Файл: Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине математика для студентов направления подготовки 43. 03. 03 Гостиничное дело Направленность (профиль) Гостиничная деятельность.pdf

21
Если вторая производная
)
(x
f

дважды дифференцируемой функции при переходе через точку
0
x
меняет свой знак, то точка
0
x
есть точка перегиба её графика (достаточное условие перегиба).
Алгоритм исследования функции на выпуклость
и точки перегиба
1. Находим вторую производную функции
)
(x
f

2. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
3. Исследуем знак второй производной слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба. Если вторая производная будет менять свой знак с плюса на минус или с минуса на плюс в исследуемой точке, то эта точка и будет точкой перегиба графика функции. Если вторая производная знака не меняет, то функция не имеет точек перегиба.
Асимптоты графика функции
Прямая Lназывается асимптотой кривой y = f(x), если расстояние от точки
M(x; y) кривой до этой прямой Lстремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат. Прямая x = aявляется
вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:
 


 














или
x
f
или
x
f
a
x
a
x
0 0
lim lim
Прямая y = kx + b наклонная асимптота кривой y=f(x) при


x
(при


x
), если выполняются условия:
 
 


 
 


lim lim lim lim






















b
x
k
x
f
и
k
x
x
f
b
x
k
x
f
и
k
x
x
f
x
x
x
x
Частный случай наклонной асимптоты при
0 и
k
b

 
– горизонтальная асимптота y = b.
Общая схема исследования
и построения графикафункции
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на чётность и нечётность, периодичность.
3. Исследовать функцию на непрерывность и вертикальные асимптоты.
4. Исследовать поведение функции на бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

22 7. Найти точки пересечения функции с осями координат.
8. Построить график функции.
Пример 1. Найти асимптоты графика функции
2 2
3 2




x
x
x
y
Найдемобласть определения функции
  
 

;
2 2
;






y
D
2 0

x
есть точка разрыва графика функции, через нее может проходить вертикальная асимптота.
Найдем
 
















0 12 2
2 3
lim lim
2 0
2 0
0
x
x
x
x
f
x
x
x
,следовательно, прямая
2 0

x
является вертикальной асимптотой.
Найдем наклонную асимптоту:y = kx + b


 








 




2 2
2 2
2 2
разделим числитель
3 2
lim lim и знаменатель на
2 1
2 3
lim
3;
2 1
3 2
3 2 3 6
lim lim
3
lim
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f x
x
x
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b
f x
k x
x
x
x












 

 





 


 
 





 
  


 


















5 2
1 2
5
lim
2 2
5
lim














x
x
x
x
x
x
x
x
Нашли, чтоk = 3 и b = 5, следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = 3 x + 5.
Вопросы и задания.
1. Определение экстремума функции.
2. Определение точки перегиба графика функции.
3. Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба.
4. Асимптоты графика функции.
5. Общая схема исследования и построения графика функции.
Найти экстремумы функций:
1.
x
x
x
y
2 2
1 3
1 2
3



. 2.
x
x
x
y
6 2
1 3
1 2
3



Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции:

23 1.
2 4
2 12
x
x
y


. 2.
3 2
5 3
5
y
x
x
x




Найти асимптоты графиков следующих функций:
1.
3 2
2



x
x
y
. 2.
x
x
x
y




1 1
2 5
2
Исследовать функцию и построить её график.
1.


2 3
2 3


x
x
y
. 2.


2 1
3
x
x
y


Рекомендуемые источники информации
(№ источника)
Основная
Дополнительная
Методическая
Интернет-ресурсы
1 1
1,2 1,2
Практическое занятие 6.
Тема занятия. Методы вычисления вероятностей случайных событий.
Цельзанятия. Закрепить навыки применения вероятностых моделей в процессах управления.
В результате освоения темы обучающийся должен:
Знать:
- определение теорем сложения и умножения вероятностей.
Уметь:
- применять теоремы сложения и умножения вероятностей.
Владеть:
- способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач (УК-1)
Актуальность темы. Теория вероятностей используется в расчетах.
Теоретическая часть.
Классическое определение вероятности.
Вероятность события А определяется формулой
n
m
A
P

)
(
, где m — число элементарных событий, благоприятствующих появлению события
А, n — число всех элементарных событий, входящих в .
Это определение называется классическим определением вероятности.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то все элементарные события


24 благоприятствуют ему. В этом случае m=n и, следовательно,
1
)
(




n
n
n
m
P
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни одно элементарное событие не благоприятствует ему. В этом случае m=0 и, следовательно,
0 0
)
(




n
n
m
P
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное
между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. В этом случае
n
m


0
, а значит,
1 0


n
m
и, следовательно,
1
)
(
0


A
P
Итак, вероятность любого события удовлетворяет неравенствам
1
)
(
0


A
P
Если пространство содержит бесконечное множество элементарных событий, то используется геометрическое определение вероятности, когда вероятность попадания точки в любую область пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы.
( )
mesg
P A
mesG

, где mes – мера длины, площади, объема, g – часть области G.
Пример 1. Бросается игральный кубик. Пространство элементарных событий, отвечающее данному эксперименту, имеет следующий вид:.


1 2
6
,
,...,
 

 
Пусть событие Aсостоит в появлении четного числа очков. Событие A есть подмножество.


\
2 4
6
,
,
,
A
  


Элементарные события, входящие в состав случайного события Aназываются событиями, благоприятствующими появлению события A. Два или несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо событие более возможным, чем любое другое.
Пример 2. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Среди них 2 выигрыша по
50 руб., 5 – 20 руб., 10–10 руб., 25–5 руб. Некто купил один билет. Найти вероятность выигрыша не менее 20 рублей.
Решение.
По условию: 1000 = 2 50
+5 20
+10 10
+25 5
+958
проигрыш
Пусть А- искомое событие. Выигрыш не менее 20 рублей – это выигрыш в 20 рублей, который встречается m
1
=5 раз и выигрыш в 50 рублей, который встречается m
2
=2 раза. Тогда m=m
1
+ m
2
.n=1000 - общее количество всех билетов.
5 2
P( )
0, 007.
1000
m
A
n






25
Пример 3. Из 90 случайно отобранных одинаковых деталей выявлено 3 бракованных. Относительная частота бракованных деталей равна
3 1
( )
90 30
W A


При увеличении числа испытаний (опытов) наблюдается устойчивость относительной частоты, т.е. существует некоторая постоянная величина, около которой группируется относительная частота и к которой она все больше приближается с увеличением числа испытаний. Эта постоянная величина называется
вероятностью
случайного
событи
и обозначаетсяР(А).
Рассмотренное понятие вероятности случайного события является статистическим определением вероятности.
Пусть события А и В — несовместные, причем вероятности этих событий даны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие
В, т.е. вероятность суммы этих событий А+В? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.Вероятность
суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
B
A
P



Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность
произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей
этих событий:
(
)
( )
( ).
P AB
P A P B


Следствие.Вероятность произведения нескольких независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий:
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1
2 1
n
n
A
P
A
P
A
P
A
A
A
P









Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность
произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в
предположении, что первое событие уже наступило:
)
(
)
/
(
)
(
B
P
B
A
P
AB
P


Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.
Вероятность появления красного шара (событие А)
3 1
30 10
)
(


A
P
Вероятность появления синего шара (событие В)
6 1
30 5
)
(


B
P
События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому искомая вероятность равна

26 2
1 6
1 3
1
)
(
)
(
)
(






B
P
A
P
B
A
P
Так как противоположные события вместе образуют достоверное событие, то
1
)
(
)
(
)
(




A
P
A
P
P
, поэтому
)
(
1
)
(
A
P
A
P


Пример 2. Вероятность того, что день будет дождливым, равна
3
,
0

p
. Найти вероятность того, что день будет ясным.
События «день дождливый» и «день ясный» — противоположные, поэтому искомая вероятность равна
7
,
0 3
,
0 1
1





p
q
Пример 3.Мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна 0,15; во вторую - 0,23; в третью - 0,17. Найти вероятность промаха.
Обозначим событие

- промах, А - попадание в мишень. Тогда
,
3 2
1







где
3 2
1
,
,



- попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны. По теореме сложения вероятностей:
2 1
(
)
(
)
(
A
P
A
P
A
P


)
55
,
0 17
,
0 23
,
0 15
,
0
)
(
3





A
P
откуда
45
,
0
)
(
1
)
(




A
P
P
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может либо произойти (успех), либо не произойти (неудача). Будем считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q=1–p. Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли.
В качестве таких испытаний можно рассматривать, например, производство изделий на определенном оборудовании при постоянстве технологических и организационных условий, в этом случае изготовление годного изделия — успех, бракованного — неудача. Эта ситуация соответствует схеме Бернулли, если считать, что процесс изготовления одного изделия не зависит от того, были годными или бракованными предыдущие изделия.
Другим примером является стрельба по мишени. Здесь попадание — успех, промах — неудача.
Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n—k раз, т.е. будет k успехов и n—k неудач.
Искомую вероятность обозначим
)
(k
P
n
. Например, символ
)
3
(
5
P
означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.
Последовательность п независимых испытаний можно рассматривать как сложное событие, являющееся произведением п независимых событий.
Следовательно, вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит k раз

27 и не наступит n—k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий, равна
k
n
k
q
p

Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из п элементов по k элементов, т.е.
k
n
C
Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий, искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появление k раз события А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число
k
n
k
k
n
n
q
p
C
k
P


)
(
или
k
n
k
n
q
p
k
n
k
n
k
P



)!
(
!
!
)
(
Полученную формулу называют формулой Бернулли.
Пример 1. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна
75
,
0

p
. Найти вероятность того, что в течение 4 суток из ближайших 6 суток расход электроэнергии не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии на продолжении каждых из 6 суток постоянна и равна
75
,
0

p
. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна
25
,
0 75
,
0 1
1





p
q
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна
0,297 4096 1215
)
25
,
0
(
)
75
,
0
(
2 1
5 6
)
4
(
2 4
2 4
2 6
2 4
4 6
6








q
p
C
q
p
C
P
В ряде задач представляет интерес наивероятнейшее число успехов, т.е. такое число успехов, вероятность которого самая большая среди вероятностей.
Так как при увеличении k вероятности сначала возрастают, а затем, с определенного момента, начинают убывать, то для
ˆ
m
имеют место соотношения
ˆ
ˆ
( )
(
1)
n
n
P m
P m


и
ˆ
ˆ
( )
(
1)
n
n
P m
P m


Используя формулу и соотношение
1


q
p
, получаем соответственно неравенства
ˆ
ˆ
(
1)
n m
p
mq
 

и
ˆ
ˆ
(
1)
(
)
m
q
n m p

 
ˆ
m

28
Окончательно получаем, что лежит в интервале единичной длины:
ˆ
np q
m
np
p
  

Однако, стоит заметить, что использование формулы Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.
Например, если
50

n
,
30

k
,
,
1
,
0

p
, то для отыскания вероятности надо вычислить выражение
20 30 50
)
9
,
0
(
)
1
,
0
(
!
20
!
30
!
50
)
30
(




P
, где
57 10 30414093
!
50


;
25 10 26525286
!
30


;
11 10 24329020
!
20


Локальная теорема Лапласа.Если вероятность р появления события А в
каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность
того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно
равна (тем точнее, чем больше п) значению функции
)
(
1 2
1 1
2 2
x
npq
e
npq
y
x







при
npq
np
k
x


Имеются таблицы, в которых помещены значения функции
2 2
2 1
)
(
x
e
x




При этом следует учитывать, что
)
(
)
(
x
x




, так как функция
)
(x

четная.
Следовательно, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна
)
(
1
)
(
x
npq
k
P
n



, где
npq
np
k
x


Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию
400

n
;
80

k
;
2
,
0

p
;
8
,
0

q
Воспользуемся формулой
(4.7):
)
(
8 1
)
(
8
,
0 2
,
0 400 1
)
80
(
400
x
x
P








Вычислим определяемое данными задачи значение х:
0 8
2
,
0 400 80






npq
np
k
x
По таблице находим
3989
,
0
)
0
(


Искомая вероятность равна
04986
,
0 3989
,
0 8
1
)
80
(
400



P
ˆ
m
)
30
(
50
P
)
(k
P
n