ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 97
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Типовое расчётное задание
Векторная алгебра и её приложения к аналитической геометрии
Составитель Сахарова Л.В.
Задание 1
1.1. Найти координаты вектора
, коллинеарного вектору 
и противоположно направленного, если а)
= (-2; 5; 4); 
= 
;б)
= (6; -6; 3); = 45;в)
= (12; -3; -4); = 52.1.2. На оси ординат найти точку К, равноудалённую от точек А(1; -4; 7) и В(5; 6; -5).
1.3. Даны две смежные вершины параллелограмма А(3; 3; -1) и В(-1; 5; 3) и точка О(2; -1; 4) пересечения диагоналей. Найти координаты двух других вершин.
1.4. Точки А(1; 0; 2), В(3; 1; 1) и С(-2; 3; -1) являются последовательными вершинами параллелограмма. Найти длины его диагоналей.
1.5. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(2; 1; -2),
В(-3; 5; 0) и С(4; -1; 6). Найти координаты четвёртой вершины Д.
1.6. Даны три последовательные вершины правильного 6-угольника: А(2; 1; -1), В(-3; 2; 2), С(1; 3; 6). Найти остальные его вершины.
1.7. На оси Oz найти точку К, равноудалённую от точек А(7; -4; 1) и
В(-5; 6; 5).
1.8. Зная одну из вершин треугольника А(3; 1; -1) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами
(2; 2; 5), 
(-1; 3; 4), найти остальные вершины и 
.1.9. Векторы
(4; -2; 2) и 
(-2; 6; 0) совпадают со сторонами треугольника АВС. Определить координаты векторов, совпадающих с его медианами
, 
, 
.1.10. Даны точки А(-1; 5; -10), В(5; -7; 8), С(2; 2; -7), D(5; -4; 2). Проверить, что векторы
и 
коллинеарны, установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны; записать соотношение между этими векторами.1.11. Проверить, что четыре точки А(3; -1; 2), В(1; 2; -1), С(-1; 1; -3),
D(3; -5; 3) служат вершинами трапеции.
1.12. Доказать, что четырёхугольник ABCD – ромб, если А(-1; 0; 3), В(2; 2; 4), С(3; 5; 2), D(0; 3; 1).
1.13. Доказать, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм, если А(1; 2; -3), В(2; -3; 4), С(1; 5; -4), D(5; 3; -2).
1.14. Даны вершины треугольника АВС: А(3; 5; -1), В(1; 1; 2), С(-2; 7; -1). Выяснить, является ли треугольник равносторонним, равнобедренным или разносторонним.
1.15. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АВ. Найти координаты вершины С, если известно: А(1; 2; -2), В(-1; 4; 0), СОх.
1.16. Даны векторы
и 
, приложенные к общей точке. Найти орт биссектрисы угла между 
и 
.1.17. Два вектора
(1; 2; 2) и (3; 0; 4) приложены к одной точке. Определить координаты вектора 
, направленного по биссектрисе угла между векторами и , если 
.1.18. Два вектора
(2; -3; 6) и
(-1; 2; -2) приложены к одной точке. Определить координаты вектора
, направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что 
.1.19. Даны точки А(1; 2; -3), В(2; -3; 4), С(1; 5; -4), D(5; 3; -2). Доказать, что середины звеньев замкнутой ломанной ABCD являются вершинами параллелограмма.
1.20. В треугольнике АВС известны координаты вершины А(2; -1; 1) и векторы
= (-3; 1; 2) и 
= 
. Найти координаты конца вектора, совпадающего с медианой 
.1.21. Вектор
составляет с координатными осями Ox и Oy углы 
, 
, а с осью Oz – тупой угол. Вычислить его координаты при условии, что 
= 8.1.22. Вектор
составляет с координатными осями Ox и Oz углы 
, 
, а с осью Oy – тупой угол. Найти его координаты при условии, что 
= 12.1.23. Вектор
составляет с координатными осями Oy и Oz углы 
, 
, а с осью Ox – тупой угол. Найти его координаты при условии, что
= 
.1.24. Найти координаты вектора
, образующего равные острые углы с осями координат, при условии, что 
= 
.1.25. Найти координаты единичного вектора
, образующего с осями координат равные тупые углы.1.26. Показать, что векторы
, и некомпланарны и разложить вектор 
по векторам , , :а)
(3; -1; 2), (-1; 1; -2), (2; 1; -3), (11; -6; 5);б)
(2; 3; 1), (-1; 2; -2), (1; 2; 1), (2; -2; 1);в)
(1; -1; 1), (3; -1; 2),
(-2; 2; 1),
(-5; -1; -5).1.27. На плоскости даны четыре точки: A(1; -2), B(2;1), C(3; 2) и D(-2; 3). Найти разложение вектора
+
+
, приняв в качестве базиса векторы и 
.1.28. Показать, что векторы
, , компланарны, и разложить вектор по векторам , :а)
(-1; 3; 2), (2; -3; -4), (-3; 12; 6);б)
(3; -1; 0), (0; 2; -1), (-9; 7; -2).Задание 2
Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: а) углы треугольника; б)
, если| № | А | В | С |
| 2.1 | (0; -2; -1) | (2; 2; -2) | (-4; 2; 1) |
| 2.2 | (1; 2; 0) | (5; 4; -4) | (3; 6; 4) |
| 2.3 | (-1; -2; 0) | (1; 2; 4) | (-5; -4; 4) |
| 2.4 | (1; 0; -2) | (5; 2; 2) | (-1; -4; 2) |
| 2.5 | (-1; 1; 0) | (3; -1; 4) | (-3; 5; 4) |
| 2.6 | (0; 2; 1) | (-4; 4; 5) | (2; -2; 5) |
| 2.7 | (-1; 0; -2) | (1; 4; -6) | (3; 1; 2) |
| 2.8 | (1; -2; 0) | (3; -6; 4) | (5; 2; 2) |
| 2.9 | (1; 1; 0) | (5; 3; -4) | (5; -3; 2) |
| 2.10 | (-1; 2; 0) | (3; 6; 2) | (-3; 6; -4) |
| 2.11 | (0; 1; -1) | (-2; 5; 3) | (4; -3; -3) |
| 2.12 | (-2; 1; 0) | (0; 5; -4) | (-6; 5; 2) |
| 2.13 | (0; -1; -2) | (-4; 3; 0) | (2; 3; -6) |
| 2.14 | (2; -1; 0) | (0; 3; 4) | (6; 3; -2) |
| 2.15 | (1; -1; -1) | (3; 3; 3) | (-3; 3; -3) |
| 2.16 | (1; 0; 2) 1 2 3 4 5 6 |