Файл: Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений.docx

Содержание отчета

1. 
   Индивидуальное задание.
   
2. 
   Результаты исследования индивидуального варианта задания:
   

• 
  график функции ;
  
• 
  начальный отрезок неопределенности;
  
• 
  результаты проверки аналитического условия унимодальности функции на отрезке.
  

3. 
   Результаты расчета трех итераций ручным методом представить в табл. 6-2.
   

Таблица 6-2

№ итерации	a	b	x1	x2	f(x1)	f(x2)
1
2
3

4. 
   Программа, реализующая заданный метод с точностью 10^-4.
   
5. 
   Число итераций, необходимые для локализации точки минимума используемыми методами.
   

5. Пример выполнения контрольного задания

1. 
   Задание для решения задачи одномерной оптимизации:
   

• 
  функция, для которой необходимо найти минимум – ;
  

2. 
   Исследование задания:
   

---

• 
  график функции , построенный на достаточно большом отрезке ОДЗ функции:
  

• 
  выберем по построенному графику функции начальный отрезок неопределенности (отрезок, содержащий точку минимума): отрезок [2.5;3.5];
  
• 
  проверим выполнение аналитического условия унимодальности функции на выбранном отрезке:
  

;

при , так как sin(x) и cos(x) не

обращаются в нуль одновременно и .

Значения сведем в следующую таблицу:

х	2.5	2.6	2.7	2.8	2.9	3.0	3.1	3.2	3.3	3.4	3.5
f’(x)	-1.44	-1.34	-1.15	-0.94	-0.69	-0.42	-0.13	0.19	0.52	0.87	1.23

На отрезке [2.5;3.5] функция монотонно возрастает, следовательно, функцияf(x) - на выбранном отрезке унимодальная.

---

---

Метод дихотомии

5. Результаты выполнения функции, реализующей метод золотого сечения и длина отрезка, содержащего точку минимума после трех итераций. Значение параметра d метода дихотомии выберем равным 0.01.

Для проведения расчетов по методу дихотомии следует создать сценарий и выполнить расчеты 3-х итераций. Ниже приведен пример 1-й итерации:

1).





Вычислить аналогично следующие 2 итерации, а результаты расчетов свести в табл. 6.3:

n	a	b	х1	х2	f(x1)	f(x2)
1	2.5	3.5	2.995	3.005	-3.109	-3.113	0.505
2	2.995	3.5	3.2425	3.2525	-3.125	-3.122	0.2575
3	2.995	3.2525	3.119	3.129	-3.1407	-3.141	0.134
4	3.119	3.2525

Для метода дихотомии длина отрезка неопределенности после трех итераций равна

---

6. 
   Число итераций, необходимых для локализации точки минимума и Е=10^-4
   

Теоретическая величина погрешности для метода дихотомии определяется длиной конечного отрезка неопределенности после N итераций: . Отсюда, принимая во внимание, что , можно определить соответствующее число итераций: .

Если точностьЕ=0.0001, а параметр метода d= =0.00002, то получим: .

В результате расчета на ПК при N=13 длина отрезка равна 0.00014. Точность достигнута при N=14,т. е. расчет совпадает с теоретической оценкой.

Метод золотого сечения

7. 
   Результаты выполнения функции, реализующей метод золотого сечения и длина отрезка, содержащего точку минимума после трех итераций
   

Для проведения расчетов по методу золотого сечения следует создать сценарий и выполнить расчеты 3-х итераций. Ниже приведен пример 1-й итерации:
1).




Вычислить аналогично следующие 2 итерации, а результаты расчетов свести в таблицу 6.4:
Таблица 6-4

N	a	b	x1	x2	f(x1)	f(x2)
0	2.5	3.5	2.88197	3.11803	-3.04210	-3.14073	0.61803
1	2.88197	3.5	3.11803	3.26393	-3.14073	-3.11750	0.38197
2	2.88197	3.26393	3.02786	3.11803	-3.12179	-3.14073	0.23607
3	3.02786	3.26393

---