Процесс, при котором возникают необратимые деформации, называют активным нагружением, а процесс, сопровождающейся только упругим де­формированием – пассивным нагружением, или – разгрузкой. Процесс, при котором траектория нагружения, начиная с некоторой точки, идет вдоль по­верхности нагружения, построенной для этой точки, например B₁B₁^', явля­ется пограничным между активным и пассивным, и его называют нейтраль­ным нагружением. Свойства деформирования при нейтральном нагружении опре­деляют как предельные.

Деформацию элемента материала _ij часто представляют как сумму упру­гой (обратимой) и пластической (необратимой) частей:

. (1)

Форма и размеры поверхности нагружения определяются только пластиче­ской частью деформации и историей ее изменения. Следовательно, аналити­чески уравнение текущей предельной поверхности можно представить в виде

, (2)

где через _n^p условно представлены параметры, зависящие от истории изме­нения , постоянные при фиксированных (В. Д. Клюшников [1]).

Следует отметить, что представление общей деформации в виде двух ад­дитивных составляющих является всего-навсего широко распространенной гипотезой. При случайной или методологической ошибках в выделении пла­стической составляющей из общей деформации могут возникнуть сущест­венные искажения экспериментального результата (А. Н. Супрун [2]).

2.2. Принцип максимума Мизеса и постулат Друккера. Ассоциированный закон де­формирования

Принцип максимума Р. Мизеса формулируется следующим образом (Ю. Н. Работнов [3]). Пусть задано распределение скоростей

---

, которому со­ответствует поле напряжений _ij. Мощность диссипации определяется следующим образом:

. (3)

Здесь – тензор скоростей пластической деформации.

Утверждается, что для истинного напряженного состояния мощность диссипации не меньше, чем для любого допустимого состояния , т.е. та­кого, что во всех точках тела . Итак,

. (4)

Это условие записывают следующим образом:

. (5)

Д. Друккером было высказано следующее утверждение: новая необрати­мая деформация в упруго–пластических телах не может возникнуть само­произвольно; для ее создания нужно затратить энергию. В дальнейшем это положение было развито в его многочисленных работах (см., например, Д. Друккер [4]), и был назван постулатом устойчивости материала. Согласно мнению самого Д. Друккера [4], постулат устойчивости материала является не законом природы, а средством, позволяющим дать общую классификацию материалов, которая выходит за пределы понятий, охватывающих специаль­ные категории: упругость, пластичность, вязкость и т.д. Для материалов с не­зависящими от времени свойствами критерий устойчивости в малом для произвольного ненулевого нагружения имеет следующий вид:

(6)

Критерий устойчивости в малом для произвольного цикла нагрузки и раз­грузки имеет вид:

(7)

В теории пластичности доказывают (например, В. Д. Клюшников [1]),что если условие (7) выполняется, то поверхность нагружения является вы­пуклой, а вектор

---

направлен по внешней нормали к этой поверхности в точке соответствующего напряженного состояния. Условие (7) выполня­ется, если состояние материала соответствует участкам ОА, АВ, ВС диа­граммы деформирования _ij – _ij (рис. 3), и не выполняется для состоя­ний материала, характеризующихся нисходящим участком CD этой диа­граммы.



Рис. 3

Предполагая справедливым концепцию поверхности нагружения и нера­венство (7) можно заключить, что в регулярной точке поверхности на­гружения

(8)

Здесь – скалярный коэффициент. Для конической точки по­верхности нагружения считают справедливым подход, основанный на сле­дующем предположении: поверхность нагружения в каждый момент времени представляется как огибающая конечного или бесконечного числа регуляр­ных поверхностей f_, каждая из которых обладает всеми свойствами поверх­ности нагружения. Единичное приращение пластической деформации, про­исходящее при изменении любой из регулярных поверхностей, дается соот­ношениями (8), где вместо  и f нужно представить _ и f_, а полное приращение пластической деформации определяется как сумма единичных приращений (следует отметить, что это предположение апеллирует к прин­ципу независимости действия пластических механизмов). Для конической точки поверхности нагружения при таком подходе справедливы следующие соотношения:

(9)

Здесь отличны от нуля только те _, для которых выполняются условия, указанные в (9).

Как справедливо отмечено в книге [1] В. Д. Клюшникова, независимость действия пластических механизмов – явление, не свойственное нелинейной механике. Однако соотношения (9) нашли довольно широкое применение в теории пластичности. Это объясняется их относительной простотой. Фор­мулы (8), (9) являются соотношениями теории пластического течения и они позволяют решать геометрически и физически нелинейные задачи тео­рии пластичности, двигаясь малыми шагами вдоль диаграммы 

---

_ij – _ij.

Соотношения в (8), (9), связывающие c _ij, ассоциированы (связаны) с функцией нагружения f , и поэтому их называют ассоциирован­ными законами пластичности.

Следует отметить, что в принципе возможны соотношения пластичности, не удовлетворяющие условию градиентальности, но случай этот нужно отне­сти к разряду необычных и считать оправданным только тогда, когда явным образом обнаруживается структурная неустойчивость материала (В. Д. Клюшников [1]).

2.3. Постановка задачи о предельном рав­новесии тел

Общая постановка задачи об оценке несущей способности элемента конструкции состоит в следующем (Ю. Н. Работнов [3], М. И. Ерхов [5]). На части по­верх­ности заданы мгновенные скорости перемещений , на части по­верхно­сти S_p заданы усилия , где  – неопределенный множитель (могут присут­ствовать нагрузки, которые не зависят от параметра ). Требуется оценить несущую способность конструкции, т.е. то значение параметра на­грузки _о, при котором конструкция превращается в механизм, имеющий, как минимум, одну степень свободы.

Для решения поставленной задачи привлекаются следующие соотноше­ния:

Уравнения равновесия

(10)

Граничные условия для напряжений

. (11)

Кинематические граничные условия

(12)

Соотношения ассоциированного закона деформирования

(13)

Уравнение поверхности нагружения, соответствующие предельному состоянию (уравнение поверхности текучести или поверхности проч­ности)

---

(14)

Поля скоростей перемещений и скоростей деформаций могут иметь до­пус­тимые разрывы и связаны между собой соотношениями

(15)

Решение полной системы уравнений (10) – (15) в общем случае явля­ется чрезвычайно сложной задачей. Аналитические решения о несущей спо­собности конструкций получены только для ограниченного круга задач.

2.4. Уравнение баланса мощностей

Вариационные принципы механики являются исключительно мощным средством исследо­вания конструкций. Хотя соответствующие системы раз­решающих уравнений механики сплош­ной среды вытекают как условия ста­ционарности определенных функционалов, тем не менее, ва­риационные формулировки имеют ряд преимуществ (К. Вашидзу [6]). В частности, ва­риаци­онные принципы иногда приводят к формулам для верхней и нижней оценок точного решения задачи. Основой для вариационной формулировки задач во многих случаях служит принцип воз­можных перемещений (принцип виртуальной работы) (Н. Н. Бухгольц [7]), который можно сформулировать так: пусть механическая система, на которую наложены заданные геометри­че­ские связи, находится в равновесии под действием приложенных сил. То­гда сумма всех вирту­альных работ 'W всех внешних и внутренних сил, действующих на эту систему, на любых бес­конечно малых виртуальных пе­ремещениях, удовлетворяющих заданным геометрическим свя­зям, равна нулю:

(16)

Здесь 'W не является вариацией некоторой функции состояния W, а всего лишь означает пол­ную виртуальную работу. Тем не менее, из (16) следуют для многих важных, для практики, случаев, соотношения, которые имеют явно вариационный характер.

Принцип виртуальной работы остается справедливым независимо от со­отношений напряже­ния – деформации и существования потенциальных функций. Для тел, имеющих жесткие (неде­формируемые) области и разрыв­ные поля напряжений и деформаций (перемещений) уравнение (16) имеет следующий вид (М. И. Ерхов [5]):

---

Смотрите также файлы

• Методические рекомендации по суммативному оцениванию Алгебра 8 класс.docx

• 1. Преступление.docx

• Томчак Андрей Николаевич.docx

• Inventors.docx

• Политическая коррупция в системе государственного управления.rtf