Файл: Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений.docx

Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.
Этапы численного решения уравнения.
Аналитический и графический методы отделения корней.
Уточнение корня методами половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
Графическая иллюстрация методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
Условие окончания вычислений при использовании методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
Сходимость метода итерации, выбор начального приближения, правило выбора итерирующей функции и оценка погрешности метода итерации.
Теорема о сходимости метода Ньютона и оценка погрешности метода.
Правило выбора неподвижной точки, начальной точки и условие сходимости метода хорд.
Условия окончания вычислений в методах итерации, Ньютона и хорд.
Сравнение методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

1.2. Общее задание

Выбрать индивидуальное задание из табл. 1-1:

нелинейное уравнение;
методы решения нелинейного уравнения для выполнения 3-х итераций;

Отделить корни заданного уравнения графическим и аналитическим методом с использованием средств пакета Scilab.
Для каждого из заданных методов провести исследование функции нелинейного уравнения:

проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – сделать необходимые преобразования для обеспечения сходимости;
выбрать начальное приближение к корню;
сформулировать условие окончания этапа уточнения корня.

С использованием итерационной формуле 1-го заданного методу провести расчет трех итераций с использованием средств мат. пакета. Результаты расчета свести в табл. 1-2.
Оценить погрешность результата после 3-х итераций.
Для 2-го заданного метода выполнить решение уравнения с точностью 10^-4, создав программу, реализующую заданный метод. Произвести расчет, а результаты решений свести в табл. 1-2.
Найти решение нелинейного уравнения на отделенном отрезке с использованием функции fsolve пакета Scilab.

1.3. Варианты задания

Таблица 1-1

№	Уравнение	1-й метод	2-й метод	№	Уравнение	1-й метод	2-й метод
1	x - cos(x / 3) = 0	1	4	16	sin(1 – 0.2x²) – x = 0	3	4
2	x + ln(4x) – 1 = 0	3	1	17	e^x – e^-x – 2 = 0	2	1
3	e^x – 4 e^-^x – 1 = 0	2	4	18	x – sin(1 / x) = 0	4	1
4	x e^x – 2 = 0	3	2	19	e^x + ln(x) – x = 0	1	2
5	4 (x² + 1) ln(x) – 1 = 0	1	3	20	1–x+sin(x)–ln(1+x) = 0	1	3
6	2 – x – sin(x / 4) = 0	4	1	21	(1–x)^1/2–cos(1–x) = 0	4	1
7	x² + ln(x) – 2 = 0	1	2	22	sin(x²)+cos(x²)–10x = 0	3	2
8	cos(x)–(x + 2)^1/2 + 1 = 0	2	3	23	x² – ln(1 + x) – 3 = 0	2	3
9	4 (1 + x^1/2) ln(x) – 1 = 0	2	1	24	cos(x / 2) ln(x – 1) = 0	1	2
10	5 ln(x) – x^1/2 = 0	2	3	25	cos(x/5) (1+x)^1/2–x = 0	1	3
11	e^x + x³ – 2 = 0	1	4	26	3x – e^-x = 0	4	2
12	3 sin (x^1/2) + x – 3 = 0	3	1	27	4(1+x^1/2) ln(x)–10 = 0	1	3
13	0.1x² – x ln(x) = 0	1	4	28	sin(x)–3^1/2cos(x)+4x–4 = 0	3	4
14	cos(1 + 0.2x²) – x = 0	1	3	29	x – 1 / (3 + sin(3.6x)) = 0	1	3
15	3 x – 4 ln(x) – 5 = 0	1	2	30	0.25x³ + cos(x / 4) = 0	4	2

В табл. 1-1 номера методов: 1 – половинное деление;2 – итерации;3 – Ньютона; 4 – хорд.

1.4. Содержание отчета

Индивидуальное задание (уравнение, методы для выполнения 3-х итераций).
Результат отделения корней (график функции, таблица значений функции и её производных, вывод об отделённом отрезке, содержащем один корень).
Результаты исследования функции уравнения для проведения расчетов. Привести для каждого метода:

условие сходимости вычислительного процесса;
начальное приближение;
условие окончания этапа уточнения корня.

В сценарии мат. пакета создать функции для проведения расчета 1-м методом. Результаты расчета по каждому методу свести в табл. 1-2.

Таблица 1-2

к	x	f(x)
1
2
3
4

Оценки погрешностей результатов расчетов после 3-х итераций с использованием формулы, соответствующего метода.
Создать программу для решения уравнения 2-м заданный методом с точностью 10^-4. Построить график зависимости количества итераций от точности в логарифмическом масштабе.Решение нелинейного уравнения с использованием функции fsolve.

1.5. Пример выполнения задания с использованием мат. пакета MathCad

Решить уравнение ;
методы решения нелинейных уравнений – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;

Этап отделения корней.

Используем для этого математический пакет MathCad. Отделение корней произведем как графическим методом (график функции), так и аналитически (таблица).

Рис.1. Графическое и аналитическое отделение корней уравнения.
Из построенного графика функции f(x) видно, что на отрезке (0, 1) есть один корень. На этом графический способ отделения корней заканчивается.

Другой вариант отделения корня – решить задачу аналитически.

Для аналитического отделения корня построена таблица рис.1. Она требует пояснений. В столбцах таблицы выведены некоторые значения аргумента x на заданном отрезке, а также значения функций f(x),

при этих значениях x.

Видно, что на отрезке (0, 1) функция f(x) меняет знак, значит существует, по крайней мере, один корень.

Значения первой производной

в заданных точках отрезка (0, 1) не меняет знак, что вызывает некоторую надежду о том, что

не меняет знак на всем отрезке (0, 1), но делать вывод об этом не совсем корректно с точки зрения математики. Однако анализ аналитического выражения

= –sin(x)–3 приводит к выводу, что

<= -2 при любых значениях x. А это значит, что

отрицательно на всем отрезке (0, 1), и уже из этого следует, что на отрезке (0, 1) функция f(x) монотонна и имеет один корень.

Значения первой и второй производной

на отрезке (0, 1) из таблицы рис.1 будут использованы в методах Ньютона, хорд и итераций.
Этап уточнения корня

Метод половинного деления

Исследование задания

Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0;1] функция меняет знак ( ) и монотонна (f′(x)<0), то условие сходимости выполняется.
Выберем за начальное приближение середину отрезка