Файл: Методические рекомендации для студентов спо техникума транспорта г. Орска по выполнению самостоятельной работы.pdf

85
Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n , которое содержит
все n элементов. Формула числа сочетаний даёт это значение, если только принять, что 0! =
1,что является определением 0! .
В соответствии с этим определением получим:
Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:
Пример. Найти число сочетаний из пяти элементов: a, b, c, d, e по три.
Решение :
Эти сочетания: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
Используя методические указания выполните практическую работу:
Вычислите:
А) р
4
р
3
=
Б)
=
В)
Г)
Д)
Вычислите:
А) р
3
р
2
=
Б)
=
В)
Г)
Д)
Самостоятельная работа № 139 «Формула бинома Ньютона. Решение задач.»
Цель: Изучить формулу бином Ньютона и научиться применять её при решении примеров.
Методические рекомендации
Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение ( a + b )
n
при положительном
целом n в виде многочлена:
Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n.
Пример 1.

86
Числа
называются биномиальными коэффициентами.
Используя методические указания выполните практическую работу:
Вариант 1
Вариант 2
1. Найдите значение выражения: a)
!
48
!
50
!
80
!
60

; b)
6 6
11 4
3 6
11P
A
P
A

c)
4 13 3
12 2
12
C
C
C


а)
!
5
!
6
!
8

; b)
4 6
5 2
7 7
11 10 10
A
P
C
C








; c)
5 10 4
9 3
9
C
C
C


2. Найти разложение степени бинома:


5 1
2

a
5 3
3





 
y
Самостоятельная работа № 140 «Треугольник Паскаля. Решение задач.»
Цель: Изучить понятие треугольник Паскаля.
Методические рекомендации
Числа
называются биномиальными коэффициентами.
Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней
строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей.
Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей
строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:

87
Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1; вторая - для n =
2; третья - для n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение:
( a + b )
7
, мы можем получить результат моментально, используя таблицу:
Используя методические указания к Самостоятельным работам № 138,139 ,выполните практическую работу:
Типичные задачи, в которых обычно путаются учащиеся:
Сочетания
Размещения
1. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек?
{Вася, Петя} = {Петя, Вася} – одно и тоже.
Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 5, значит это сочетание из пяти по два.
1. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями?
{Вася, Петя} ≠ {Петя, Вася} – разные обмены.
Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 5, значит это размещение из пяти по два.
Перестановки
1. Сколькими способами n человек могут сесть на одной скамейке?
Pn = n!
2. Сколькими способами n человек могут сесть за круглым столом?
1. Сколько различных экзаменационных комиссий по
3 человека можно составить, если на кафедре 20 преподавателей?
4. В нашем распоряжении есть
5 разноцветных флагов.
Сколько различных сигналов, состоящих из 3 флагов, можно поднять на флаг штоке?
7. Сколькими способами можно выбрать 6 различных пирожных в кондитерской, где имеется 11 сортов пирожных?
2. Сколькими способами можно окрасить трехкомнатную квартиру (каждая комната окрашивается одной краской, все комнаты окрашиваются в разные цвет), если имеется 10 различных красок?
5. Имеется 7 путевок в различные дома отдыха и 7 кандидатов. Сколькими способами можно распределить эти путевки?
8. В шахматном турнире участвуют 12 человек. Каждый из участников должен сыграть с каждым из остальных по две партии. Сколько всего партий должны сыграть участники турнира?
3. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?
6. В колоде 52 карты.
Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?
9. Сколькими способами из 30 человек может выбрать собрание председателя и секретаря?
Самостоятельная работа № 141 «
Элементы теории вероятностей. Решение задач»
Цель: Изучить основные понятия теории вероятностей. Приобрести навык в решении
вероятностных задач.

88
Методические рекомендации
Случайным называется событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.
Равновозможными или равновероятными событиями называют события возможности наступления, которых одинаковы.
Маловероятные (более вероятные) события – события возможность наступления, которых мала
(велика).
1 .Вероятность случайного события
Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события при проведении большого числа случайных экспериментов.
Иногда вероятность выражают в процентах.
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р (от французского слова probabilite, что означает – возможность, вероятность).
По вероятности события можно прогнозировать частоту его появления в будущем.
Вероятностные оценки широко используют в физике и биологии, социологии и демографии, экономике и политике, спорте и т. д.
Задача 1. По статистике, на каждые 1 000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку?
Ответ: 0,997.
Задача 2. Какова вероятность того, что число, составленное из нечетных цифр, будет четным?
Ответ: 0.
Задача 3. Известно, что среди 1000 выпущенных лотерейных билетов 100 выигрышных. Какое наименьшее количество билетов надо купить, чтобы выиграть с вероятностью равной 1?
Ответ: 901 билет.
Задача 4. Из кошелька в темноте вынимали монетку. Известно, что-то, что вытащена, будет рублевая монета, являлось достоверным событием. Однако этот же исход при повторной попытке оказался невозможным. Сколько и каких монет было в кошельке?
Ответ: одна монета, рублевая.
Вероятностью P наступления случайного события A называется отношение
, где n – число
всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов:
.
2. Примеры решения задач.
Пример 1. На экзамене по информатике в 9 классе – 20 билетов. Сергей не разобрался в одном билете и очень боится его вытянуть. Какова вероятность, что Сергею достанется несчастливый билет?
Решение: Всего у данного эксперимента «вытянуть наугад один билет» 20 исходов, все они равновероятны. У Сергея только один шанс из 20 вытянуть несчастливый билет. Поэтому вероятность того, что ему достанется несчастливый билет, равна
Ответ:
.
Пример 2. В лотерее 10 выигрышных билетов и 240 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет?

89
Решение: В лотерее разыгрывается всего 240 + 10 = 250 билетов, любой из них можно купить с одинаково вероятностью. Есть 10 шансов из 250 выиграть, и, следовательно, вероятность выигрыша равна
Ответ:
Задача 3. В вазочке перемешаны 15 конфет «Чародейка» и 5 конфет «Белочка». Когда из-за аварии погас свет, Маша наугад схватила одну конфету. Какова вероятность, что ей досталась «Белочка»?
Ответ: .
Задача 4. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что оно окажется:
1) четным;
2) меньшим 12?
Ответ: 1) ; 2)
Задача 5. В классе 30 человек. Вероятность того, что при случайном выборе одного ученика по номеру в журнале выбранным окажется мальчик, равна . Сколько в этом классе девочек?
Ответ: 20 девочек.
Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Решение:
Возможен такой вариант решения.
Какие возможны исходы двух бросаний монеты?
1) Решка, решка.
2) Решка, орел.
3) Орел, решка.
4) Орел, орел.
Это все возможные события, других нет. Нас интересует вероятность 2-го или 3-го события.
Всего возможных исходов 4.
Благоприятных иcходов – 2.
Отношение 2/4 = 0,5.
Достоверные события – события, которые в обычных условиях происходят всегда, обязательно.
Невозможные события – события, которые в данных условиях никогда не происходят.
Достоверные и невозможные события встречаются в жизни сравнительно редко, можно сказать, что мы живем в мире случайных событий.
Теория вероятностей –это наука, которая изучает закономерности наступления случайных событий, что позволяет оценить шансы наступления случайного события.
Возможность наступления случайного события зависит от условий, в которых оно рассматривается.
Умение оценивать вероятность наступления события очень полезно при принятии обоснованного решения, на пример стоит участвовать в лотерее или игре.
Используя методические указания , выполните практическую работу:

90 1) В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 15 из Норвегии, 18 из Дании, остальные — из Швеции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Швеции.
2) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
3) Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов — в первый день 20 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями.
Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора
М. окажется запланированным на последний день конференции?
4) В сборнике билетов по физике всего 40 билетов, в 8 из них встречается вопрос по электростатике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по электростатике.
5) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 5 прыгунов из
Швеции и 3 прыгуна из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что сорок четвертым будет выступать прыгун из Мексики.
6) Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 75 докладов — в первый день 27 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями.
Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора
М. окажется запланированным на последний день конференции?
7) На семинар приехали 4 ученых из Швеции, 4 из России и 2 из Италии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвертым окажется доклад ученого из Швеции.
8) В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Японии, 9 спортсменов из
Кореи, 7 спортсменов из Китая и 6 — из Индии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Индии.
9) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 4 прыгуна из
Италии и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой.
Найдите вероятность того, что девятым будет выступать прыгун из Парагвая.
10) Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 60 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 24 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
11) В сборнике билетов по философии всего 20 билетов, в 19 из них встречается вопрос по
Пифагору. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по Пифагору
12) На семинар приехали 5 ученых из Австрии, 4 из Германии и 6 из Сербии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад ученого из Сербии.
13) Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 75 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 27 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
14) В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
15) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.
Самостоятельная работа № 144 «Решение уравнений и систем уравнений.»
Цель: Изучить алгоритм решения систем уравнений.
Методические рекомендации
1. Решение систем уравнений с двумя переменными.

91
Способ подстановки.
План решения:
1) В более простом уравнении выразить одну из переменных.
2) Выраженную переменную подставить в другое уравнение и решить его.
3) Полученное значение переменной подставить в первое действие и сосчитать.
Записать ответ.
Пример.







1 2
6 3
4
y
x
y
x
Решение:
4х + у = 3 у = 3 - 4х
2) 6х – 2у = 1 6х – 2(3-4х) =1 6х – 6 + 8х = 1 14х = 7 14 7

x
х = 0,5 3) у = 3 – 4 ∙ 0,5 = 3 -2 = 1
Ответ: (0,5; 1)
2.Решение систем уравнений с двумя переменными.
Способ сложения.
План решения:
1) Умножением всех членов уравнений на некоторые числа получить противоположные коэффициенты.
2) Сложить почленно уравнения системы и решить получившееся уравнение.
3) Найденное значение переменной подставить в более простое уравнение данной системы и найти значение другой переменной.
4) Записать ответ.
Примеры:
1)







2 6
y
x
y
x
Решение:
1)








2 6
y
x
y
x
2) х + у = 6 4 + у = 6 у = 6 – 4 у = 2
Ответ: (4; 2)
4 2
8 8
2



x
x
x

92

2)







20 6
5 90 7
4
y
x
x
y
Переставим в первом уравнении:







20 6
5 90 4
7
y
x
y
x
2 3


Решение:
1)








40 12 10 270 12 21
y
x
y
x
2) 7х + 4у =90 31 х = 310 7∙10 + 4у = 90 31 310

x
4у = 90 - 70 х =10 4у = 20 4
20

y
у =5 Ответ: (10; 5)
3.Решение задач с помощью систем уравнений
1)
V
соб
, км/ч V
теч
, км/ч V, км/ч t, ч
S, км по течению x y x+y
3 3(x+y) против течения x y x-y
2 2(x-y)
По условию задачи S
по
+ S
пр
= 240 км
Составляем уравнение: 3(х+у) + 2(х-у) = 240 5х + у = 240 2)
V
соб
, км/ч V
теч
, км/ч V, км/ч t, ч
S, км по течению x y x+y
2 2(x+y) против течения x y x-y
3 3(x-y)
По условию задачи S
пр
> S
по на 35 км
Составляем уравнение: 3(х-у) - 2(х+у) = 35 х -5у = 35 3) Составляем систему уравнений:







35 5
240 5
y
x
y
x
∙ (-5)









175 25 5
240 5
y
x
y
x
26у = 65 у = 2,5 x – 5y = 35 x – 5∙2,5 = 35 x = 35+12,5 x = 47,5 4) По смыслу задачи х>0, y>0, x>y. Этому условию удовлетворяет найденное решение. Значит, V
по
= х+у = 47,5 + 2,5 = 50 км/ч и
V
пр
= х-у = 47,5 - 2,5 = 45 км/ч
Ответ: 50 км/ч, 45 км/ч
Используя методические рекомендации, выполните практическую работу:
1)
2)















7 7
,
25 5
1 9
4
y
x
y
x









2 1
2
,
6 6
2 3
x
y
y
x

93
Самостоятельная работа № 145 «Решение текстовых задач.»
Цель: Изучить алгоритм решения текстовых задач.
Методические рекомендации
План решения задач
(памятка)
1. Составить эскиз задачи.
2. Выбрать действующих лиц (например: девочки и мальчики; квадрат и прямоугольник;
машина и мотоцикл; действие по плану и действие фактически; пряники и конфеты) и их характеристики (количество детей; длина, ширина и площадь; скорость, время,
расстояние; производительность, время и объем работы; цена, количество, стоимость).
3. Заполнить таблицу по действующим лицам (строки) и по характеристикам (столбцы) по следующему плану:
Если задача с числовыми данными с переменными величинами
4. Расставить известные данные из текста задачи.
5. Найти связь между известными и неизвестными данными.
5. Ввести переменную Х. Найти связи между величинами, в том числе используя формулы
6. Составить выражение.
6. Составить уравнение, исходя из условия задачи.
7. Найти искомые значения
7. Решить уравнение и вычислить недостающие данные.
8. Записать ответ задачи
Задача на суммарную величину
В классе девочек в 2 раза больше, чем мальчиков, а всего 30 учеников. Сколько девочек и мальчиков в классе?
Количество, чел.
Д
2х = ?
М х = ?
По условию задачи Д + М = 30 человек.
Составляем уравнение:
2х + х = 30 2х + 1х = 30 х (2 +1) = 30 3х = 30 х = 10
Значит, М – 10 человек, в Д = 2х = 2∙10=20 человек.
Ответ: 10 и 20 человек.
Задача на движение
Турист предполагал пройти маршрут длиной 60 км с некоторой скоростью. Однако из-за погодных условий его скорость на маршруте оказалась на 1 км/ч меньше и турист прибыл в конечный пункт на 1ч позже, чем рассчитывал. С какой скоростью прошел турист свой маршрут?