Файл: Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине математика для студентов направления подготовки 43. 03. 03 Гостиничное дело Направленность (профиль) Гостиничная деятельность.pdf

МИНИCTEPCTBO НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ СЕРВИСА, ТУРИЗМА И ДИЗАЙНА (ФИЛИАЛ) СКФУ В Г. ПЯТИГОРСКЕ
КАФЕДРА ФИЗИКИ, ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ
Методические указания
по выполнению практических работ по дисциплине «МАТЕМАТИКА для студентов направления подготовки: 43.03.03 Гостиничное дело
Направленность (профиль): «Гостиничная деятельность»
Пятигорск
2020

2
СОДЕРЖАНИЕ
1
Введение
3 2
3
Методические рекомендации по организации практических занятий
Список литературы
3 60

3
ВВЕДЕНИЕ
Программа дисциплины «Математика» предназначена для бакалавров направления
43.03.03 «Гостиничное дело».
Целью дисциплины является:
- ознакомление студентов с важнейшими методами и моделями классической математики, направленными на использование и применение их в гостиничном деле: методами линейной алгебры, методами дифференциального исчисления функции одной переменной, вероятностными и статистическими моделями и их приложениями в гостиничном деле.
Основными задачами дисциплины являются:
- создание у студентов основ теоретической подготовки в области математических методов и моделей в гостиничном деле;
- овладение математическим аппаратом, необходимым для изучения дисциплин гостиничного дела и решения теоретических и практических задач;
- развитие интеллекта и формирование у студентов логического и алгоритмического мышления;
- выработка навыков самостоятельного изучения учебной и научной литературы по математическим методам и моделям и их приложениям;
- повышение общей культуры студентов.
Дисциплина «Математика» входит в обязательную часть ОП ВО по направлению
43.03.03 «Гостиничное дело». Ее освоение проходит в 1 семестре.
2. Методические рекомендации по организации практических занятий
Раздел 1. Линейная алгебра
Практическое занятие 1.
Тема занятия Матрицы и определители.
Цель занятия. Приобрести навык выполнения операций над матрицами и вычисления определителей.
В результате освоения темы обучающийся должен:
Знать:
- виды матриц, действия над матрицами, виды определителей.
Умееть:
- выполнять операции над матрицами и вычислять определители 2-го,3-го и n- го порядков.
Владеть:
- способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации,
применять системный подход для решения поставленных задач (УК-1)
Актуальность темы. Матрицы и определители широко применяется при решении многих экономических задач.
Теоретическая часть.
Прямоугольная таблица, содержащая m – строк и n столбцов называется
матрицей и обозначается

4














mn
m
m
n
n
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A














2 1
2 22 21 1
12 11 2
1 2
22 21 1
12 11
или или коротко матрицу обозначаютА = || а
ij
||, i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n.
Сложение матриц
Пусть даны две матрицыА иВ одинаковой размерности. Их суммой называется матрицаС = А + В той же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т.е. если А = ||а
ij
||, В = ||b
ij
||, то А + В = С = ||с
ij
||.
Пример:
,
4 2
1 3
1 2
,
3 1
4 5
2 1

















B
A
тогда
7 1
5 2
1 3
4 3
2 1
1 4
3 5
1 2
2 1

























C
B
A
Отметим, что складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и с одинаковым числом столбцов.
РазностьюВ - А матриц В и А (одинаковых строений) называется такая матрица Х, что
А + Х = В.
Например,
















4 1
2 7
5 3
,
1 3
2 4
1 2
B
A
. Тогда
3 4
4 3
4 1
1 3
2 4
1 2
4 1
2 7
5 3


























A
B
X
Умножение матриц
а) Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число α, надо умножить на это число каждый элемент матрицы:

|| a
ij
|| = ||

a
ij
||
Пример.
,
3
,
5 3
1 2










A
















15 9
3 6
5 3
1 2
3
A

б) Умножение двух матриц.
Умножение матрицыВ на матрицу А возможно только в том случае, когда число столбцов в матрице В равно числу строк в матрице А.
Элемент матрицыС = В · А, расположенный в i-ой строке и j –ом столбце
(т.е. С
ij
) равен сумме произведений элементов i – ой строки матрицы В на соответствующие элементы j– го столбца матрицы А.

5







n
k
kj
ik
nj
in
j
i
j
i
ij
b
a
b
a
b
a
b
a
c
1 2
2 1
1

Следует отметить, что умножение матриц не обладает свойством коммутативности, т.е. АВ ≠ ВА.
Пример 1.















5 3
1 2
и
3 1
2 1
B
A
Имеем














































14 11 11 4
5 3
)
1
(
1 3
3
)
2
(
1 5
2 1
1 3
2
)
2
(
1 5
3 1
2 3
1 2
1
B
A















































21 2
1 3
3 5
2 3
)
1
(
5 1
3 3
1
)
2
(
2 1
1 1
2 3
1 2
1 5
3 1
2
A
B
Вывод
: АВ ≠ ВА
Вычисление определителей
Если в матрице число строк равняется числу столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной:













nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







2 1
2 22 21 1
12 11
Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы (без перестановок) называется определителем матрицы А.
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A







2 1
2 22 21 1
12 11
)
(


Число а
11
а
22
- а
21
а
12
называется определителем второго порядка и обозначается символом
21 12 22 11 22 21 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a




Определителем третьего порядка называется число:
33 12 21 23 32 11 13 22 31 31 23 12 13 32 21 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a








Схематически вычисление определителя третьего порядка выглядит следующим образом (правило треугольников или правило Сарруса):

6 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a


Определитель третьего порядка также равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов, т.е.
33 33 23 23 13 13 33 33 32 32 31 31 32 32 22 22 12 12 23 23 22 22 21 21 31 31 21 21 11 11 13 13 12 12 11 11
;
;
;
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
























Например, разложение определителя по элементам первой строки:
22 31 13 33 21 12 23 32 11 32 21 13 23 31 12 33 22 11 22 31 32 21 13 23 31 33 21 12 23 32 33 22 11 32 31 22 21 3
1 13 33 31 23 21 2
1 12 33 32 23 22 1
1 11
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



























Разложением по элементам строки или столбца можно вычислить определитель любого порядка. В качестве примера рассмотрим определитель четвертого порядка и разложим его по элементам первой строки.
Пример 2.
54 27 34 6
13 9
3
)
17
(
2 6
13
)
1 0
9 3
2 0
(
3
)
10 3
36 9
8 15
(
2
)
10 0
12 9
0 5
(
1
)
15 0
4 3
0 5
(
1 0
1 3
1 3
2 1
1 1
)
1
(
3 5
1 3
3 3
2 4
1 1
)
1
(
2 5
0 3
3 1
2 4
1 1
)
1
(
)
1
(
5 0
1 3
1 3
4 1
1
)
1
(
1 5
0 1
3 3
1 3
2 4
1 1
1 3
2 1
1 4
1 3
1 2
1 1
1






























































Данный определитель можно вычислить иным способом, применив элементарные преобразования к строкам определителя. А именно, умножим

7 элементы первой строки на (-1) и сложим с элементами второй строки, затем умножим элементы первой строки на (-2) и сложим с соответствующими элементами третьей строки и, наконец, умножим элементы первой строки на (-
3) и сложим с соответствующими с элементами четвертой строки. Тогда получим определитель 4-го порядка, в первом столбце которого стоят нули, кроме первой строки, т.е. получаем определитель вида:
54 60 36 12 36 30 24 4
6 4
3 3
5 1
3 2
1 4
6 4
0 3
3 5
0 1
3 2
0 3
2 1
1 11 11






















A
a
Вопросы и задания.
1. Какие матрицы можно складывать и по какому правилу?
2. Какими свойствами обладает операция сложения матриц? Есть ли отличия от свойств сложения чисел?
3. Как умножить матрицу на число?
4. Какими свойствами обладают операция умножения матрицы на число?
Есть ли отличия от свойств умножения чисел?
5. Что называется определителем квадратной матрицы?
6. Дайте определение минора и алгебраического дополнения элемента определителя.
7. Как вычислить определитель, разлагая его по произвольной строке или столбцу? Сформулируйте соответствующую теорему и напишите формулы разложения определителя по i–ой строке (k–му столбцу).
1. Найти произведение матриц А и В.
1. А=






1 5
1 0
, В=






5 0
4 2
3 1
2.
1 2
0 0
3 1
0 1
2
A




 





,
1 2
0 0
3 1 .
0 1
2
В




 





3.
3 2
1 5
6 1
2 1
7
A






 







,
4 5
1 3
2 1 .
8 3 2
В




 







2.
Найти А
2
, если
А =








4 2
3 1

8 3. Вычислить определитель
1.
6 4
3 56 26 8
7 3
1



2.
0 0
2 1
1 3
5 4
2



3.
2 2
2 1
1 1
z
y
x
z
y
x
. 4.
b
a


1 1
1 1
1 1
1 1
1 5.
1 3
4 2
5 0
1 0
2 1
3 1
0 2
0 4



6.
1 5
3 2
4 2
7 2
5 1
1 5
0 4
2 1



 


7.
5 4
3 1
2 3
2 1
2 3
1 2
3 1
2 1
2 1
1 1
2 3
2 1
1






Рекомендуемые источники информации
(№ источника)
Основная
Дополнительная
Методическая
Интернет-ресурсы
1 1
1,2 1,2
Практическое занятие 2.
Тема занятия. Методы решения систем линейных уравнений.
Цель занятия.Рассмотреть различные методы решенияи закрепить навыки решенияСЛАУ.
В результате освоения темы обучающийся должен:
Знать: методы решения систем линейных уравнений методом обратной матрицы, Крамера и Гаусса.
Уметь:
пользоваться инструментарием для решения простейших математических задач.
Владеть:
- способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач (УК-1)
Актуальность темы. Приемы и методы решенияСЛАУприменяются для решения задач с экономическим содержанием.
Теоретическая часть.
Системаmлинейных уравнений cnпеременными имеет вид:
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a
x
a x
b
n
n
n
n
m
m
mn
n
m
11 1
12 2
1 1
21 1
22 2
2 2
1 1
2 2


























, где
a
ij
(i = 1,2,...,m; j = 1,2, ...,n), b
k
(k = 1,2, ...,m ) - заданные действительные числа.

9
Числа a
ij
(i = 1,2,...,m; j = 1,2, ...,n) называются коэффициентами системы, а числа
b
k
(k = 1,2, ...,m) - свободными членами системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Матрицы
А =
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
m
m
mn
11 12 1
21 22 2
1 2



















и
A
=
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
b
n
n
m
m
mn
m
11 12 1
1 21 22 2
2 1
2





 













, которые составлены из коэффициентов при переменных и свободных членов системы, называют соответственно матрицей системы и расширенной матрицей системы.
Рассмотрим систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
1 2
3
, ,
x x
x
:
11 1 12 2
13 3 1
21 1 22 2
23 3 2
31 1 32 2
33 3 3
,
,
,
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b














где
ij
a
- коэффициенты при неизвестных;
i
b
- свободные члены (правые части) системы уравнений. Определитель третьего порядка

, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
Решим систему линейных уравнений методом обратной матрицы:
1 2
3 1
2 3
1 2
3 2
3 5,
2 2
17,
3 4.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 

   


 


Введём следующие обозначения:
1 2
3 2
1 3
5 1
2 2 ,
,
17 .
1 1
3 4
x
A
X
x
B
x




































Вычислим определитель системы:
2 1
3 1
2 2
12 2 3 6 4 3 26.
1 1
3

 

        
Так как определитель матрицы системы отличен от нуля, то матрицаА имеет обратную, а решение системы имеет вид:
1
X
A B


Для нахождения обратной матрицы
1
A

вычислим алгебраические дополнения элементов матрицыА:

10 11 21 31 12 22 32 13 23 33 2
2 1
3 1
3 8,
6,
4,
1 3
1 3
2 2
1 2 2
3 2
3 1,
9,
7,
1 3 1
3 1
2 1
2 2 1 2
1 3,
1,
5.
1 1
1 1 1
2
A
A
A
A
A
A
A
A
A




 
 
 

 



 
 


 
 



 
 

 

Матрица
1
A

, обратная кА, запишется следующим образом
1 8
6 4
1 1
9 7 .
26 3
1 5
A








 










Матричное решение системы имеет вид:
1 2
3 8
6 4
5 78 3
1 1
1 9
7 17 130 5 ,
26 26 3
1 5
4 52 2
x
X
x
x





 

 

  
 

 

  

 


 
 
 

 

  
 

 

  



 

 

  
отсюда следует, что
1 2
3 3,
5,
2.
x
x
x

 

При условии, что
0
 
, то единственное решение системы выражается
формулами Крамера:
3 1
2 1
2 3
,
,
x
x
x









Решить по формулам Крамера следующую систему линейных уравнений:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1 2
3 1
2 3
1 2
3 2
4 3
2 5
2 4
7 5
5


 





 





Вначале найдем определитель системы
 



1 2
1 3
2 5
4 7
5
= -10 - 40 - 21 - 8 -30+ +35
= - 74.


0. Следовательно, рассматриваемая система имеет единственное решение. Вычислим определители

1 2
3
,
,
 

1






4 2
1 2
2 5
5 7
5
= 40 + 50 - 14 + 10 - 20 - 140 = - 74,

2 1
4 1
3 2
5 4
5 5




= - 10 - 80 -
15 - 8 - 60 + 25 = - 148,

3 1
2 4
3 2
2 4
7 5





= - 10 - 16 + 84 +32 -30 + +14=74. Таким образом, решение данной системы имеет вид:
x
x
x
1 1
2 2
3 3
74 74 1
148 74 2
74 74 1













 






,
,

11
Рассмотрим решение СЛАУ методом Гаусса. Метод Гаусса заключаетсяв последовательном исключении неизвестных. Для удобства выпишем расширенную матрицуи приведем её к диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
1 3
1 2
1 3
2 2
1 3 5 1
1 3 4 1
2 2 17 1
2 2 17 1
1 3 4 2
1 3 5
S
S
S
S
S
S

 



  



















 




1 2
2 3
1 3
2 1
1 3
4 0
3 1 13 0
1 9 13
S
S
S
S
S
S
 

















 


2 3
2 3
3 1
1 3
4 1
1 3
4 0
1 9 13 0
1 9 13 .
0 3
1 13 0
0 26 52
S
S
S
S













 



 














Выполним обратный ход. Запишем систему,исходя из коэффициентов последней матрицы, и последовательно найдем неизвестные.
1 2
3 3
2 3
2 3
3 1
2 3
3 4,
2,
9 13,
13 9 5,
26 52,
4 3
3.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x








 
 


 





  



Вопросы и задания.
Используя формулы Крамера и метод обратной матрицы найти решения следующих СЛАУ:
1.














11 3
2 1
3 2
5 2
3 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
; 2.














6 5
2 3
20 4
3 2
6 3
2 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
; 3.














11 4
2 3
11 2
4 3
4 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Решить следующие системы методом Гаусса.
1.























6 3
7 8
2 13 5
8 2
3 24 7
5 2
4 18 6
4 4
2 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Рекомендуемые источники информации
(№ источника)
Основная
Дополнительная
Методическая
Интернет-ресурсы
1 1
1,2 1,2
Практическое занятие 3.