Файл: Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине математика для студентов направления подготовки 43. 03. 03 Гостиничное дело Направленность (профиль) Гостиничная деятельность.pdf

45
Например, гипотеза
0
H
: математическое ожидание нормального распределения равно 3 (

известно) — простая.
Сложной называется гипотеза, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, сложная гипотеза
:
5


состоит из бесчисленного множества простых гипотез вида
i
H
:
i
b


, где
i
b
— любое число, большее 5.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость статистической (производимой статистическими методами) проверки этой гипотезы. В итоге статистической проверки гипотезы могут быть допущены ошибки.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.
Для проверки нулевой гипотезы используется специально подобранная случайная величина, точное или приближенное распределение которой известно. Эта случайная величина обозначается через
K
и называется
статистическим критерием (или просто критерием).
Приведем пример статистического критерия. Если проверяется гипотеза о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия
K
принимается отношение исправленных выборочных дисперсий:
2 2
2 1
s
s
F

Наблюдаемым
значением
называется значение критерия, вычисленное по выборкам. Например, если по двум выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии
20 2
1

s
и
5 2
2

s
, то наблюдаемое значение критерия
F
равно
4 5
20 2
2 2
1



s
s
F
набл
После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивается на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая — при которых она принимается.
Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается.
Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называется совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза принимается.
Поскольку критерий
K
— одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.
H
набл
K

46
Критическими точками (границами)
кр
k
называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.
Правосторонней называется критическая область, определяемая неравенством
кр
k
K

, где
кр
k
— положительное число.
Рис.1.
Левосторонней называется критическая область, определяемая неравенством
, где
— отрицательное число.
Рис.2.
Односторонней называется правосторонняя или левосторонняя критическая область.
Двусторонней называется критическая область, определяемая неравенствами
1
k
K

,
2
k
K

, где
1 2
k
k

. В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что
кр
k
K


)
кр
k
K


,
кр
k
K

, или равносильным неравенством
кр
k
K

Рис.3.
Для нахождения критической области достаточно найти критическую точку (точки). Для нахождения же такой точки задается достаточно малая вероятность — уровень значимости

. Затем критическая точка
кр
k
ищется исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий
K
примет значения из критической области, была равна принятому уровню значимости.
Например, для правосторонней критической области должно выполняться соотношение



)
(
кр
k
K
P
, для левосторонней —



)
(
кр
k
K
P
, а для двусторонней —





)
(
)
(
2 1
k
K
P
k
K
P
кр
k
K

кр
k
0
К
кр
k
0
К
0
К
кр
k

47
Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находится критическая точка.
Если распределение критерия симметрично относительно нуля и имеются основания выбрать симметричные относительно нуля точки
кр
k

и
кр
k
(
0

кр
k
), то
)
(
)
(
кр
кр
k
K
P
k
K
P




. Учитывая это соотношение, из для двусторонней критической области получим соотношение
2
)
(



кр
k
K
P
Мощностью критерия называется вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.
Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.
Пусть для проверки гипотезы принят определенный уровень значимости, и выборка имеет фиксированный объем. Если

— вероятность ошибки второго рода, т.е. события «принята нулевая гипотеза, причем справедлива конкурирующая», то мощность критерия равна


1
Пусть мощность


1
возрастает; следовательно, уменьшается вероятность

совершить ошибку второго рода. Таким образом, чем мощность больше, тем меньше вероятность ошибки второго рода.
Итак, если уровень значимости уже выбран, то критическую область следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной. Это позволит минимизировать ошибку второго рода.
Далее нам потребуется распределение Фишера – Снедекора.
Если
U
и
V
— независимые случайные величины, распределенные по закону
2

со степенями свободы
1
k
и
2
k
, то величина
2 1
k
V
k
U
F

имеет распределение, которое называетсяраспределением
F
Фишера –
Снедекора со степенями свободы
1
k
и
2
k
Функция плотности этого распределения имеет вид










0
)
(
0 0
)
(
2
)
(
1 2
2
)
2
(
0 2
1 1
x
при
x
k
k
x
C
x
при
x
f
k
k
k
, где
)
2
(
)
2
(
2 2
1 2
2 2
1 2
1 0
2 1
k
k
k
k
k
k
C
k
k







 


Распределение
F
определяется двумя параметрами — числами степеней

48 свободы
1
k
и
2
k
Пусть генеральные совокупности
X
и
Y
распределены нормально, причем их дисперсии известны. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными
1
n
и
m
, извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние и
. Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой:
0
H
:
)
(
)
(
Y
M
X
M

Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными оценками генеральных средних, т.е.
)
(
)
(
X
M
x
M

,
)
(
)
(
Y
M
y
M

, нулевую гипотезу можно записать так:
0
H
:
)
(
)
(
y
M
x
M

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных средних принимается нормированная нормальная случайная величина
m
Y
D
n
X
D
y
x
Z
)
(
)
(



Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
Первый случай. Нулевая гипотеза
0
H
:
)
(
)
(
Y
M
X
M

. Конкурирующая гипотеза
1
H
:
)
(
)
(
Y
M
X
M

В этом случае строится двусторонняя критическая область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия
Z
в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости

Поскольку распределение
Z
симметрично относительно нуля, то критические точки симметричны относительно нуля, т.е. если обозначить через
кр
z
правую критическую точку, то
кр
z

будет левой критической точкой.
Наибольшая мощность критерия (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна
2

:
2
)
(




кр
z
Z
P
,
2
)
(



кр
z
Z
P
Для того, чтобы найти правую границу
кр
z
двусторонней критической области, достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное
2
)
1
(


:
2
)
1
(
)
(




кр
z
x
y


49
Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через
набл
Z
Если
кр
набл
z
Z

— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если
кр
набл
z
Z

— нулевая гипотеза отвергается.
Второй случай. Нулевая гипотеза
0
H
:
)
(
)
(
Y
M
X
M

. Конкурирующая гипотеза
1
H
:
)
(
)
(
Y
M
X
M

В этом случае строится правосторонняя критическая область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия
Z
в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:



)
(
кр
z
Z
P
Для того, чтобы найти границу
кр
z
правосторонней критической области, достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное
2
)
2 1
(


:
2
)
2 1
(
)
(




кр
z
Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через
набл
Z
Если
кр
набл
z
Z

— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если
кр
набл
z
Z

— нулевая гипотеза отвергается.
Вопросы и задания.
1. Статистическая гипотеза.
2. Мощность критерия.
3. Критическая область.
Задание 1. Техническая норма предусматривает в среднем 40 сек. на выполнение определенной технологической операции на конвейере по производству часов. От работниц, работающих на этой операции, поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на эту операцию больше времени. Для проверки данной жалобы произведены хронометрические измерения времени выполнения этой технологической операции у 36 работниц, занятых на этой операции, и получено среднее время выполнения операции 42 сек. Можно ли (предполагая время выполнения технологической операции случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону) по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости

= 0,01 отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, если известно, что среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности

составляет 3,5 сек.?

50
Задание 2. Экономический анализ производительности труда предприятий отрасли позволил выдвинуть гипотезу о наличии двух типов предприятий с различной средней величиной показателя производительности труда.
Выборочное обследование 42-х предприятий первой группы дало следующие результаты: средняя производительность труда составила 119 деталей. По данным выборочного обследования 35-и предприятий второй группы средняя производительность труда составила 107 деталей. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 126,91 ; D(Y) = 136,1. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y, на уровне значимости 0,05 проверьте, случайно ли полученное различие средних показателей производительности труда в группах или же имеются два типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.
Партия изделий принимается в том случае, если вероятность того, что изделие окажется соответствующим стандарту, составляет не менее 0,97. Среди случайно отобранных 200 изделий проверяемой партии оказалось 193 соответствующих стандарту. Можно ли на уровне значимости

= 0,02 принять партию?
Рекомендуемые источники информации
(№ источника)
Основная
Дополнительная
Методическая
Интернет-ресурсы
1 1
1,2 1,2
3.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
3.1 Основная литература:
1. Шипачев, В. С. Высшая математика : учебник для бакалавров / В.С.
Шипачев ; под ред. А.Н. Тихонова. – 4-е изд., испр. И доп. – М. : Юрайт,
2014. – 607 с. – (Бакалавр. Базовый курс). – На учебнике гриф: Рек.УМО.
– ISBN 978-5-9916-3325-3
3.2. Дополнительная литература:
1. Богомолов, Н. В. Математика : учебник для бакалавров / Н.В.
Богомолов, П.И. Самойленко ; Моск. Гос. Ун-т тех. И упр. Им. К.Г.
Разумовского. – 5-е изд., перераб. И доп. – М. : Юрайт, 2014. – 396 с. : ил.
– (Бакалавр. Базовый курс). – На учебнике гриф: Доп.МО. – ISBN 978-5-
9916-3467-0
3.3. Методическая литература

51 1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине
Математика» для бакалавров направления подготовки 43.03.03
«Гостиничное дело».
2. Методические указания для обучающихся по организации и проведению самостоятельной работы по дисциплине «Математика» для бакалавров направления подготовки 43.03.03 «Гостиничное дело».
3.4. Интернет-ресурсы
1. http://www.matburo.ru
– Сайт Математического Бюро
2. http://www.studfiles.ru
– Сайт «Все Для Учебы»