Файл: Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине математика для студентов направления подготовки 43. 03. 03 Гостиничное дело Направленность (профиль) Гостиничная деятельность.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.12.2023
Просмотров: 54
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Тема занятия. Функции и пределы.
12
Цель занятия. Сформировать навыки вычисления пределов функций, а также вычисления приближенных значений функций.
В результате освоения темы обучающийся должен:
Знать:
-основные методы вычисления пределов функций, приближенных значений функций.
Уметь:
- вычислять пределы функций, приближенные значения функций.
Владеть:
- способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач (УК-1)
Актуальность темы. Пределы функций используются в экономических расчетах при нахождении предельных экономических показателей.
Теоретическая часть.
Пусть функция
)
(x
f
y
задана в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точкиa.
Число A называется пределом функции
)
(x
f
в точке
a
x
, если для любого положительного числа
0
найдётся такое положительное число
0
)
(
, что для всех
x
, удовлетворяющих неравенству
a
x
0
, выполняется неравенство
b
x
f
)
(
. В этом случае записывают
A
x
f
a
x
)
(
lim
Дадим геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке
(рис. 1.)
Рисунок 1.
Для всех точекx, отстоящих от точки a не дальше, чем на
, точки
M
графика функции
)
(x
f
лежат внутри полосы шириной
2
, ограниченной прямыми
,
b
y
b
y
Рассмотрим некоторые свойства пределов функций.
Пусть
B
x
g
A
x
f
a
x
a
x
)
(
lim
,
)
(
lim
, С- постоянная величина ,тогда y x b+ε b–ε b f (x)
2ε
ε
M a+δ a–δ a x
0
13 1.
С
С
a
x
lim
,
2.
A
C
x
f
С
x
f
С
a
x
a
x
)
(
))
(
(
lim lim
,
3.
A
C
x
f
С
x
f
С
a
x
a
x
)
(
))
(
(
lim lim
,
4.
B
A
)
x
(
g lim
)
x
(
f lim
))
x
(
g
)
x
(
f
(
lim a
x a
x a
x
,
5.
B
A
)
x
(
g lim
)
x
(
f lim
))
x
(
g
)
x
(
f
(
lim a
x a
x a
x
,
6.
B
A
)
x
(
g lim
)
x
(
f lim
)
x
(
g
)
x
(
f lim a
x a
x a
x
, если
0
)
x
(
g lim a
x
Два замечательных предела
Первый замечательный предел имеет вид:
1
sin lim
0
x
x
x
Второй замечательный предел имеет вид:
1 0
x lim
,
1 1
x lim
e
x
1
x
e
x
x
Рассмотрим примеры на вычисление пределов функций.
Пример 1.Вычислить предел
7 4
5 12
lim
2 2
x
x
x
x
Р е ш е н и е
При подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида
В примерах подобного типа числитель и знаменатель делят почленно на x n
, гдеn ˗степень многочлена в знаменателе.Разделим числитель и знаменатель на на
2
x
. В результате получим:
,
3 0
4 0
12 7
4 5
12
lim
7 4
5 12
lim
2 2
2
x
x
x
x
x
x
x
Так как, при
x
функции
x
5
и
2 7
x
стремятся к нулю.
Пример 2.Вычислить предел
9 3
5 18 3
4
lim
2 3
2 3
3
x
x
x
x
x
x
x
14
При подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида
0 0
, чтобы ее раскрыть разложим числитель и знаменатель на множители:
1 3
2 3
9 3
5 18 3
4 1
3 1
3 3
3 2
3 9
3 5
2 3
2 3
3 6
3 18 3
4 2
2 2
3 2
3 2
2 2
3 2
2 2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Сократим числитель и знаменатель на множитель
2 3
x
, в результате получим:
4 5
1 2
lim
9 3
5 18 3
4
lim
3 2
3 2
3 3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример 3.Вычислить предел
3 2
3 9
1 2
13
lim
x
x
x
x
При подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида
0 0
, чтобы ее раскрыть умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю,а выражение, стоящее в знаменателе разложим на множители.
1 2
13 3
3 1
2 13 1
2 13
lim
9 1
2 13
lim
3 3
3 2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1 2
13 3
3 9
3
lim
3 3
3
x
x
x
x
x
x
1 2
13 3
3 3
3
lim
3 1
3 1
3
x
x
x
x
x
x
0 1
2 13 3
3 3
lim
3 1
3 1
3
x
x
x
x
x
Пример 4.Вычислить предел
4 3
sin lim
0
x
x
x
Имеем неопределённость вида
0 0
, раскроем ее с помощью первого замечательного предела.
4 3
3 3
sin lim
4 3
3 4
3
sin
3
lim
4 3
sin lim
0 0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример 5. Вычислить предел
x
x
x
x
cos
1
sin
2
lim
0
Воспользуемся тригонометрическими формулами:
,
2
cos
2
sin
2
sin
;
cos
1 2
sin
2 2
x
x
x
x
x
в результате получим
15 0
0 0
2 0
0 2
2 sin cos
2
cos
2 sin
0 2
2 2
lim lim lim
1
cos
0 2 sin sin
2 2
2 lim cos
2 1 2
4 1
sin
1 1
2 2
lim
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример 6.Вычислить предел
4 3
1 3
lim
1 2
x
x
x
x
Подстановка предельного значения приводит к неопределённости вида
1 .
Для её раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом.
1 3
4 1
lim
3 1
1
lim
4 3
1 3
lim
3 4
1 3
1 1
lim
4 3
1 3
lim
2 2
1 2
1 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1 4
3 1
1
lim
3 1
1
lim
3 10 3
10 3
8 3
2 3
8 4
3 3
2 3
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
Вопросы и задания.
1. Определение предела функции.
2. Основные свойства пределов функций.
3. Методы вычисления пределов функций.
4. Первый замечательный предел.
5. Второй замечательный предел.
Вычислить пределы функций.
4 3
5
lim
1 2
4
x
x
x
. 2.
7 49
lim
2 7
x
x
x
16 3.
3 5
2 1
2
lim
2 2
2 1
x
x
x
x
x
. 4.
8 2
6
lim
3 3
2
x
x
x
5.
1 6
8 8
4 5
lim
3 2
3
x
x
x
x
x
. 6.
3 5
4 2
2
lim
2 4
x
x
x
x
x
7.
2 4
3 2
x x
1
x lim x
x x
8.
x
0
sin 5x lim sin 2x
9.
2
x
0 1 cos x lim x
. 10.
3
x
0
tgx sin x lim x
11.
2
x
2 2
x
2x
2
lim
2x
1
. 12.
х
x
х
5 0
2 1
lim
Рекомендуемые источники информации
(№ источника)
Основная
Дополнительная
Методическая
Интернет-ресурсы
1 1
1,2 1,2
Практическое занятие 4.
Тема занятия
.
Производная и дифференциал функции одной переменной.
Цель занятия. Сформировать навыки вычисления производных сложной функции.
В результате освоения темы обучающийся должен:
Знать:
- таблицу производных и правила дифференцирования.
Уметь:
- находить производные сложных функций.
Владеть:
- способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач (УК-1)
Актуальность темы. Производная сложной функции используюется в управленческих задачах.
Теоретическая часть.
Определение производной
Производной функции у = f (x) называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю:
17
x
x
f
x
x
f
x
x
y
x
x
f
)
(
)
(
0 0
lim lim
)
(
Если этот предел конечный, то производная существует и функция f (x) называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначаетсяу'(x) или
dy
dx
Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.
Правила дифференцирования функций
ПустьС
R— постоянная, и = и (х), v = v(x) — функции, имеющие производные.
1. С ' =0 . 2. (Си)' =С ∙ u' .
3. (u ± v)' = и' ± v'. 4. (u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’ .
5.
2
v
v
u
v
u
v
u
Правило дифференцирования сложной функции
Если функция y = f(u) дифференцируема пои, а функцияи = φ
(x)дифференцируемапо х, то производная сложной функцииy = f(φ (x)) определяется формулой y' =f ' (u) ∙ u' (x) .
Таблица производных сложных функций
1.
u
u
n
u
n
n
1
)
(
1а.
u
u
u
2
1б.
2 1
1
u
u
u
u
2.
u
a
a
a
u
u
ln
2а.
u
e
e
u
u
3.
a
u
u
u
a
ln log
3а.
u
u
u
ln
4.
u
sin cosu
u
5.
u
u
u
sin cos
6.
u
u
u
2
cos tg
7. (ctgu)
u
u
2
sin
8.
2 1
arcsin
u
u
u
9.
2 1
arccos
u
u
u
10.
2 1
arctg
u
u
u
11.
2 1
arcctg
u
u
u
Производные второго порядка
Производной второго порядка (второй производной) от функции
)
(x
f
y
называется производная от ее производной, т. е.
)
)
(
(
)
(
x
f
x
f
18
Вторую производную также обозначают
)
(x
y
или
2 2
dx
y
d
. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д.
Производную n-го порядка обозначают
)
(
)
(
x
y
n
или
n
n
dx
y
d
Покажем на примерах, как следует пользоваться приведенными выше формулами.
Пример1. Найти производную:
)
x
(
cos y
2 2
2 2
2 2
2 2
x
2
sin x
2
x x
sin x
cos
2
x cos x
cos
2
y
Пример 2. Найти производную: x
arcsin y
,
2 2
x x
2 1
x
1
x
2 1
x
1
x y
Пример 3. Найти производную:
1
x arctg ln y
Решение.
2 3
x x
2 1
1
x arctg
1 1
x
1 1
x
1
x arctg
1 1
x arctg
1
x arctg y
Пример 4. Найти производную функции
x
x
x
tg
y
sin
2
ln
2 2
2 2
2 1
1 1
sin cos
1
sin cos sin sin cos
2
sin sin sin cos
2sin cos
2 2
2 2
cos sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
x
Пример 5. Найти производную функции
8 4
1 2
x
x
arctg
y
3 8
7 4
8 2 3
11 11 3
11 8 2 8 2 8 2 8 2 8
8 2 3
8 3
8 2 8
1 8 (1
) ( 8
)2
(1
) (8 8
16
)
8 8
(1
)
(1
) (1
)
(1
)
4 1
(1
)
8 (1
)
8
(1
)
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Вопросы и задания.
1. Дайте определение производной функции в точке.
19 2. Сформулируйте основные правила дифференцирования.
3. Запишите таблицу производных.
4. Как определяется производная второго, n-го порядка?
Найти производную функции.
1.
4 3
3
x
2 4
3
y
. Ответ:
4 3
3 2
3
x
2 4
3
x
2
y
2.
2
x
1
x y
. Ответ:
3 2
x
1 1
y
3.
2
x
1 1
arctg y
.Ответ:
4 2
x x
2 2
x
2
y
4.
3 2
2
x
2 6
2
x ln y
. Ответ:
2 2
3
x
3 2
x x
y
5. lnlntgx
y
Ответ:
2
sin 2 ln
y
x
tgx
6.
1
arcsin
x
y
e
Ответ:
1
arcsin
2 1
x
e
y
x x
Рекомендуемые источники информации
(№ источника)
Основная
Дополнительная
Методическая
Интернет-ресурсы
1 1
1,2 1,2
Практическое занятие 5.
Тема занятия. Исследование функций и построение их графиков.
Цель занятия. Формирование навыковприменения дифференциального исчисления к построению графиков функций.
В результате освоения темы обучающийся должен:
Знать:
-определение экстремума функции, точки перегиба, асимптот, схему исследования и построения графиков функций.
Уметь:
- проводить исследование и построение графиков функций.
Владеть:
- способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач (УК-1)
20
Актуальность темы. Исследование и построение графиков функций используется в экономических задачах.
Теоретическая часть.
Рассмотрим функцию
)
(x
f
y
, непрерывную в точке
0
x
. Точка
0
x называется точкой максимума (минимума) функции
)
(x
f
y
, если существует такая окрестность точки
0
x
, что для всех
0
x
x
из этой окрестности выполняется неравенство
)
(
)
(
0
x
f
x
f
(
)
(
)
(
0
x
f
x
f
). Значение функции в точке максимума называется максимумом функции:
)
(
max max
x
f
y
.Значение функции в точке минимума называется минимумом функции:
)
(
min min
x
f
y
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума
функции. Значения функции в точках экстремума называются экстремумами
функции.
Если функция
)
(x
f
y
имеет в точке
0
x экстремум, то
0
)
(
0
x
f
или
)
(
0
x
f
не существует – необходимое условие экстремума. Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать только среди тех точек, в которых производная функции равна нулю или не существует, такие точки называются
критическими или стационарными точками функции.
Если функция
)
(x
f
y
непрерывна в некоторой окрестности критической точки
0
x
и дифференцируема в этой окрестности (за исключением может быть, самой точки
0
x
) и если при переходе
x
через точку
0
x
(слева направо):
1)
)
( x
f
меняет знак с «+» на «−», то точка
0
x
есть точка максимума функции,
2)
)
( x
f
меняет знак с «−» на «+», то точка
0
x
есть точка минимума функции,
3)
)
( x
f
не меняет знак, то в точке
0
x
функция не имеет экстремума.
Если в критической точке
0
x
функция
)
(x
f
y
дважды дифференцируема, то определить характер экстремума (если в точке
0
x
функции имеет экстремум) можно по знаку второй производной:
1) если
0
)
(
0
x
f
, то
0
x
− точка максимума функции,
2) если
0
)
(
0
x
f
, то
0
x
− точка минимума функции.
График функции y = f(x) называется выпуклым вверх на интервале (a; b) если в пределах этого интервала график функции y = f(x) лежит ниже любой своей касательной.
График функции y = f(x) называется выпуклым вниз на интервале (a; b) если в пределах этого интервала график функции y = f(x) лежит выше любой своей касательной.
Точка графика функции y = f(x) M
0
(x
0
; f(x
0
)) называется точкой перегиба
графика, если при переходе x через x
0
график меняет направление выпуклости.
В точке перегиба
0
x
вторая производная функции f равна нулю
0
)
(
0
x
f
(необходимое условие перегиба).
12
Цель занятия. Сформировать навыки вычисления пределов функций, а также вычисления приближенных значений функций.
В результате освоения темы обучающийся должен:
Знать:
-основные методы вычисления пределов функций, приближенных значений функций.
Уметь:
- вычислять пределы функций, приближенные значения функций.
Владеть:
- способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач (УК-1)
Актуальность темы. Пределы функций используются в экономических расчетах при нахождении предельных экономических показателей.
Теоретическая часть.
Пусть функция
)
(x
f
y
задана в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точкиa.
Число A называется пределом функции
)
(x
f
в точке
a
x
, если для любого положительного числа
0
найдётся такое положительное число
0
)
(
, что для всех
x
, удовлетворяющих неравенству
a
x
0
, выполняется неравенство
b
x
f
)
(
. В этом случае записывают
A
x
f
a
x
)
(
lim
Дадим геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке
(рис. 1.)
Рисунок 1.
Для всех точекx, отстоящих от точки a не дальше, чем на
, точки
M
графика функции
)
(x
f
лежат внутри полосы шириной
2
, ограниченной прямыми
,
b
y
b
y
Рассмотрим некоторые свойства пределов функций.
Пусть
B
x
g
A
x
f
a
x
a
x
)
(
lim
,
)
(
lim
, С- постоянная величина ,тогда y x b+ε b–ε b f (x)
2ε
ε
M a+δ a–δ a x
0
13 1.
С
С
a
x
lim
,
2.
A
C
x
f
С
x
f
С
a
x
a
x
)
(
))
(
(
lim lim
,
3.
A
C
x
f
С
x
f
С
a
x
a
x
)
(
))
(
(
lim lim
,
4.
B
A
)
x
(
g lim
)
x
(
f lim
))
x
(
g
)
x
(
f
(
lim a
x a
x a
x
,
5.
B
A
)
x
(
g lim
)
x
(
f lim
))
x
(
g
)
x
(
f
(
lim a
x a
x a
x
,
6.
B
A
)
x
(
g lim
)
x
(
f lim
)
x
(
g
)
x
(
f lim a
x a
x a
x
, если
0
)
x
(
g lim a
x
Два замечательных предела
Первый замечательный предел имеет вид:
1
sin lim
0
x
x
x
Второй замечательный предел имеет вид:
1 0
x lim
,
1 1
x lim
e
x
1
x
e
x
x
Рассмотрим примеры на вычисление пределов функций.
Пример 1.Вычислить предел
7 4
5 12
lim
2 2
x
x
x
x
Р е ш е н и е
При подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида
В примерах подобного типа числитель и знаменатель делят почленно на x n
, гдеn ˗степень многочлена в знаменателе.Разделим числитель и знаменатель на на
2
x
. В результате получим:
,
3 0
4 0
12 7
4 5
12
lim
7 4
5 12
lim
2 2
2
x
x
x
x
x
x
x
Так как, при
x
функции
x
5
и
2 7
x
стремятся к нулю.
Пример 2.Вычислить предел
9 3
5 18 3
4
lim
2 3
2 3
3
x
x
x
x
x
x
x
14
При подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида
0 0
, чтобы ее раскрыть разложим числитель и знаменатель на множители:
1 3
2 3
9 3
5 18 3
4 1
3 1
3 3
3 2
3 9
3 5
2 3
2 3
3 6
3 18 3
4 2
2 2
3 2
3 2
2 2
3 2
2 2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Сократим числитель и знаменатель на множитель
2 3
x
, в результате получим:
4 5
1 2
lim
9 3
5 18 3
4
lim
3 2
3 2
3 3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример 3.Вычислить предел
3 2
3 9
1 2
13
lim
x
x
x
x
При подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида
0 0
, чтобы ее раскрыть умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю,а выражение, стоящее в знаменателе разложим на множители.
1 2
13 3
3 1
2 13 1
2 13
lim
9 1
2 13
lim
3 3
3 2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1 2
13 3
3 9
3
lim
3 3
3
x
x
x
x
x
x
1 2
13 3
3 3
3
lim
3 1
3 1
3
x
x
x
x
x
x
0 1
2 13 3
3 3
lim
3 1
3 1
3
x
x
x
x
x
Пример 4.Вычислить предел
4 3
sin lim
0
x
x
x
Имеем неопределённость вида
0 0
, раскроем ее с помощью первого замечательного предела.
4 3
3 3
sin lim
4 3
3 4
3
sin
3
lim
4 3
sin lim
0 0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример 5. Вычислить предел
x
x
x
x
cos
1
sin
2
lim
0
Воспользуемся тригонометрическими формулами:
,
2
cos
2
sin
2
sin
;
cos
1 2
sin
2 2
x
x
x
x
x
в результате получим
15 0
0 0
2 0
0 2
2 sin cos
2
cos
2 sin
0 2
2 2
lim lim lim
1
cos
0 2 sin sin
2 2
2 lim cos
2 1 2
4 1
sin
1 1
2 2
lim
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример 6.Вычислить предел
4 3
1 3
lim
1 2
x
x
x
x
Подстановка предельного значения приводит к неопределённости вида
1 .
Для её раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом.
1 3
4 1
lim
3 1
1
lim
4 3
1 3
lim
3 4
1 3
1 1
lim
4 3
1 3
lim
2 2
1 2
1 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1 4
3 1
1
lim
3 1
1
lim
3 10 3
10 3
8 3
2 3
8 4
3 3
2 3
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
Вопросы и задания.
1. Определение предела функции.
2. Основные свойства пределов функций.
3. Методы вычисления пределов функций.
4. Первый замечательный предел.
5. Второй замечательный предел.
Вычислить пределы функций.
4 3
5
lim
1 2
4
x
x
x
. 2.
7 49
lim
2 7
x
x
x
16 3.
3 5
2 1
2
lim
2 2
2 1
x
x
x
x
x
. 4.
8 2
6
lim
3 3
2
x
x
x
5.
1 6
8 8
4 5
lim
3 2
3
x
x
x
x
x
. 6.
3 5
4 2
2
lim
2 4
x
x
x
x
x
7.
2 4
3 2
x x
1
x lim x
x x
8.
x
0
sin 5x lim sin 2x
9.
2
x
0 1 cos x lim x
. 10.
3
x
0
tgx sin x lim x
11.
2
x
2 2
x
2x
2
lim
2x
1
. 12.
х
x
х
5 0
2 1
lim
Рекомендуемые источники информации
(№ источника)
Основная
Дополнительная
Методическая
Интернет-ресурсы
1 1
1,2 1,2
Практическое занятие 4.
Тема занятия
.
Производная и дифференциал функции одной переменной.
Цель занятия. Сформировать навыки вычисления производных сложной функции.
В результате освоения темы обучающийся должен:
Знать:
- таблицу производных и правила дифференцирования.
Уметь:
- находить производные сложных функций.
Владеть:
- способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач (УК-1)
Актуальность темы. Производная сложной функции используюется в управленческих задачах.
Теоретическая часть.
Определение производной
Производной функции у = f (x) называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю:
17
x
x
f
x
x
f
x
x
y
x
x
f
)
(
)
(
0 0
lim lim
)
(
Если этот предел конечный, то производная существует и функция f (x) называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначаетсяу'(x) или
dy
dx
Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.
Правила дифференцирования функций
ПустьС
R— постоянная, и = и (х), v = v(x) — функции, имеющие производные.
1. С ' =0 . 2. (Си)' =С ∙ u' .
3. (u ± v)' = и' ± v'. 4. (u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’ .
5.
2
v
v
u
v
u
v
u
Правило дифференцирования сложной функции
Если функция y = f(u) дифференцируема пои, а функцияи = φ
(x)дифференцируемапо х, то производная сложной функцииy = f(φ (x)) определяется формулой y' =f ' (u) ∙ u' (x) .
Таблица производных сложных функций
1.
u
u
n
u
n
n
1
)
(
1а.
u
u
u
2
1б.
2 1
1
u
u
u
u
2.
u
a
a
a
u
u
ln
2а.
u
e
e
u
u
3.
a
u
u
u
a
ln log
3а.
u
u
u
ln
4.
u
sin cosu
u
5.
u
u
u
sin cos
6.
u
u
u
2
cos tg
7. (ctgu)
u
u
2
sin
8.
2 1
arcsin
u
u
u
9.
2 1
arccos
u
u
u
10.
2 1
arctg
u
u
u
11.
2 1
arcctg
u
u
u
Производные второго порядка
Производной второго порядка (второй производной) от функции
)
(x
f
y
называется производная от ее производной, т. е.
)
)
(
(
)
(
x
f
x
f
18
Вторую производную также обозначают
)
(x
y
или
2 2
dx
y
d
. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д.
Производную n-го порядка обозначают
)
(
)
(
x
y
n
или
n
n
dx
y
d
Покажем на примерах, как следует пользоваться приведенными выше формулами.
Пример1. Найти производную:
)
x
(
cos y
2 2
2 2
2 2
2 2
x
2
sin x
2
x x
sin x
cos
2
x cos x
cos
2
y
Пример 2. Найти производную: x
arcsin y
,
2 2
x x
2 1
x
1
x
2 1
x
1
x y
Пример 3. Найти производную:
1
x arctg ln y
Решение.
2 3
x x
2 1
1
x arctg
1 1
x
1 1
x
1
x arctg
1 1
x arctg
1
x arctg y
Пример 4. Найти производную функции
x
x
x
tg
y
sin
2
ln
2 2
2 2
2 1
1 1
sin cos
1
sin cos sin sin cos
2
sin sin sin cos
2sin cos
2 2
2 2
cos sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
x
Пример 5. Найти производную функции
8 4
1 2
x
x
arctg
y
3 8
7 4
8 2 3
11 11 3
11 8 2 8 2 8 2 8 2 8
8 2 3
8 3
8 2 8
1 8 (1
) ( 8
)2
(1
) (8 8
16
)
8 8
(1
)
(1
) (1
)
(1
)
4 1
(1
)
8 (1
)
8
(1
)
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Вопросы и задания.
1. Дайте определение производной функции в точке.
19 2. Сформулируйте основные правила дифференцирования.
3. Запишите таблицу производных.
4. Как определяется производная второго, n-го порядка?
Найти производную функции.
1.
4 3
3
x
2 4
3
y
. Ответ:
4 3
3 2
3
x
2 4
3
x
2
y
2.
2
x
1
x y
. Ответ:
3 2
x
1 1
y
3.
2
x
1 1
arctg y
.Ответ:
4 2
x x
2 2
x
2
y
4.
3 2
2
x
2 6
2
x ln y
. Ответ:
2 2
3
x
3 2
x x
y
5. lnlntgx
y
Ответ:
2
sin 2 ln
y
x
tgx
6.
1
arcsin
x
y
e
Ответ:
1
arcsin
2 1
x
e
y
x x
Рекомендуемые источники информации
(№ источника)
Основная
Дополнительная
Методическая
Интернет-ресурсы
1 1
1,2 1,2
Практическое занятие 5.
1 2 3 4 5
Тема занятия. Исследование функций и построение их графиков.
Цель занятия. Формирование навыковприменения дифференциального исчисления к построению графиков функций.
В результате освоения темы обучающийся должен:
Знать:
-определение экстремума функции, точки перегиба, асимптот, схему исследования и построения графиков функций.
Уметь:
- проводить исследование и построение графиков функций.
Владеть:
- способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач (УК-1)
20
Актуальность темы. Исследование и построение графиков функций используется в экономических задачах.
Теоретическая часть.
Рассмотрим функцию
)
(x
f
y
, непрерывную в точке
0
x
. Точка
0
x называется точкой максимума (минимума) функции
)
(x
f
y
, если существует такая окрестность точки
0
x
, что для всех
0
x
x
из этой окрестности выполняется неравенство
)
(
)
(
0
x
f
x
f
(
)
(
)
(
0
x
f
x
f
). Значение функции в точке максимума называется максимумом функции:
)
(
max max
x
f
y
.Значение функции в точке минимума называется минимумом функции:
)
(
min min
x
f
y
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума
функции. Значения функции в точках экстремума называются экстремумами
функции.
Если функция
)
(x
f
y
имеет в точке
0
x экстремум, то
0
)
(
0
x
f
или
)
(
0
x
f
не существует – необходимое условие экстремума. Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать только среди тех точек, в которых производная функции равна нулю или не существует, такие точки называются
критическими или стационарными точками функции.
Если функция
)
(x
f
y
непрерывна в некоторой окрестности критической точки
0
x
и дифференцируема в этой окрестности (за исключением может быть, самой точки
0
x
) и если при переходе
x
через точку
0
x
(слева направо):
1)
)
( x
f
меняет знак с «+» на «−», то точка
0
x
есть точка максимума функции,
2)
)
( x
f
меняет знак с «−» на «+», то точка
0
x
есть точка минимума функции,
3)
)
( x
f
не меняет знак, то в точке
0
x
функция не имеет экстремума.
Если в критической точке
0
x
функция
)
(x
f
y
дважды дифференцируема, то определить характер экстремума (если в точке
0
x
функции имеет экстремум) можно по знаку второй производной:
1) если
0
)
(
0
x
f
, то
0
x
− точка максимума функции,
2) если
0
)
(
0
x
f
, то
0
x
− точка минимума функции.
График функции y = f(x) называется выпуклым вверх на интервале (a; b) если в пределах этого интервала график функции y = f(x) лежит ниже любой своей касательной.
График функции y = f(x) называется выпуклым вниз на интервале (a; b) если в пределах этого интервала график функции y = f(x) лежит выше любой своей касательной.
Точка графика функции y = f(x) M
0
(x
0
; f(x
0
)) называется точкой перегиба
графика, если при переходе x через x
0
график меняет направление выпуклости.
В точке перегиба
0
x
вторая производная функции f равна нулю
0
)
(
0
x
f
(необходимое условие перегиба).