ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 6868
Скачиваний: 33
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
| УП: 27.03.03_ИАС_ИК_2021.plx | | стр. 15 |
| 18. Сформулируйте условие коллинеарности векторов. 19. Дайте определение скалярного произведения. 20. Запишите свойства скалярного произведения. 21. Запишите формулы деления отрезка в данном отношении. 22. Запишите координатное выражение скалярного произведения. 23. Какие два вектора называются ортогональными? 24. Сформулируйте условие ортогональности векторов. 25. Какая тройка векторов называется компланарной (некомпланарной)? 26. Дайте определение правой (левой) тройки векторов. 27. Дайте определение векторного произведения. 28. Запишите свойства векторного произведения. 29. Запишите координатное выражение векторного произведения. 30. К какому результату приводит векторное произведение двух коллинеарных векторов? 31. В чем состоит геометрический смысл векторного произведения? 32. Дайте определение смешанного произведения трех векторов. 33. В чем состоит геометрический смысл смешанного произведения? 34. Сформулируйте условие компланарности тройки векторов. 35. Запишите общее уравнение прямой на плоскости. Какую информацию о прямой можно извлечь из этого уравнения. 36. Запишите каноническое уравнение прямой на плоскости. Какую информацию о прямой можно извлечь из этого уравнения. 37. Запишите параметрические уравнения прямой на плоскости. Какую информацию о прямой можно извлечь из этого уравнения. 38. Запишите общее уравнение плоскости в пространстве. Какую информацию о плоскости можно извлечь из этого уравнения. 39. Дайте определение линейного пространства. 40. Сформулируйте критерий линейного подпространства. 41. Дайте определение линейной оболочки системы векторов. 42. Дайте определение линейной зависимости (независимости) системы векторов. 43. Сформулируйте критерий линейной зависимости системы векторов. Типовые задачи. 1. Перемножить две предложенные матрицы. 2. Вычислить определитель предложенным способом (по правилу Саррюса, с помощью свойств определителя, разложение определителя по строке или столбцу. 3. Решить линейную невырожденную систему предложенным способом (по правилу Крамера, матричным методом). 4. С помощью скалярного произведения найти длину вектора, угол между векторами, проекцию вектора на другой вектор. 5. Найти общее уравнение (каноническое уравнение, параметрические уравнения) прямой на плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. 6. Найти общее уравнение (каноническое уравнение, параметрические уравнения) прямой на плоскости, проходящей через заданную точку, параллельно заданному вектору. 7. Найти общее уравнение (каноническое уравнение, параметрические уравнения) прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки. 8. Найти общее уравнение (каноническое уравнение, параметрические уравнения) прямой на плоскости, проходящей через заданную точку, параллельно заданной прямой. 9. Найти общее уравнение (каноническое уравнение, параметрические уравнения) прямой на плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданной прямой. 10. Найти проекцию заданной точки на заданную прямую. 11. Выяснить взаимное расположение двух заданных прямых на плоскости. 12. Найти общее уравнение плоскости в пространстве, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. 13. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. | ||
| УП: 27.03.03_ИАС_ИК_2021.plx | | стр. 16 |
| 14. Найти канонические (или параметрические) уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки. 15. Найти фокусы, полуоси, асимптоты и построить график кривой второго порядка по ее каноническому уравнению. 16. Изобразить заданное комплексное число на комплексной плоскости, найти его модуль, главное значение аргумента и записать это число в тригонометрической и показательной формах. 17. Перемножить два комплексных числа. 18. Поделить комплексное число на другое комплексное число. 19. Доказать (или опровергнуть), что заданное множество является линейным пространством. 20. Проверить на линейную зависимость (независимость) заданную систему векторов. 21. Найти базис и размерность заданного линейного пространства. Образцы экзаменационных билетов приведены в Приложении, файл: АиГ(экз.билеты) 2семестр. Задания для домашней работы приведены в Типовом расчете. Приложение, файл: ТР(АиГ2) Контрольные вопросы по теории. 1. Дайте определение линейного пространства. 2. Приведите два примера векторных линейных пространств. 3. Приведите пример линейного пространства из множества всех многочленов. 4. Приведите пример линейного пространства из множества всех матриц. 5. Дайте определение линейной зависимости системы векторов. 6. Дайте определение линейной независимости системы векторов. 7. Дайте определение полной системы векторов в линейном пространстве. 8. Какая система векторов называется максимальной линейно независимой системой. 9. Дайте определение подпространства линейного пространства. 10. Сформулируйте критерий линейного подпространства. 11. Приведите пример линейного подпространства в пространстве многочленов степени не выше 3. 12. Приведите пример линейного подпространства в пространстве квадратных матриц 2-го порядка. 13. Приведите пример линейного подпространства в трехмерном пространстве геометрических векторов. 14. Дайте два определения базиса линейного пространства. 15. Дайте определение размерности линейного пространства. 16. Приведите примеры 2-мерного, 3-мерного, 4-мерного линейных пространств. 17. Приведите примеры 0-мерного и бесконечно-мерного линейных пространств. 18. Дайте определение линейной оболочки системы векторов. 19. Сформулируйте критерий линейной зависимости системы векторов. 20. Дайте определение ранга матрицы. 21. Дайте определение оператора. 22. Дайте определение линейного оператора. 23. Дайте определение обратимого линейного оператора. 24. Дайте определения образа и ранга линейного оператора. 25. Дайте определения ядра и дефекта линейного оператора. 26. Сформулируйте условие обратимости линейного оператора с помощью ранга и дефекта линейного оператора. 27. Запишите равенство, связывающее ранг, дефект линейного оператора с размерностью пространства. 28. Чему равен ранг обратимого линейного оператора. 29. Чему равен дефект обратимого линейного оператора. 30. Запишите канонический (естественный) базис линейного пространства пространства многочленов степени не выше 3. 31. Запишите канонический (естественный) базис линейного пространства квадратных матриц | ||
| УП: 27.03.03_ИАС_ИК_2021.plx | | стр. 17 |
| 2-го порядка. 32. Сформулируйте теорему о структуре общего решения линейной однородной системы. 33. Что такое фундаментальная система решений (ФСР) линейной однородной системы. 34. Сформулируйте теорему о структуре общего решения совместной линейной неоднородной системы. 35. Дайте определение собственного вектора и собственного числа линейного оператора. 36. Укажите все собственные числа и отвечающие им собственные векторы линейного оператора зеркального отражения векторов от оси Ox в двумерном пространстве геометрических векторов. 37. Укажите все собственные числа и отвечающие им собственные векторы линейного оператора зеркального отражения векторов от оси Oy в двумерном пространстве геометрических векторов. 38. Укажите все собственные числа и отвечающие им собственные векторы линейного оператора проецирования векторов на ось Ox в двумерном пространстве геометрических векторов. 39. Укажите все собственные числа и отвечающие им собственные векторы линейного оператора проецирования векторов на ось Oy в двумерном пространстве геометрических векторов. 40. Укажите все собственные числа и отвечающие им собственные векторы линейного оператора поворота векторов на угол 180 градусов вокруг оси Ox (оси Oy, оси Oz) в трехмерном пространстве геометрических векторов. 41. Укажите все собственные числа и отвечающие им собственные векторы оператора проецирования векторов на ось Ox в трехмерном пространстве геометрических векторов. 42. Укажите все собственные числа и отвечающие им собственные векторы оператора зеркального отражения векторов от плоскости Oxy (плоскости Oxz, плоскости Oyz) в трехмерном пространстве геометрических векторов. 43. Укажите все собственные числа и отвечающие им собственные векторы оператора проецирования векторов на плоскость Oxy (плоскость Oxz, плоскость Oyz) в трехмерном пространстве геометрических векторов. 44. Каким свойством обладает система из собственных векторов с различными собственными числами (линейного оператора)? 45. Какой линейный оператор называется оператором простого типа? 46. Сформулируйте необходимые условия оператора простого типа. 47. Сформулируйте достаточные условия оператора простого типа. 48. Дайте определение знакопеременной квадратичной формы. 49. Дайте определение знакоположительной квадратичной формы. 50. Дайте определение знакоотрицательной квадратичной формы. 51. Дайте определение положительно определенной квадратичной формы. 52. Дайте определение отрицательно определенной квадратичной формы. 53. Сформулируйте критерий Сильвестра для положительно определенной квадратичной формы. 54. Сформулируйте критерий Сильвестра для отрицательно определенной квадратичной формы. 55. Сформулируйте закон инерции для квадратичной формы. 56. Какой по знаку(знакопеременной, знакопостоянной, знакоопределенной) является квадратичная форма, если в ее каноническом виде присутствуют только нулевые и отрицательные коэффициенты? 57. Какой по знаку(знакопеременной, знакопостоянной, знакоопределенной) является квадратичная форма, если в ее каноническом виде присутствуют только отрицательные коэффициенты? 58. Какой по знаку(знакопеременной, знакопостоянной, знакоопределенной) является квадратичная форма, если в ее каноническом виде присутствуют и положительные и отрицательные и нулевые коэффициенты? 59. Какой по знаку(знакопеременной, знакопостоянной, знакоопределенной) является квадратичная форма, если в ее каноническом виде присутствуют только нулевые и | ||
| УП: 27.03.03_ИАС_ИК_2021.plx | | | стр. 18 |
| положительные коэффициенты? 60. Какой по знаку(знакопеременной, знакопостоянной, знакоопределенной) является квадратичная форма, если в ее каноническом виде присутствуют только отрицательные коэффициенты? 61. Какой по знаку(знакопеременной, знакопостоянной, знакоопределенной) является квадратичная форма, если в ее каноническом виде присутствуют только положительные коэффициенты? 62. Сформулируйте теорему Лагранжа о приведении квадратичной формы к каноническому виду. 63. Дайте определение евклидовой структуры (скалярного произведения). 64. Какая матрица называется матрицей Грама? 65. Какими свойствами обладает матрица Грама? 66. Какой базис называется ортогональным? 67. Какой базис называется ортонормированным? 68. Каким свойством обладает система из ортогональных векторов? 69. Какой из операторов (ортогональный, сопряженный, симметричный) всегда имеет только вещественные собственные числа? 70. Чему равен определитель ортогональной матрицы? Типовые задачи 1. Найти матрицу перехода от старого базиса к новому базису. 2. Найти координаты вектора в новом базисе по заданным координатам в старом базисе и матрице перехода от старого базиса к новому базису. 3. Найти образ, ранг, дефект заданного линейного оператора. 4. Найти собственные числа и собственные векторы заданного линейного оператора. 5. Найти собственные числа и собственные векторы заданной матрицы. 6. Выяснить, является ли заданный линейный оператор оператором простого типа. 7. Найти собственный базис линейного оператора простого типа. 8. Найти с помощью матрицы Грама длину заданного вектора, угол между двумя заданными векторами в евклидовом пространстве. 9. Провести ортогонализацию заданного базиса евклидова пространства. 10. Найти квадратичную форму и ее матрицу, отвечающую заданной билинейной форме. 11. Методом Лагранжа привести к каноническому виду заданную квадратичная форма. 12. Установить к какому типу (знакопеременная, знакопостоянная, знакоопределенная) относится заданная квадратичная форма. 13. Критерием Сильвестра исследовать заданную квадратичную форму на положительную (отрицательную) определенность. 14. Ортогональным преобразованием координат привести заданную квадратичную форму к каноническому виду. 15. Проверить, является ли заданная матрица ортогональной. Образцы экзаменационных билетов приведены в Приложении, файл: АиГ(экз.билеты) | |||
| 5.3. Фонд оценочных материалов | |||
| | | | |
| Полный перечень оценочных материалов представлен в приложении 1. | |||
| | | | |
| 6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) | |||
| | | | |
| 6.1. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) | |||
| Наименование помещенией | Перечнь основного оборудования | ||
| Помещение для самостоятельной работы обучающихся | Компьютерная техника с возможностью подключения к сети "Интернет" и обеспечением доступа в электронную информационно- | ||
| УП: 27.03.03_ИАС_ИК_2021.plx | | | стр. 19 | ||
| | образовательную среду организации. | ||||
| Учебная аудитория для проведения занятий лекционного и семинарского типа, групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации | Мультимедийное оборудование, специализированная мебель, наборы демонстрационного оборудования и учебно- наглядных пособий, обеспечивающие тематические иллюстрации. | ||||
| | | | | | |
| 6.2. ПЕРЕЧЕНЬ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ | |||||
| 1. | | Microsoft Windows. Договор №32009183466 от 02.07.2020 г. | |||
| 2. | | Microsoft Office. Договор №32009183466 от 02.07.2020 г. | |||
| 3. | | Google Chrome. Свободное программное обеспечение | |||
| | | | | | |
| 6.3. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА | |||||
| | | | | | |
| 6.3.1. Основная литература | |||||
| 1. | | Сабитов И. Х., Михалев А. А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Электронный ресурс]:Учебное пособие для вузов. - Москва: Юрайт, 2021. - 258 с – Режим доступа: https://urait.ru/bcode/473302 | |||
| 2. | | Горлач Б. А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Электронный ресурс]:учебник. - Санкт-Петербург: Лань, 2021. - 300 с. – Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/167492 | |||
| | | | | | |
| 6.3.2. Дополнительная литература | |||||
| 1. | | Потапов А. П. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Электронный ресурс]:Учебник и практикум для вузов. - Москва: Юрайт, 2020. - 309 с – Режим доступа: https://urait.ru/bcode/451035 | |||
| 2. | | Беришвилли О.Н., Плотникова С.В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия : методические указания [Электронный ресурс]:. - Самара: РИЦ СГСХА, 2018. - 100 – Режим доступа: https://lib.rucont.ru/efd/664299 | |||
| 3. | | Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии:Учеб. пособие для вузов. - СПб.: Лань, 2011. - 222 с. | |||
| 4. | | Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре:. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 383 с. | |||
| | | | | | |
| 6.4. РЕКОМЕНДУЕМЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ СОВРЕМЕННЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ БАЗ ДАННЫХ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СПРАВОЧНЫХ СИСТЕМ | |||||
| 1. | | Естественно-научный образовательный портал http://www.en.edu.ru | |||
| 2. | | Научная электронная библиотека http://www.elibrary.ru | |||
| 3. | | Консультант Плюс http:// www.consultant.ru | |||
| | | | | | |
| 6.5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) | |||||
| Самостоятельная работа студента направлена на подготовку к учебным занятиям и на развитие знаний, умений и навыков, предусмотренных программой дисциплины. В соответствии с учебным планом дисциплина может предусматривать лекции, практические занятия и лабораторные работы, а также выполнение и защиту курсового проекта (работы). Успешное изучение дисциплины требует посещения всех видов занятий, выполнение заданий преподавателя и ознакомления с основной и дополнительной литературой. В зависимости от мероприятий, предусмотреннх учебным планом и разделом 4, данной программы, студент выбирает методические указания для самостоятельной работы из приведённых ниже. При подготовке к лекционным занятиям студентам необходимо: перед очередной лекцией необходимо просмотреть конспект материала предыдущей лекции. При затруднениях в восприятии материала следует обратиться к основным литературным источникам. Если разобраться в материале опять не удалось, то обратитесь к лектору (по графику его консультаций) или к преподавателю на практических занятиях. | |||||