. (17)

Здесь V – объем тела; S_l – l-ая поверхность разрыва виртуальных перемеще­ний; _ijn_j – компо­ненты напряжений на S_l; l – номер поверхности разрыва виртуальных перемещений; n_j – компо­ненты нормали к соответствующей поверхности; [u_i] – величина разрыва виртуального пере­мещения; p_i – компоненты вектора поверхностной нагрузки; X_i – компоненты вектора объ­емной нагрузки; .

Уравнения статической теории пластичности не содержат времени; од­нако, разделив их на dt, можно формально перейти от приращений d_ij к скоростям деформации . Под переменной t здесь можно понимать время, или монотонно возрас­тающий параметр на­грузки, или, наконец, какую–нибудь другую монотонно возрастающую величину. После разделе­ния (17) на dt с учетом сказан­ного, получим

(18)

Это уравнение является уравнением баланса мощностей всех сил, действую­щих на рассматри­ваемое тело. В научной литературе оно приводится под различными названиями. Например, в книге Л.М. Качанова [8] – "основное энергетическое уравнение"; в книге М.И. Ерхова [5] – "принцип виртуальной мощности"; в книге Д.Д. Ивлева [9] – " уравнение скорости виртуальных ра­бот"; в книге Ю.Н. Работнова [3] – "уравнение равновесия в форме Ла­гранжа".

---

2.5. Экстремальные свойства предельных состояний деформирования

Две теоремы, приведенные в этом разделе, позволяют получить нижнюю и верхнюю оценки для предельного значения параметра нагружения (Ю.Н. Работнов [3], Н. Н. Малинин [10], И. Г. Терегулов [11]). Эти теоремы были впер­вые сформулированы и доказаны А.А. Гвоздевым в малодоступной публикации в 1934 г.; они мно­гократно переот­крывались, независимо, разными авторами.

Распределение напряжений – называют статически допустимым, если оно удовлетво­ряет всюду в теле уравнениям равновесия, граничным усло­виям в усилиях на и всюду в теле не выходит за пределы поверхности на­гружения, т.е. .

Пусть , , – неизвестное нам истинное решение задачи о предель­ном состоянии тела, подверженного действию системы поверхностных сил , – некоторое допустимое напря­женное состояние, соответствующие поверхностным силам p_i^–. Для краткости изложения при­мем, что объемные силы и разрывы скоростей перемещений отсутствуют (это не влияет на общ­ность выводов, Л.М. Качанов [8]). Запишем уравнение баланса мощностей (18) для рассматри­ваемых случаев, принимая за поле виртуальных скоро­стей истинное поле скоростей:

(19)

(20)

Вычитая (20) из (19), получим:

(21)

Из постулата Друккера следует, что левая часть уравнения (21) неотрица­тельна, поэтому неот­рицательна и правая часть:

---

(22)

Здесь учтено, что на скорости перемещений заданы, т.е. = , а на заданы силы, т.е. = .

Итак, мощность действительных поверхностных сил на заданных скоро­стях больше мощно­сти, развиваемой поверхностными силами, соответст­вующими любой другой статически воз­можной системе напряжений.

Это утверждение составляет содержание так называемой статической теоремы о предельном состоянии.

Неравенство (22) служит для нижней оценки несущей способности тела. Если внешняя нагрузка сводится к одной обобщенной силе Q, которой соответствует обобщенная скорость пе­ремещения , то



в этом случае в неравенстве (22) скорость сокращается и получается оценка несущей спо­собности

(23)

Если нагрузки заданы в виде , а статически допустимые напряжения удовлетворяют условиям на

---

, то  можно принять за обобщенную силу, а скорость обобщен­ного перемещения будет равна . Тогда неравенство (22) принимает вид

. (24)

Здесь ₀ – опасное значение параметра .

Рассмотрим суть так называемой кинематической теоремы о предельном состоянии. Пусть – произвольное кинематически допустимое поле скоро­стей перемещений, т.е. такое поле, ко­торое удовлетворяет граничным усло­виям = на части поверхности . По значениям , используя (15), можно определить соответствующие скорости деформации , далее, ис­поль­зуя (13) , – напряжения . В общем случае напряжения не удов­летворяют уравнениям равновесия. Запишем уравнение равновесия в форме Лагранжа, принимая за поле виртуаль­ных скоростей:



Прибавим и вычтем в правой части этого равенства интеграл от . Полу­чим



Согласно постулату Друккера второй член в правой части этого равенства неотрицателен

---

, по­этому

(25)

Если внешняя нагрузка представляется одной обобщенной силой Q , то

(26)

Правая часть этого неравенства известна, если задано кинематически воз­можное поле скоростей .

Неравенство (25) служит для верхней оценки несущей способности. Из (26) следует, что действительная предельная нагрузка не больше кинема­тически возможной нагрузки. (Кине­матически возможной называют на­грузку, при действии которой конструкция превращается в механизм при со­блюдении наложенных на нее кинематических связей).

2.6. Кинематический и статический методы определе­ния несущей способности конструкций. Сведение задачи к задаче линейного программирования

Применяя оценки (23) и (26), можно получить интервал, в котором заключено истинное значение предельной нагрузки Q. Если верхняя и ниж­няя оценки совпадают, то получено точное решение задачи о несущей спо­собности (доказательство соответствующей теоремы о единствен­ности реше­ния можно найти, например, в книге [3] Ю.Н. Работнова).

Нахождение кинематически возможных полей скоростей, которые не обя­зательно должны быть непрерывными, не встречает больших трудностей; варьируя эти поля, находят нижнюю грань , определяемую неравенст­вом (26). Эта величина может совпасть с точ­ным решением, а мо­жет быть наилучшим приближением в определенном классе возможных кинематических схем пластического деформирования.

Построение статически допустимых полей встречает бóльшие трудности, связанные главным образом с тем, что определенные в пластических облас­тях поля напряжений должны допускать продолжения в жесткие зоны, при­том такое, что условие пластичности нигде не превышается. Варьируя поле допустимых напряжений

---

Смотрите также файлы

• Методические рекомендации по суммативному оцениванию Алгебра 8 класс.docx

• 1. Преступление.docx

• Томчак Андрей Николаевич.docx

• Inventors.docx

• Политическая коррупция в системе государственного управления.rtf