнения (2.17) будем искать в виде u(x, t) =
+∞
Z
−∞
u
µ
(x, t)d
µ
=
+∞
Z
−∞
(A(
µ
) cos(
µ
x) + B(
µ
) sin(
µ
x))e
−a
2
µ
2
t d
µ
. (2.19)
Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что эта функ- ция удовлетворяет уравнению (2.17). Подберем функции A(
µ
) и B(
µ
) так,
чтобы для нее выполнялось начальное условие. При t = 0 получим u(x, 0) =
+∞
Z
−∞
(A(
µ
) cos(
µ
x) + B(
µ
) sin(
µ
x))d
µ
= f (x).
Так как для функции f (x) выполняется условие (2.18), ее можно предста- вить в виде повторного интеграла Фурье f (x) =
1 2
π
+∞
Z
−∞
d
µ
+∞
Z
−∞
f (
ξ
) cos(
µ
(x −
ξ
))d
ξ
Поскольку cos(
µ
(x −
ξ
)) = cos(
µ
x) cos(
µξ
) + sin(
µ
x) sin(
µξ
), получим ра- венство
+∞
Z
−∞
(A(
µ
) cos(
µ
x) + B(
µ
) sin(
µ
x))d
µ
=
63

=
+∞
Z
−∞




1 2
π
+∞
Z
−∞
f (
ξ
) cos(
µξ
)d
ξ


cos(
µ
x) +
+


1 2
π
+∞
Z
−∞
f (
ξ
) sin(
µξ
)d
ξ


sin(
µ
x)


d
µ
Сравнивая правую и левую части, приходим к следующим формулам:
A(
µ
) =
1 2
π
+∞
Z
−∞
f (
ξ
) cos(
µξ
)d
ξ
,
B(
µ
) =
1 2
π
+∞
Z
−∞
f (
ξ
) sin(
µξ
)d
ξ
Заметим, что при выполнении условия (2.18) для функции f (x) функции
A(
µ
) и B(
µ
) ограничены:
|A(
µ
)| ≤
1 2
π
+∞
Z
−∞
|f (
ξ
)|d
ξ
,
|B(
µ
)| ≤
1 2
π
+∞
Z
−∞
|f (
ξ
)|d
ξ
Подставляя найденные функции A(
µ
) и B(
µ
) в равенство (2.19), получим u(x, t) =
1 2
π
+∞
Z
−∞
d
µ
+∞
Z
−∞
f (
ξ
) (cos(
µ
x) cos(
µξ
)+ sin(
µ
x) sin(
µξ
)) e
−a
2
µ
2
t d
ξ
,
или u(x, t) =
1 2
π
+∞
Z
−∞
d
µ
+∞
Z
−∞
f (
ξ
) cos(
µ
(x −
ξ
))e
−a
2
µ
2
t d
ξ
Эта функция удовлетворяет уравнению теплопроводности и начальному условию, а значит, является решением поставленной задачи.
Преобразуем полученное решение. Если поменять порядок интегриро- вания, то u(x, t) =
1 2
π
+∞
Z
−∞
f (
ξ
)


+∞
Z
−∞
e
−a
2
µ
2
t cos(
µ
(x −
ξ
))d
µ


d
ξ
Внутренний интеграл не зависит от функции f (x).
64

Введем новую переменную
σ
= a
µ
√
t (d
σ
= a
√
td
µ
) и обозначим x −
ξ
a
√
t
=
ω
, тогда
+∞
Z
−∞
e
−a
2
µ
2
t cos(
µ
(x −
ξ
))d
µ
=
1
a
√
t
+∞
Z
−∞
e
−σ
2
cos(
σω
)d
σ
Обозначим
I(
ω
) =
+∞
Z
−∞
e
−σ
2
cos(
σω
)d
σ
и найдем I(
ω
). При
ω
= 0 получается интеграл Пуассона
I(0) =
+∞
Z
−∞
e
−σ
2
=
√
π
Вычислим производную I
0
(
ω
), используя правило дифференцирования под знаком интеграла по параметру
I
0
(
ω
) = −
+∞
Z
−∞
σ
e
−σ
2
sin(
σω
)d
σ
Применяя правило интегрирования по частям, получим:
I
0
(
ω
) = −
+∞
Z
−∞
σ
e
−σ
2
sin(
σω
)d
σ
=
=
1 2
e
−σ
2
sin(
σω
)
+∞
−∞
−
ω
2
+∞
Z
−∞
e
−σ
2
cos(
σω
)d
σ
= −
ω
2
I(
ω
).
Относительно функции I(
ω
) получается дифференциальное уравнение
I
0
(
ω
) = −
ω
2
I(
ω
) с разделяющимися переменными. Решением этого урав- нения является функция
I(
ω
) = Ce
−
ω
2 4
Из равенства I(0) =
√
π
следует, что C =
√
π
, а значит, I(
ω
) =
√
π
e
−
ω
2 4
Тогда
+∞
Z
−∞
e
−a
2
µ
2
t cos(
µ
(x −
ξ
))d
µ
=
√
π
a
√
t e
−
(x−ξ)
2 4a
2
t
65

Значит, решение поставленной задачи (2.17) можно представить в виде u(x, t) =
1 2a
√
π
t
+∞
Z
−∞
f (
ξ
)e
−
(x−ξ)
2 4a
2
t d
ξ
2.6. Метод сеток
Метод сеток является универсальным методом приближенного реше- ния дифференциальных уравнений. Суть метода заключается в следую- щем. Область, в которой искомая функция, являющаяся решением диффе- ренциального уравнения, определена и непрерывна, покрывается сеткой,
т. е. заменяется конечным множеством точек, называемых узлами сетки.
Все функции, входящие в дифференциальное уравнение, рассматриваются только в узлах сетки и называются сеточными функциями. При этом про- изводные функций в уравнении, начальном и краевых условиях заменяют- ся соответствующими разностными отношениями. В итоге, вместо краевой задачи для дифференциального уравнения получается система алгебраи- ческих уравнений. Метод применяется в том случае, если при увеличении числа узлов сетки решение сеточной задачи сходится к решению исходной задачи для дифференциального уравнения. Естественно, при этом вста- ют вопросы о скорости сходимости, точности и устойчивости разностной схемы.
Покажем, как применяется метод сеток для решения начально-крае- вой задачи для одномерного уравнения теплопроводности. Пусть требуется найти решение уравнения теплопроводности
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ f (x, t)
(t > 0,
0 < x < l),
(2.20)
если функция u(x, t) удовлетворяет начальному условию u(x, 0) =
ϕ
(x)
(2.21)
и краевым условиям
R
1
∂u(0, t)
∂x
− S
1
u(0, t) = g
1
(t),
R
2
∂u(l, t)
∂x
+ S
2
u(l, t) = g
2
(t)
(2.22)
(|R
1
| + |S
1
| 6= 0,
|R
2
| + |S
2
| 6= 0).
Предположим, что переменная t меняется в пределах 0 ≤ t ≤ T . Об- ласть,
в которой находится решение задачи,
–
прямоугольник
Ω = [0, l] × [0, T ]. Покроем эту область сеткой. Для этого отрезок [0, l] разо- бьем точками x
0
, x
1
, ..., x n
на n частей. Для простоты будем считать, что
66

расстояние h между точками одинаковое: h = x i+1
− x i
=
l n
(i = 0, ..., n).
Аналогично, отрезок [0, T ] разобьем на m частей точками t
0
, t
1
, ..., t m
, при этом расстояние между точками будет
τ
= t j+1
− t j
=
T
m
(j = 0, ..., m)
(рис. 2.2).
=
=