Здравствуйте, ребята. Вот тема на сегодня.

Практическая работа в форме практической подготовки №15. Вычисление интервальной оценки, доверительного интервала, уровня значимости, доверительной вероятности.

Напишите конспект.

Для изучения генеральной совокупности объёма   из неё производится выборка, состоящая из   элементов, которая хорошо характеризует всю совокупность. И на основании исследования этой выборочной совокупности с высокой достоверностью можем оценить генеральные  характеристики. Чаще всего требуется выявить закон распределения генеральной совокупности и оценить его числовые параметры, такие как генеральная средняя  , генеральная дисперсия   и среднее квадратическое отклонение  .

Для оценки этих параметров нужно вычислить соответствующие выборочные значения. Так, выборочная средняя   позволяет нам оценить генеральную среднюю  . Несмещённой точечной оценкой генеральной дисперсии   является исправленная выборочная дисперсия  , и стандартного отклонения   – исправленное стандартное отклонение  .

Справка:   – греческая буква «тета», 

---

 – греческая буква «дельта».

Значение   называется точностью оценки, и можно записать с помощью модуля:


Обозначение: точность оценки также обозначают через   («эпсилон»).

Но статистические методы не позволяют 100%-но утверждать, что рассчитанное значение   будет удовлетворять этому неравенству – ведь в статистике всегда есть место случайности. Таким образом, можно говорить лишь о вероятности  , с которой это неравенство осуществится:  .

Теперь  раскроем модуль:


Интервал   называется доверительным интервалом и представляет собой интервальную оценку генерального значения   по найденному выборочному значению  . Данный интервал с вероятностью   «накрывает» истинное значение  . Эта вероятность называется доверительной вероятностью или надёжностью интервальной оценки

Надёжность «гамма» часто задаётся наперёд, популярные варианты 

Пример 1

Известно, что генеральная совокупность распределена нормально со средним квадратическим отклонением 

---

. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания    с надежностью 0,95, если выборочная средняя  , а объем выборки  .

здесь известно стандартное отклонение   генеральной совокупности.

– из генеральной совокупности попугаев проведена выборка в   особей и по её результатам найдена выборочная средняя:   .

Выборочная средняя – это точечная оценка неизвестной нам генеральной средней  Недостаток точечной оценки состоит в том, что она может  оказаться далёкой от истины. И по условию, требуется найти интервал  , которой с вероятностью   накроет истинное значение  . Здесь будет неверным сказать, что   попадёт в этот интервал.

Точность оценки рассчитывается по формуле  , где   – коэффициент доверия. Этот коэффициент отыскивается из соотношения  , где 

---

 – функция Лапласа.

В данном случае  , следовательно:


И по таблице значений функции Лапласа либо пользуясь расчётным макетом, выясняем, что значению    соответствует аргумент  .

Таким образом, точность оценки:

и искомый доверительный интервал:


Этот интервал с вероятностью    (надёжностью) накрывает истинное генеральное значение   . Но всё же остаётся 5%-ная вероятность, что генеральная средняя окажется вне найденного интервала.

Ответ:  .

Пример 2

В результате 10 независимых измерений некоторой величины  , выполненных с одинаковой точностью, полученные опытные данные, которые представлены в таблице:


Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение величины   при помощи доверительного интервала, покрывающего это значение с доверительной вероятностью 0,95.

Решение следует начать с вычисления выборочных характеристик:   и 

---

. По условию, требуется оценить генеральную совокупность (а именно, параметр  ), и поэтому дисперсию нужно обязательно поправить:
 – несмещённая оценка неизвестной генеральной дисперсии  . И нас будет интересовать несмещённая оценка генерального стандартного отклонения  :

 – исправленное среднее квадратическое отклонение.

Теперь построим доверительный интервал для оценки истинного (генерального) значения   величины  .

Если генеральное стандартное отклонение   не известно

, то этот интервал строится по похожей формуле:

, с той поправкой, что коэффициент доверия   рассчитывается с помощью распределения Стьюдента.

Вычислим точность оценки:


Таким образом, искомый доверительный интервал:

 – данный интервал с вероятностью   накрывает истинное значение   измеряемой величины 

---

Смотрите также файлы

• Памятка пооперационного контроля за выполнением сварочномонтажных работ, подготовкой и проведению неразрушающего контроля на линейной части (ЛЧ) г. Москва, 2022 год.pdf

• Школа региональных и международных исследований.docx

• Ксіпорындаы ндірістік есеп пен ндірісті йымдастыру5.docx

• Конспект учебнотренировочного занятия Студент Петрушкина Николая группа аф91 Спорт глухих Дисциплинабаскетбол Группа юноши (1314 лет) Место проведения ск обь, спортивный зал.docx

• Физиология мышечной деятельности.docx