Файл: Учебное пособие для вузов Вологда Волнц ран 2021 удк 330. 43 Ббк 65в6 В24.pdf

3. авторегрессии-распределённых лагов ADL
3
, среди объясняющих переменных есть лаги факторов x t
и лаги зависимой переменной y
t
Для моделей FDL и ADL различают краткосрочную и долгосрочную зависимость. К статической модели регрессии применимы все выводы линейной регрессии. По сути специфика временных рядов в этой модели отсутствует, но необходимо тестировать её на серийную корреляцию.
1.3.1.
Модель FDL
Модель распределённых лагов FDL(q) включает лаги регрессоров до порядка q y
t
= µ + x
′
t
β
0
+ x
′
t−1
β
1
+
· · · + x
′
t−q
β
q
+ u t
,
где формально x
t
=




x t1
x tk



 β
0
=




β
01
β
0k



 β
1
=




β
11
β
1k



 · · · β
q
=




β
q1
β
qk




Если u t
∼ WN(0, σ
2
), то к модели F DL применимы все выводы стан- дартной линейной регрессии.
При интерпретации коэффициентов при лагах надо отличать крат- косрочный и долгосрочный эффект.
Пример. Рассмотрим на FDL с одной объясняющей переменной y
t
= µ + β
0
x t
+ β
1
x t−1
+
· · · + β
q x
t−q
+ u t
Пусть фактор x увеличился на единицу только в момент времени T
(краткосрочно). Составим таблицу распределения во времени того, как это (в среднем) отразится на y.
t
T
T + 1
T + 2
· · ·
T + q
T + q + 1
∞
∆x
1 0
0
· · ·
0 0
0
∆y
β
0
β
1
β
2
· · ·
β
q
0 0
3
Autoregression Distributed Lags.
34

Таким образом, видно, что коэффициенты модели FDL можно ин- терпретировать как краткосрочные мультипликаторы.
Пусть теперь фактор x увеличился на единицу начиная с момента времени T (долгосрочно), тогда таблца принимает вид:
t
T
T + 1
T + 2
· · ·
T + q − 1
T + q
∞
∆x
1 1
1
· · ·
1 1
1
∆y
β
0
β
0
+ β
1
P
2 0
β
j
· · ·
P
q−1 0
β
j
P
q
0
β
j
P
q
0
β
j
Тем самым можно говорить об “установившейся” долгосрочной зави- симости, которую формально можно представить как y
∗
= µ +


q
X
j=0
β
j

 x
∗
,
где
P
q j=0
β
j
– долгосрочный мультипликатор.
Для модели y
t
= µ + β
0
x t
+ β
1
x t−1
+
· · · + β
q x
t−q
+ u t
проверка значимости долгосрочного мультипликатора означает тести- рование (“сложной”) гипотезы
H
0
: β
0
+
· · · + β
q
= 0
по F-тесту.
Для произвольной FDL(q) y t
=
P
q s=0
x
′
t−s
β
s
+ u t
уравнение долго- срочной связи принимает вид:
y
∗
= x
′
∗


q
X
j=0
β
j

 .
Можем заключить, что при долгосрочном увеличении регрессора на единицу долгосрочное изменение зависимой переменной равно мульти- пликатору q
P
j=0
β
j
Саму модель FDL можно рассматривать как модель краткосрочной зависимости (отклонения от долгосрочной свзязи).
35

1.3.2.
Модель ADL
Модель авторегрессии-распределённых лагов ADL(p,q) включает ла- ги регрессоров до порядка q и лаги зависимой переменной до порядка p
y t
= µ + φ
1
y t−1
+
· · · + φ
p y
t−p
+
x
′
t
β
0
+ x
′
t−1
β
1
+
· · · + x
′
t−q
β
q
+ u t
,
где формально x
t
=




x t1
x tk



 β
0
=




β
01
β
0k



 β
1
=




β
11
β
1k



 · · · β
q
=




β
q1
β
qk




Для использования модели необходимо проверить стационарность,
для этого все корни многочлена φ(z) = 1
− φ
1
z
− · · · − φ
p z
p
(в том числе из C) должны быть по модулю больше единицы.
Если u t
∼ WN(0, σ
2
) и выполнено условие стационарности, то к мо- дели ADL применимы все выводы стандартной линейной регрессии.
Замечание. Так как модель регрессии содержит лаговые значения за- висимой переменной, то статистика DW будет смещена и тест Дарбина–
Уотсона к данной модели неприменим.
Более точно можно сформулировать теорему.
Теорема. Пусть выполнены следующие условия
• x
(1)
, x
(2)
, . . . , x
(p)
t
– (многомерный) стационарный временной ряд;
• u t
– процесс белого шума, Eu t
= 0, Var(u t
) = σ
2
;
• cov(u t
, x tj
) = 0, j = 1 . . . , k;
• cov(u t
, y t−s
) = 0, s = 1, . . . , p;
• все корни многочлена φ(z) = 1−φ
1
z
−· · ·−φ
p z
p по модулю больше единицы (условие стационарности);
36

• существует предел (условие эргодичности)
1
n x
t x
′
t
−→
P
Σ,
det Σ
6= 0.
Тогда МНК-оценки коэффициентов ADL модели асимптотически нормальны и имеют минимальную дисперсию.
Как и для модели FDL будем отличать краткосрочный и долгосроч- ный взгляды на коэффициенты.
Рассмотрим подробнее частный случай ADL с одним регрессором y
t
= µ + φ
1
y t−1
+
· · · + φ
p y
t−p
+ β
0
x t
+
· · · + β
q x
t−q
+ u t
и пусть выполнены все условия теоремы. Тогда, аналогично модели
FDL, между факторами устанавливается «долговременная связь», опи- сываемая соотношением y
∗
= δ
0
+ δ
1
x
∗
,
δ
0
=
µ
1
− φ
1
− · · · − φ
p
=
µ
α(1)
,
δ
1
=
β
0
+
· · · + β
q
1
− α
1
− · · · − α
p
Коэффициент δ
1
называется долгосрочным мультипликатором (long- time multiplier).
Пример. Рассмотрим на примере ADL(1,1)
y t
= µ + φy t−1
+ β
0
x t
+ β
1
x t−1
+ u t
,
|φ| < 1.
Пусть фактор x увеличился на единицу только в момент времени
T (краткосрочно). Влияние на y распределёно во времени следующим образом:
t
T
T + 1
T + 2
T + 3
∞
∆x
1 0
0 0
0
∆y
β
0
β
1
+ φβ
0
φβ
1
+ φ
2
β
0
φ
2
β
1
+ φ
3
β
0 0
Таким образом, модель ADL можно рассматривать как модель крат- косрочной зависимости, но коэффициенты модели уже не имеют про- стой интерпретации (как краткосрочные мультипликаторы).
37

Если фактор x увеличился на единицу начиная с момента времени
T (долгосрочно), то среднее влияние на y можно записать так:
t
T
T + 1
T + 2
∞
∆x
1 1
1 1
∆y
β
0
β
0
+ β
1
+ φβ
0
β
0
P
2 0
φ
j
+ β
1
P
1 0
φ
j
(β
0
+ β
1
)/(1 − φ)
Таким образом, можно говорить об “установившейся” долгосрочной зависимости, которую формально можно представить как y
∗
=
µ + (β
0
+ β
1
)x
∗
1
− φ
,
где (β
0
+ β
1
)/(1
− φ) – долгосрочный мультипликатор.
Для произвольной ADL y t
=
P
p j=1
φ
j y
t−j
+
P
q s=0
x
′
t−s
β
s
+ u t
урав- нение долгосрочной связи принимает вид

1 −
p
X
j=1
φ
j

 y
∗
= x
′
∗


q
X
j=0
β
j

 .
Вектор долгосрочных мультипликаторов
P
q j=0
β
j
1
− φ
1
− · · · − φ
p
Для модели с одним объясняющим фактором y
t
= µ + φ
1
y t−1
+
· · · + φ
p y
t−p
+ β
0
x t
+
· · · + β
q x
t−q
+ u t
уравнение долгосрочной зависимости имеет вид y
∗
=
µ + (
P
q j=0
β
j
)x
∗
1
− φ
1
− · · · − φ
p
Отметим, что проверка значимости долгосрочного мультипликатора в данном случае означает тестирование гипотезы
H
0
: β
0
+
· · · + β
q
= 0
по F-тесту.
38

Замечание. Обратим внимание на существование модели ARMAX, ко- торая является моделью ARMA c экзогенными объясняющими перемен- ными y
t
= µ +
p
X
j=1
φ
j y
t−j
+ u t
+
q
X
l=1
θ
l u
t−l
+
k
X
s=0
x
′
t−s
β
s
Фактически ARMAX – это ADL с автокоррелированной ошибкой вида
MA.
1.4.
TS-ряды
1.5.
Модель тренда и сезонность
В экономическом анализе встречаются временные ряды имеющие (в среднем) устойчивую тенденцию к возрастанию с течением временем.
Поведение таких временных рядов можно описывать регрессионной мо- делью тренда, где в качестве объясняющей переменной выступает фак- тор времени.
1.5.1.
Понятие TS-ряда
Рассмотрим важный класс рядов, имеющих выраженный тренд.
Определение. Ряд x t
называется стационарным относительно трен- да, если для него имеет место представление x
t
= f (t) + v t
,
(1.2)
где f (t) – детерминированная функция (тренд или долгосрочная тен- денция), v t
– стационарный ряд с нулевым средним.
Следовательно, Ex t
= f (t) и Var(x t
) = Var(v t
)
≡ const.
Замечание. В прикладных задачах типична ситуация, когда в модели
(1.2) ряд v t
автокоррелирован (следствие зависимости наблюдений).
Перечислим основные модели тренда.
39

• Линейный тренд: x t
= β
0
+ β
1
t + v t
, где β
1
– среднее изменение за один период времени.
• Экспоненциальный тренд: ln x t
= β
0
+ β
1
t + v t
, где β
1
· 100% –
среднее процентное изменение за один период.
• Квадратичный тренд: x t
= β
0
+ β
1
t+ β
2
t
2
+ v t
, где средний прирост за один период непостоянен.
Рассмотрим эти модели более подробно.
Модель линейного тренда задается уравнением x
t
= β
0
+ β
1
t + u t
,
t = 1, . . . , n.
Будем предполагать, что ошибки u t
удовлетворяют условиям теоремы
Гаусса – Маркова, поэтому к модели линейного тренда применимы вы- воды стандартной линейной модели регрессии. В частности, среднее зна- чение Ex t
линейно зависит от времени t:
Ex t
= β
0
+ β
1
t.
Коэффициент β
1
имеет следующую интерпретацию: это есть среднее приращение временного ряда за один период времени
△Ex t
= Ex t
− Ex t−1
= β
1
Следовательно, с увеличением времени,
• при β
1
> 0 во временном ряду есть «тенденция к возрастанию»,
• при β
1
< 0 во временном ряду есть «тенденция к убыванию»,
причем средняя скорость изменения временного ряда за один период времени постоянна.
Модель экспоненциального тренда задается уравнением ln(x t
) = β
0
+ β
1
t + u t
40

Будем предполагать, что ошибки u t
удовлетворяют условиям теоремы
Гаусса – Маркова. Тогда к модели линейного тренда применимы выводы стандартной линейной модели регрессии. В частности, среднее значение зависит от t экспоненциально
E ln(x t
) = β
0
+ β
1
t.
Для коэффициента β
1
получаем следующую интерпретацию:
△E ln(x t
) = E ln(x t
)
− E ln(x t−1
) = E ln

x t
x t−1

= β
1
Следовательно, за один период времени (в среднем) значение x t
изме- няется в exp(β
1
) раз.
Если β
1
мало, то exp(β
1
)
≈ 1+β
1
и за один период времени в среднем значение x t
изменяется (в первом приближении) на β
1
· 100%.
Другие модели тренда. Наряду с линейным и экспоненциальным трендом в прикладных задачах могут встречаться и другие функцио- нальные формы трендов. Например, квадратичный тренд, задавае- мый уравнением x
t
= β
0
+ β
1
t + β
2
t
2
+ u t
Для выбора функциональной модели тренда применимы методы и тесты модели регрессии на функциональную форму.
Использование временн ´
ых рядов с трендом в регрессионных моделях
1.5.2.
Оценивание и статистические выводы
Для оценки и тестирования модели (1.2) необходимо провести пред- варительное тестирование ошибки на серийную корреляцию, а после этого воспользоваться методом наименьших квадратов с поправкой на автокорреляцию ошибки v t
, то есть рассматривая робастные тестовые статистики.
41

Как устроена корректировка на автокорреляцию рассмотрим на при- мере линейного тренда с автокорреляцией первого порядка:
x t
= β
0
+ β
1
t + v t
,
v t
= φv t−1
+ u t
,
|φ| < 1, u t
∼ WN(0, σ
2
).
Стандартное авторегрессионное преобразование x
t
− φx t−1
= β
0
+ β
1
t + v t
− φβ
0
− φβ
1
(t
− 1) − φv t−1
=
(1
− φ)β
0
+ φβ
1
+ (1
− φ)β
1
t + u t
приводит в модели x
t
= γ
0
+ γ
1
t + φx t−1
+ u t
,
|φ| < 1, u t
∼ WN(0, σ
2
)
(1.3)
Далее можно использовать обе альтернативные модели линейного тренда:
• Модель №1: x t
= β
0
+ β
1
t + v t
вида (1.2) с автокоррелированной ошибкой.
Оценка и тестирование модели №1: используются МНК-оценки с поправкой на автокорреляцию (робастные тестовые статистики,
т.к. МНК-оценки неэффективны).
• Модель №2: x t
= γ
0
+ γ
1
t + φx t−1
+ u t
, u t
∼ WN вида (1.3).
Оценка и тестирование модели №2: OLS (МНК-оценки эффектив- ны, т.к. ошибка не автокоррелированна).
Уравнение тренда для модели №2:
f (t) = β
0
+ β
1
t,
β
1
=
γ
1 1
− φ
,
β
0
=
γ
0
− φβ
1 1
− φ
Применение трендовых временных рядов в качестве зависимой и объясняющих переменных имеет важную особенность. Поясним ее на примере модели с одной объясняющей переменной. Итак, пусть y
t
= α
0
+ α
1
t + u t
,
α
1 6= 0,
x t
= γ
0
+ γ
1
t + v t
,
γ
1 6= 0,
42

и оценивается линейная модель регрессии y
t
= β
0
+ β
1
x t
+ error .
Но тогда мы имеем проблему невключения значимого фактора (кото- рый «коррелирует» с x t
), а именно фактора времени t. Это приводит к смещению МНК-оценок
4
параметров регрессии, в частности коэффици- ент β
1
может оказаться значимым, хотя из экономических соображений факторы должны быть независимыми. Описанная проблема называется ложной регрессией (spurious regression problem). Необходимо учесть тренд (включить в модель значимый фактор времени) и оценивать ре- грессию y
t
= β
0
+ β
1
x t
+ β
2
t + error .
К ней уже можно применять OLS-метод с возможной поправкой на автокорреляцию (лучше предварительно потестировать на серийную корреляцию). Но, тем не менее, стоит обратить внимание на возможную мультиколлинеарность.
Пример (Housing investment & Prices [37]). На основе годовых данных с
1947 по 1988 года (n = 42) была оценена лог-линейная модель зависимо- сти инвестиций в строительство (invpc) от индекса цен на дома (price,
равен 1 для 1982 г.):
\
ln(invpc) =
−0.550 + 1.241 ln(price),
s
0
= 0.043,
s
1
= 0.382,
R
2
= 0.208.
Согласно этой модели, эластичность invpc по price значима и положи- тельна. Оба временных ряда имеют возрастающие значимые тренды:
\
ln(invpc)
t
= ˆ
α
0
+ 0.0081t,
s
1
= 0.0018,
\
ln(price)
t
= ˆ
γ
0
+ 0.0044t,
s
1
= 0.0004.
4
А также к их несостоятельности и неверным инференциям.
43

Чтобы учесть трендовое поведение факторов в модель необходимо вклю- чить временной тренд
\
ln(invpc) =
−0.913 − 0.381 ln(price) + 0.0098t s
0
= 0.136,
s
1
= 0.697,
s
2
= 0.0035,
R
2
= 0.307.
В этой модели эластичность отрицательна и незначима, а временной тренд значим и показывает увеличение invpc за год в среднем на 0.98%.
Замечание. Включение в модель трендовой переменной может и «по- вышать значимость» существенных объясняющих переменных.
Используя формулы для двухфакторной регрессии, несложно пока- зать, что включение в модель трендовой переменной равносильно сле- дующей двухшаговой процедуре:
1. «детрендируем» зависимую и объясняющую переменные: вычис- ляем ˙y t
и ˙x t
– остатки в моделях тренда y
t
= α
0
+ α
1
t + u t
x t
= γ
0
+ γ
1
t + v t
,
соответственно;
2. оцениваем парную модель регрессии
˙y t
= β
0
+ β
1
˙x t
+ error .
Тогда оценки коэффициентов β
0
и β
1
в регрессии y t
на x t
, t и в регрессии
˙y t
на ˙x t
совпадают.
Сезонность
В некоторых временных рядах, особенно полученных на основе ме- сячных или квартальных (иногда недельных или дневных) данных мо- жет наблюдаться сезонность или периодичность.
44