Файл: Учебное пособие для вузов Вологда Волнц ран 2021 удк 330. 43 Ббк 65в6 В24.pdf

Для модели GARCH кривая центрирована в u t−1
= 0. Например,
для модели GARCH(1,1) (σ
2
t
= ω + αu
2
t
+ βσ
2
t−1
), кривая воздействия новостей:
σ
2
t
= A + αu
2
t−1
,
где
A = ω + βσ
2
В случае EGARCH(1,1) модель будет иметь вид:
ln σ
2
t

= ω + β ln σ
2
t−1

+ φz t−1
+ ψ (
|z t−1
| − E |z t−1
|) ,
кривая достигает своего минимума в точке u t−1
= 0 и экспоненциально растет в обоих направлениях, но с разными параметрами (Rossi, 2010):
σ
2
t
=







A exp

φ + ψ
σ
u t−1

для u
t−1
> 0,
A exp

φ
− ψ
σ
u t−1

для u
t−1
< 0,
где A = σ
2β
exp h
ω
− ψ
p
2/π
i
, φ < 0, ψ + φ > 0.
В отличие от линейной модели GARCH, модель EGARCH позволя- ет благоприятным и плохим новостям по-разному влиять на волатиль- ность. Кроме того, модель EGARCH позволяет оценить "размерный эф- фект"так, что важные новости могут оказывать большее влияние на волатильность по сравнению с обычной моделью GARCH.
Для модели TGARCH(1,1)
σ
2
t
= ω + αu
2
t
+ γu
2
t−i dir0o
[u t−i
<0]
+ βσ
2
t−1
кривая воздействия новостей задается следующим образом
σ
2
t
=
(
ω + βσ
2
+ αu
2
t−1
если u
t−1
> 0
ω + βσ
2
+ (α + γ) u
2
t−1
если u
t−1
< 0.
Различия между кривыми рассмотренных моделей GARCH позво- ляют по-разному подходить к выбору портфеля и ценообразованию ак- тивов.
87

3.5.
Дробно интегрированные модели
Основной мотивацией для использования таких моделей является то, что распространение шоков в частично интегрированных процес- сах I(d) происходит с медленной гиперболической скоростью распада,
в отличие от экспоненциального распада, связанного со стационарным и обратимым классом процессов ARMA. Учитывая высокую степень устойчивости шоков к процессу условной дисперсии, было предложено несколько частично интегрированных моделей для моделирования этих долгосрочных зависимостей условной дисперсии.
Для вычисления дробно интегрированной модели необходимо ввести понятие оператора дробного дифференцирования, который может быть вычислен с помощью разложения в ряд Тейлора-Маклорена z = 0:
(1
− z)
d
=
1
− dL +
d(d
− 1)
2!
L
2
+ . . . =
∞
X
j=0
d j
!
(
−1)
j z
j где d
j
!
=
d!
(d
− j)!j!
3.5.1.
Модели ARFIMA
Рассмотрим модель ARFIMA(k, d, l)
5
для дискретного вещественного процесса
{Y
t
}. Такая модель имеет вид a(L)(1
− L)
d
Y
t
= b(L)u t
,
где a(L) и b(L) являются полиномами от L порядков k и l, соответствен- но, а
{u t
} – серийно некоррелированный процесс с нулевым средним.
Можно показать, что если Var(u t
) <
∞ и −0.5 < d < 0.5, процесс
{y t
} является слабо стационарным, обратимым и единственным образом представим в виде скользящего среднего и авторегрессии бесконечных порядков. Если d > 0 процесс обладает длинной памятью.
5
The AutoRegressive, Fractionally Integrated, Moving Average models
88

Процесс, удовлетворяющий этим свойствам, имеет автокорреляцион- ную функцию, показывающую гиперболический спад. Это отличается от ARMA, GARCH и других процессов, которые имеют экспоненциаль- ный спад.
Замечание. Модель ARFIMA может разделять краткосрочную и долго- срочную динамику
{Y
t
}, где первая смоделирована с помощью обычных лаговых многочленов ARMA, a(L) и b(L), в то время как последняя по параметру дробной интегрированности d.
3.5.2.
Модели FIGARCH
Модель FIGARCH
6
представляет интерес, так как для неё свойствен- на медленная гиперболическая скорость убывания лагированных квад- ратов инноваций в условной дисперсии. Эта модель предлагает аль- тернативу подходу, рассматривающему изменения параметров GARCH- модели как главную причину медленного убывания автокорреляций.
Если мы выражаем процесс GARCH(p, q) как процесс ARMA(m, p)
для u
2
t
- аналогично тому, что мы делали на предыдущих страницах –
и используем лаговые многочлены, то получим:
[1
− α(L) − β(L)]u
2
t
= ω + [1
− β(L)]ν
t
, ν
t
= ε
− σ
2
t
,
где m = max(p, q). Из этого сразу следует, что класс моделей IGARCH
задается следующим образом:
φ(L)(1
− L)u
2
t
= ω + [1
− β(L)]ν
t
,
где лаговый многочлен для краткосрочной авторегрессионной динамики
φ(L)
≡ [1−α(L)−β(L)](1−L)
−1
имеет порядок m
−1. Модель FIGARCH
получается путем замены оператора (1
− L) оператором дробного диф- ференцирования (1
− L)
d
:
φ(L)(1
− L)
d u
2
t
= ω + [1
− β(L)]ν
t
,
6
Fractionally Integrated Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity
Models.
89

где 0 < d < 1, и все корни φ(L) и (1
−β(L)) лежат вне единичного круга.
Откуда следует, что процесс для u
2
t является ARFIMA(m
− 1, d, p):
(1
− L)
d

1
− α(L) − β(L)
1
− L

u
2
t
= ω + [1
− β(L)]ν
t
3.6.
Оценка моделей GARCH
Оценка вектора параметров в моделях ARCH получается путём мак- симизации функции правдоподобии.
Наиболее часто применяемое распределение для оценки GARCH мо- делей – нормальное, но существует большое количество финансовой ли- тературы, которая показала, что финансовые доходы имеют положи- тельный эксцесс и являются асимметричными. Одно из распределений,
которое может быть использовано для моделирования, как эксцесса, так и асимметрии – это обобщенное Т-распределение (или ассиметричное t-распределение). Несмотря на другие предложенные обобщения, выби- рается это из-за его простоты и его прошлых успешных результатов в моделировании экономических переменных.
Как и в случае с моделями ARMA(p, q), неотъемлемой частью вы- бора модели являются диагностические проверки модели. Если мы хо- тим проверить наличие ARCH эффектов, можно воспользоваться те- стом множителей Лагранжа (LM-тест). Нулевая гипотеза данного теста состоит в отсутствии ARCH эффектов. Для остатков b
u t
строим вспомо- гательную регрессию:
ˆ
u
2
t
= ζ + α
1
ˆ
u
2
t−1
+ α
2
ˆ
u
2
t−2
+ . . . + α
m
ˆ
u
2
t−m
+ e t
(3.5)
Тестовая статистика множителя Лагранжа задаётся как LM = T R
2
,
где R
2
- это центрированный R-квадрат из регрессии(3.5). Статистика асимптотически имеет хи-квадрат распределение с m степенями свобо- ды при нулевой гипотезе.
Необходимо также проверить остатки на автокорреляцию. Соглас- но правильной спецификации GARCH, квадратные стандартизирован- ные остатки не должны демонстрировать никакой автокорреляции, что
90

можно проверить, непосредственно обратившись к значимости автокор- реляционной функции ˆ
z
2
t или более точно, применив тест Льюинга-
Бокса к ˆ
z
2
t
. Более того, если мы предполагаем, что ˆ
z t
является стандарт- ной нормальной величиной, то мы можем использовать критерии согла- сия, чтобы проверить, насколько хорошо ˆ
z t
соответствует этому пред- положению. Например, можно воспользоваться тестами Колмогорова-
Смирнова, Харке-Бера или другими.
Напомним, что у каждой модели волатильности есть своя кривая воздействия новостей, например, у модели GARCH(p, q) она симметрич- на и центрирована в u t−1
= 0, так что положительные и отрицательные шоки доходности одинаково влияют на волатильность.
В этом случае, модель GARCH может занижать величину волатиль- ности в случае отрицательных шоков и завышать ее в случае положи- тельных шоков. Более того, стандартная модель GARCH не учитывает возможный "размерный эффект так что она может недооценивать вола- тильность после большого возвратного шока и переоценивать волатиль- ность после малого возвратного шока. В этой связи можно рассмотреть три диагностических теста для моделей волатильности:
• тест на смещение для шоков разного знака, который исследует влияние как положительных, так и отрицательных шоков доход- ности на волатильность.
• тест на смещение для размера отрицательных шоков, который фокусируется на различных эффектах, которые большие и малые отрицательные шоки оказывают на волатильность.
• тест на смещение для размера положительных шоков, который фокусируется на различном влиянии больших и малых положи- тельных шоков на волатильность, не предсказываемые моделью для волатильности.
Тесты позволяют понять, можно ли прогнозировать квадрат нормализо- ванных остатков некоторыми переменными, наблюденными в прошлом и не включенными в используемую модель волатильности. Если да, то модель для дисперсии неверно специфицирована.
91

Глава 4
Модель векторной авторегрессии
Динамика сложных явлений в экономике и финансах редко может быть описана с использованием одного временного ряда. В этой гла- ве обратимся к многомерным временным рядам, однако всегда следует учитывать, что многие временные ряды изменяются синхронно в опре- деленной взаимозависимости. Поэтому теперь мы перейдём к подходам и методам совместного моделирования двух или более временных рядов.
4.1.
Стационарная VAR-модель
Симс в своей работе [31] показал, что VAR-модели могут служить гибким и интерпретируемым инструментом анализа экономических вре- менных рядов.
Начнём с рассмотрения двух рядов x t
и y t
. Модель векторной авто-
92

регрессии VAR(p) порядка p имеет вид x
t
= µ
1
+
p
X
j=1
β
j x
t−j
+
p
X
j=1
γ
j y
t−j
+ u t
,
y t
= µ
2
+
p
X
j=1
δ
j x
t−j
+
p
X
j=1
θ
j y
t−j
+ v t
Обратите внимание, что в модели VAR все факторы рассматривают- ся как эндогенные
1
Обозначим x
t
=
x t
y t
!
,
µ
=
µ
1
µ
2
!
,
u t
=
u t
v t
!
,
A
j
=
β
j
γ
j
δ
j
θ
j
!
Тогда модель VAR(p) можно записать в матричном виде x
t
= µ +
p
X
j=1
A
j x
t−j
+ u t
(4.1)
Общая модель векторной VAR(p) имеет вид (4.1), где x
t
=




x
1t x
kt



 , µ =




µ
1
µ
k



 ,
u
=




u
1t u
kt



 .
и A
1
, . . . , A
p
– k
× k матрицы.
Обозначим
A(z) = I
− zA
1
− · · · − z p
A
p где I – единичная k
× k матрица.
Условием стационарности является то, что все корни уравнения det A(z) = 0 2
1
Всё влияет на всё!
2
det A(z) – многочлен степени не выше p + k.
93

по модулю больше единицы, включая комплексные.
Для простоты рассмотрим модель VAR(1). Её спецификация выгля- дит следующим образом x t
= µ + Ax t−1
+ u t
. Собственные значения –
это корни характеристического многочлена det(A
− λI) = 0.
Очевидно, что если det A
6= 0, то det A(z) = 0 ⇐⇒ λ = 1/z –
собственные значения A. Откуда делаем вывод, что модель VAR(1) ста- ционарна тогда и только тогда, когда все собственные значения A по модулю меньше 1.
Пример. Рассмотрим модель с матрицей (см.рис.)
A
=
0.7 0.2 0.2 0.7
!
-5.0
-2.5 0.0 2.5 5.0 0
25 50 7
100
Index zoo(var1).1
zoo(var1).2
Рисунок 4.1. Графики рядов для VAR(1)-модели с матрицей A.
94

Замечание. Коэффициенты VAR-модели в общем случае не имеют экономической интерпретации. Сама VAR-модель часто рассмат- ривается как привидённая форма некоторой структурной системы од- новременных уравнений.
Стандартные условия на вектор шоков (ошибку) для стационарной модели VAR выглядят так:
• отсутствие серийной корреляции cov(u it
, u js
) = 0,
t
6= s,
• допускаются кросс-корреляции cov(u it
, u jt
)
6= 0, i 6= j.
Приведём алгоритм оценки и тестирования стационарной модели
VAR.
1. Порядок модели: многомерные аналоги информационных крите- риев Akaike, Schwarz, Hannan-Quinn.
2. Метод оценивания: независимо оцениваем каждое уравнение VAR- модели, используя метод наименьших квадратов.
3. Статистические выводы: стандартные МНК-инференции, т.е. ис- пользуем стандартные тестовые статистики.
4. Проверка “адекватности”: тест Льюинга-Бокса на серийную корре- ляцию для каждого уравнения VAR-модели.
4.1.1.
Функции импульсного отклика
Так как коэффициенты VAR-модели не имеют экономической интер- претации, то, как правило, рассматривают функции импульсного откли- ка IRF
3
для описание того, как переменные реагируют на экзогенный
3
Impulse response function.
95

шок. Более точно, как влияние на все факторы экзогенного шока в одно стандартное отклонение распространяется во времени. При этом Фак- торы нужно упорядочить «по степени возрастания эндогенности».
Формально функция импульсного отклика — это матричная функ- ция от h = 0, 1, 2, ..., которая задается так
∂x t+h
∂u t
=
h
∂x i,t+h
∂u j,t i
p×p
Таким образом, (i, j)-элемент этой матричной функции отражает ре- акцию переменной x i
на шок в переменной x j
. А именно
∂x i,t+h
∂u j,t
— это реакция значения i-й переменной в момент времени t + h на единичное изменение шока j-й переменной в момент времени t. Функция импульс- ного отклика переменной x i
на шок переменной x j
— это последователь- ность
∂x i,t
∂u j,t
,
∂x i,t+1
∂u j,t
, . . . ,
∂x i,t+h
∂u j,t
, . . . .
var1
var2 2
4 6
8 12 14 16 18
Orthogonal Impulse Response from var1
Рисунок 4.2. Функции импульсного отклика первой переменной.
96

Если u t
коррелированны, то мы не можем рассуждать о рассмат- риваемых шоках как об изолированных, поскольку в силу корреляции будет наблюдаться мгновенное воздействие на все другие элементы век- тора. Поэтому, с учетом этих единовременных эффектов, рассматри- ваются ортогонализированные функции импульсного отклика, которые вычисляются в пакетах.
Пример. Для матрицы
A
=
0.7 0.2 0.2 0.7
!
графики импульсных откликов каждой переменной приведены на ри- сунках 4.2 и 4.3.
var1 0.2 0.4 0.6 0.8
var2 0.2 0.4 0.6 0.8 0
2 4
6 8
10 12 14 16 18 20
Orthogonal Impulse Response from var2
Рисунок 4.3. Функции импульсного отклика второй переменной.
97

4.1.2.
Причинность по Гренджеру
Одним из важнейших аспектов оценивания VAR модели является возможность протестировать изменения каких факторов предшествуют изменениям других. При помощи эмпирического анализа весьма слож- но установить те или иные эффекты воздействий. Даже при сильной корреляционной зависимости между переменными, в отсутствие допол- нительной информации, мы не можем говорить о причинах воздействия этих переменных друг на друг. Иногда может помочь эконометрическая теория, но, к сожалению, теория не всегда дает однозначный ответ: в та- ких случаях используется понятие причинности, которое дает возмож- ность идентифицировать влияние тех или иных переменных, основыва- ясь только на статистических результатах.
Определение причинности будет строиться на следующем принципе:
причина всегда предшествует следствию. Другими словами, если пере- менная X влияет на переменную Y , то это означает, что Y меняется либо мгновенно, либо через короткое время после изменения X. То есть сначала происходит изменение X, и только после этого мы наблюдаем его эффект, т. е. изменение Y . И наоборот, если X не является причиной изменения Y , то изменения X не влияют на будущие значения Y . Ниже мы обсудим такое понятие как причина по Гренджеру. Более подробно соответствующая тема раскрывается в книге [1].
Рассмотрим VAR(p) для двух факторов x
t
= µ
1
+
p
X
j=1
β
j x
t−j
+
p
X
j=1
γ
j y
t−j
+ error,
y t
= µ
2
+
p
X
j=1
δ
j x
t−j
+
p
X
j=1
θ
j y
t−j
+ error .
Тогда утверждение “x не влияет на y” означает δ
1
=
· · · = δ
p
= 0.
Наоборот, высказывание “y не влияет на x” равносильно условию γ
1
=
· · · = γ
p
= 0.
Идея
4
состоит в том, что изменение одного фактора предшествуют
4
Clive Granger, Nobel Prize 2003.
98