ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.12.2023
Просмотров: 184
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
103
Таблица 8.3. Символьные операции с матрицами
Команда меню
Назначение
Пример
Matrix, Transpose
Матрица, Переместить
Получить транспонированную матрицу
8.18
Matrix, Invert
Матрица, Инверсировать
Получить обратную матрицу
8.19 8.21
Matrix, Determinant
Матрица, Детерминант
Вычислить определитель матрицы
8.20 8.21 8.22
Замечание. В уроке не рассматривается еще одна группа операций
Transform (
Преобра-
зование)
, с помощью которых можно выполнять преобразование Фурье, преобразование
Лапласа и Z-преобразование (прямое и обратное для каждого из трех перечисленных).
Если заданная операция невыполнима, то система выводит в дополнительном окне сообщение об ошибке (рис. 8.3) или просто повторяет выделенное выражение. Последнее означает, что операция задана корректно, но результат не может быть получен (например, если выполняется попытка разложить на множители выражение, которое в принципе не может быть разложено на множители или уже разложено на множители).
Рис. 8.3. Окно с сообщением «Результат символьно- го преобразования не может быть найден»
8.3.
Примеры символьных вычислений в командном режиме
При выполнении примеров был установлен режим горизонтального вывода результатов преобразований с комментариями. Диалоговое окно команды
Evaluate Style (
Стиль вы-
числений
) с заданными значениями параметров стиля показано на рис. 8.4.
Рис. 8.4. Задание параметров стиля
Пример 8.1 (Символьное вычисление выражений). Перед активизацией команды
Evaluate, Symbolically
следует вычисляемое выражение выделить курсором.
104
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
Пример 8.2 (Представление результата вычислений в виде числа с плавающей
точкой). Перед активизацией команды
Evaluate, Float
следует выделить курсором все выражение. После активизации команды на запрос системы в диалоговом окне укажите количество цифр результата (от 1 до 4000).
Замечание. Если количество цифр результата велико, система предлагает поместить ре- зультат в буфер обмена.
Пример 8.3. Перед активизацией команды
Evaluate, Complex
следует выделить кур- сором все выражение.
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
105
Пример 8.4 (Упрощение числовых выражений). В зависимости от того, какая часть выражения выделена (указана курсором), будут получены различные результаты преобра- зования:
Пример 8.5 (Упрощение выражений, содержащих переменные). Перед активизаци- ей команды
Simplify
следует выделить выражение целиком.
Пример 8.6 (Вычисление производных и интегралов). Перед активизацией команды
Simplify
следует выделить выражение целиком.
106
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
Пример 8.7 (Вычисление сумм и произведений). Перед активизацией команды
Simplify
следует выделить выражение целиком.
При выполнении следующих примеров был отключен режим вывода комментария.
Пример 8.8 (Раскрытие скобок). Перед активизацией команды
Expand
следует вы- делить выражение целиком.
Пример 8.9 (Разложение на множители). Перед активизацией команды
Factor
сле- дует выделить выражение целиком.
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
107
Пример 8.10 (Приведение подобных слагаемых). Перед активизацией команды
Col-
lect
следует выделить ту часть выражения (указать курсором), относительно которой должна быть выполнена операция.
Пример 8.11 (Определение полиномиальных коэффициентов). Перед активизаци- ей команды
Polynomial Coefficients
следует выделить ту часть выражения (указать кур- сором), относительно которой должна быть выполнена операция.
Полученный вектор содержит коэффициенты при степенях x, начиная с наименьшей.
Полученный вектор содержит коэффициенты при степенях вы- ражения e x
При выполнении следующих примеров был включен режим вывода комментария.
Пример 8.12 (Решение уравнений и неравенств). Перед активизацией команды
Va-
riable, Solve
следует выделить ту переменную (указать курсором), относительно которой должна быть выполнена операция.
108
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
Замечание.
Выражение x3 означает x=3. Математическая запись ответа
:
(
; 1)
{3}.
Пример 8.13 (Дифференцирование выражений). Перед активизацией команды
Va-
riable, Differentiate
следует выделить ту переменную (указать курсором), относительно которой должна быть выполнена операция.
1) Включен режим вывода комментария:
2) Отключен режим вывода комментария:
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
109
Пример 8.14 (Интегрирование выражений). Перед активизацией команды
Variable,
Integrate
следует выделить ту переменную (указать курсором), относительно которой должна быть выполнена операция.
1) Включен режим вывода комментария:
2) Отключен режим вывода комментария:
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Пример 8.15 (Разложение в ряд Тейлора). Перед активизацией команды
Variable,
Expand to Series
следует выделить ту переменную (указать курсором), относительно ко- торой должна быть выполнена операция. После активизации команды на запрос системы в диалоговом окне следует ввести порядок приближения.
1) Включен режим вывода комментария:
2) Отключен режим вывода комментария:
110
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
Пример 8.16 (Разложение на элементарные дроби). Перед активизацией команды
Variable, Convert to Partial Fraction
следует выделить ту переменную, относительно ко- торой должна быть выполнена операция.
1) Включен режим вывода комментария:
2) Отключен режим вывода комментария:
Пример 8.17 (Замена переменной в выражении). Перед активизацией команды
Va-
riable, Substitute
необходимо скопировать в буфер обмена выражение, которым будет за- менена выделенная переменная в исходном выражении.
Пример 8.18 (Транспонирование матриц). Перед активизацией команды
Matrix,
Transpose
следует выделить курсором всю матрицу.
Пример 8.19 (Обращение матриц). Перед активизацией команды
Matrix, Invert
сле- дует выделить курсором всю матрицу.
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
111
Пример 8.20 (Вычисление определителя матрицы). Перед активизацией команды
Matrix, Determinant
следует выделить курсором всю матрицу.
Пример 8.21 (Вычисление определителя матрицы с числовыми элементами и по-
строение ее обратной матрицы).
Пример 8.22 (Построение характеристического многочлена для матрицы).
Пример 8.23.
Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции (рис. 8.5). При каком наклоне боков «мокрый периметр» сечения будет наи- меньшим, если площадь «живого сечения» воды в канале равна S, а уровень воды равен h?
Рис. 8.5. Поперечное сечение открытого канала
Решение:
a h
112
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
Ответ:
3
Так как производная функции f
меняет знак с "-" на "+" при п рохождении через точку
3
, то периметр P дос тигает в ней наименьшего зна чения.
f
( )
0.1 0.2
2
f
1
2 cos
1
cos
2
и выяс ним, как изменяетс я знак производной на промежутке (0;
/2)
, пос троив график функции:
1 3
Найдем значение угла
, при котором производная обращаетс я в ноль:
Variable, Solv e
h
1
2 cos
1
cos
2
которое пос ле упрощения примет вид:
h
1
cot
2
2
h sin
2
cos
Simplify
Дифференцируя пос леднее выражение, получим:
S
h
2
cot
h
2
h sin
Variable, Differentiate
Будем иметь:
Variable, Substitute
a
2 h
sin
и подс тавим полученное выражение в формулу для периметра:
S
h
2
cot
h выразим a:
Variable, Solv e
S
a h cot
h
Из формулы, определяющей площадь "живой воды":
"Мокрый периметр" определяетс я по формуле:
P
a
2h sin
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
113
8.4.
Упражнения
Упражнение 8.1.
Упростите выражения:
1)
43 24 3 43 24 3;
2)
2 3
2 3
;
2 2
3 2
2 3
3)
3 2
8 1
4
;
4 2 2
x
x
x
x
4)
2 2
2 2
2 2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
xy
Упражнение 8.2.
Разложите на множители:
1)
2 2
3 10 8
8 10 3;
x
xy
y
x
y
2)
2 4
2 5
4
;
5 4
x
x
x
x
3)
15 20 1.
Упражнение 8.3.
Разложите на элементарные дроби:
1)
2 4
2 5
4
;
5 4
x
x
x
x
2)
4 2
1
;
(
1)
x
3)
2
;
1
x
x
4)
2 1
(
3 2)
x x
x
Упражнение 8.4.
Решите уравнения:
1)
2 2
1 2
2 3 5
;
2 4
x
x
x
x
x
2)
3 2
3 12 3
16 1;
1
x
x
x
x
x
x
3)
5 4
3 2
5 6
44 8
96 0;
x
x
x
x
x
4)
|
1|
|
3 | 2 4;
x
x
x
5)
2 2
|
3 2 |
|
5 6 | 2;
x
x
x
x
6)
3 3
|
1 | 3 1 7;
x
x
x
x
7)
2 2
1 2
1 2
;
8 2
1 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8)
3 3
2 1
1 64 1
1 73 1
x
x
x
x
x
x
Упражнение 8.5.
Решите неравенства:
1)
2 2
(
1)(
7)
5;
x
x
x
x
2)
1 2
3 4
0;
2 1
2 3 3 4 4 5
x
x
x
x
3)
|
1|
|
2 | | 2 3 |;
x
x
x
4)
|
4 |
|
1|
|
3 |
|
2 |
;
|
3 |
|
2 |
|
4 |
x
x
x
x
x
x
x
5)
|
3 | 6 3 1
;
x
x
6)
2 6
1 4 3
;
5 2
x
x
7)
2 2
2 2
1;
1
x
x
8)
3 3
7 6
3 2
4(1
).
x
x
x
x
x
Упражнение 8.6.
Вычислите:
1)
2 2
1 1
;
n
n
2)
1 1
;
(4 3)(4 1)
n
k
k
k
3)
1 2
n
k
k
k
Упражнение 8.7.
Найдите пределы:
114
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
1)
5 2
5 0
(1
)
(1 5 )
lim
;
x
x
x
x
x
2)
4 5
1 3
2
lim
;
4 3
x
x
x
x
x
3)
2 3
13 2
1
lim
;
9
x
x
x
x
4)
3 3
0 1
1
lim
;
1 1
x
x
x
x
x
5)
1 1
lim
;
(
1)
n
n
k
k k
6)
2 1
2 1
(2 1)
lim
;
(2 )
n
k
n
n
k
k
k
7) cos( ) cos( )
lim
;
x
a
x
a
x a
8)
3 3
4
ln(1
)
lim
;
ln(1
)
x
x
x
x
x
9)
2 0
0
cos( )
lim
x
x
t dt
x
Упражнение 8.8.
Получите разложения по целым неотрицательным степеням пере- менной
x
до членов указанного порядка включительно:
1)
2 5
cos( ) до члена
;
x
e
x
cx
2)
4
до члена
;
1
x
x
cx
e
3)
6
sin( )
ln до члена
;
x
cx
x
4)
100 2
40 60
(1
)
до члена
(1 2 ) (1 2 )
x
cx
x
x
Упражнение 8.9.
Найдите производные следующих функций:
1)
2 2
1 1
ln
;
4 1
x
x
2)
2
cos( )
;
2sin ( )
x
x
3) ln(ln(ln( )));
x
4)
1
;
2
x
x
e
ctg
5)
1 ln(1 1);
x
x
6)
2 1
arccos .
x
x
x
Упражнение 8.9.
Вычислите:
1)
8 2
8
;
1
d
x
dx
x
2)
50 2
50
sin(2 ) ;
d
x
x
dx
3)
3 2
4 1
1
x
x
d
dt
dx
t
Упражнение 8.10.
Вычислите интегралы:
1)
2 2
;
1
x
dx
x
2)
2 2
4 1
1
;
1
x
x
dx
x
3)
1
;
1 cos
dx
x
4)
2 2 2 3
1
;
(
)
dx
x
a
5)
1 2
1 2
2 1
;
1
dx
x
6)
2 0
2
;
2 cos
dx
x
7) ln 2 0
1 .
x
e
dx
8.5.
Символьные вычисления в реальном времени. Панель символики
Рассмотрим еще один способ выполнения символьных преобразований. Для его реализа- ции применяются все средства MathCAD, пригодные для численных вычислений (напри- мер, панели
Calculator
,
Evaluation
и т. д.), и специальная панель инструментов, которую
Урок 8. Символьные вычисления в MathCAD
115
можно вызвать на экран нажатием кнопки
Symbolic Keyword ToolBar (Панель Сим- волики) на панели
Math
(Математика)
На панели
Symbolic (
Символика)
находятся кнопки, соответствующие командам символьных преобразований (рис. 8.6). Описание не- которых директив панели
Symbolic
приводится в таблице 8.4. Примеры использования директив приводятся в п. 8.6.
Рис. 8.6. Панель
Symbolic (
Символика)
Таблица 8.4. Описание директив панели Symbolic
Кнопка
Назначение
Шаблон
Номер примера
Символьное вычисление выражения
8.24
Символьное вычисление выражения с указанием ключевого слова операции
float
Преобразование в формат чисел с пла- вающей точкой
float,
8.31 complex
Представление в комплексной форме
complex
8.31 solve
Решение уравнений, неравенств и их систем
solve,
8.34 simplify
Упрощение выражения
simplify
8.33 substitute
Замена в исходном выражении пере- менной или подвыражения заданным выражением substitute
8.30 factor
Разложение выражения на простые множители
factor,
8.27 expand
Разложение выражения по степеням
expand,
8.28 coeffs
Возвращение вектора с коэффициента- ми полинома
coeffs,
8.26 collect
Разложение выражений с приведением подобных
collect,
8.29 series
Разложение в ряд по заданным пере- менным
series, ,
8.32 parfac
Разложение на элементарные дроби
convert, parfrac,
8.25