Файл: Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений.docx

Вычислим значения погрешностей ,

xi
0	0
0.1	0.0000001
0.2	0.0000004
0.3	0.0000005
0.4	0.0000007
0.5	0.0000008
0.6	0.0000011
0.7	0.0000015
0.8	0.0000016
0.9	0.0000016
1	0.0000022

Все решения, полученные выше, сведем в табл. результатов 1.5-2:

xi	y(xi)		Ei
0	1	1	0	1	0
0.1	1.1051711	1.1000	0.005171	1.105171	0.0000001
0.2	1.2214026	1.210000	0.011403	1.221403	0.0000004
0.3	1.3498585	1.331000	0.018858	1.349859	0.0000005
0.4	1.4918243	1.4641001	0.027724	1.491825	0.0000007
0.5	1.6487202	1.6105101	0.038211	1.648721	0.0000008
0.6	1.8221179	1.7715611	0.050557	1.822119	0.0000011
0.7	2.0137515	1.9487172	0.065034	2.013753	0.0000015
0.8	2.2255394	2.1435795	0.081960	2.225541	0.0000016
0.9	2.4596014	2.3579478	0.101654	2.459603	0.0000016
1	2.7182798	2.5937426	0.124537	2.718282	0.0000022

---

Где , ,

– аналитическое решение ОДУ,

- решение ОДУ, полученное методом Эйлера, ,

- решение ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка, .

13. 
    Графическая иллюстрация решений
    

В данном случае решение y(x) совпадает с .

Контрольные вопросы по теме
Методы решения дифференциальных уравнений

1. 
   Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение?
   
2. 
   Что такое порядок ОДУ?
   
3. 
   Что называется аналитическим решением ОДУ 1-го порядка?
   
4. 
   Что является общим решением ОДУ ?
   
5. 
   Что является геометрической интерпретацией общего решения ОДУ ?
   
6. 
   Что является численным решением ОДУ ?
   
7. 
   Что относится к начальным условиям при решении ОДУ 1-го порядка численными методами?
   
8. 
   По какому правилу проводят оценку погрешности решения методов Рунге-Кутты?
   
9. 
   Как выглядит формула для определения очередного значения функции по методу Рунге-Кутты 1-го порядка?
   
10. 
    Уменьшение шага интегрирования при использовании методов Рунге-Кутты приводит к уменьшению или увеличению погрешности?
    
11. 
    В обыкновенном дифференциальном уравнении присутствуют производные разных порядков от одной переменной или только первая производная от нескольких переменных?
    
12. 
    Методы Рунге-Кутты являются одношаговыми или многошаговыми методами?
    
13. 
    Сколько раз на каждом шаге необходимо вычислять в модифицированном методе Эйлера?
    
14. 
    Очередная точка решения ОДУ методом Рунге-Кутты вычисляется на основании одного или двух предыдущих значений функции?
    
15. 
    Возможно ли в методах Рунге-Кутты применение переменного шага интегрирования?
    
16. 
    Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием или дифференцированием?
    
17. 
    Каковы формулы оценки погрешности методов Рунге-Кутты?
    
18. 
    Почему метод Эйлера называют методом Рунге-Кутты первого порядка?
    
19. 
    С помощью чего при оценке погрешности метода автоматического выбора шага учитывается порядок используемого метода Рунге-Кутты?
    
20. 
    Можно ли оценить погрешность решения ОДУ, не зная точного решения?
    

---

---

Лабораторная работа по теме №6

«Одномерная оптимизация»

6.1. Вопросы, подлежащие изучению

1. 
   Постановка задачи одномерной оптимизации.
   

Методы оптимизации: метод дихотомии; метод золотого сечения.

2. 
   Условия сходимости методов.
   
3. 
   Оценка погрешности оптимизации.
   
4. 
   Графическая иллюстрация процесса оптимизации.
   
5. 
   Сравнение методов по точности, эффективности деления отрезка унимодальности, по числу итераций, по числу отсчетов исследуемой функции.
   

6.2. Задание

1. 
   Выбрать индивидуальное задание по номеру варианта из табл. 6-1 для решения задачи одномерной оптимизации:
   

• 
  функцию f(x),минимум которой необходимо найти;
  
• 
  метод золотое сечение – четные номера п.3, нечетные –п.4
  
• 
  метод дихотомии - четные номера п.4, нечетные –п.3
  

2. 
   Провести исследование индивидуального варианта задания:
   

• 
  построить график функции ;
  
• 
  выбрать начальный отрезок неопределенности (отрезок, содержащий точку минимума);
  
• 
  проверить выполнение аналитического условия унимодальности функции на выбранном отрезке.
  

3. 
   Получить приближенное значение точки минимума после 3-х итераций. Оценить погрешность.
   
4. 
   Написать функцию, реализующую программу метода, вычисляющую координаты точки минимума функции. Получить результаты с точностью 10^-4.
   

6.3. Варианты задания

Таблица .6-1

№ вар.	Целевая функция
1	f(x) = – 2 (1 + x) e–x – 2 cos(x)
2	f(x) = (x – 1)
3	f(x) = 10 sin(x3) cos(-x)
4	f(x) = x2cos(x + 3) – 4
5	f(x) = cos(x – 5) e2x / 3
6	f(x) = – 4 sin(x) + x1 / 2
7	f(x) = – 5 sin3(x) – cos3(x)
8	f(x) = – cos(2x + 1) ln(2 / x) + 3
9	f(x) = x sin(x + 1) – cos(x – 5)
10	f(x) = (1 + x2)1 / 2 + e–x
11	f(x) = – 8 sin(- x3) e–x
12	f(x) = 5 e–x + 4 x + x3 / 3
13	f(x) = sin(x – 1) – x cos(x + 3)
14	f(x) = 3 cos(x2) / ln(x + 5)
15	f(x) = sin(x2) + 1 / (2 – x)
16	f(x) = sin(ex) – e–x + 1
17	f(x) = sin(x + 1) e2 / x
18	f(x) = – 5 x sin(x + 1) + 2 cos(x)
19	f(x) = 1 + sin(4x) / ln(x)
20	f(x) = 2 sin(4x) ln(– x) – 3
21	f(x) = x3 / 2 – 2 x sin(x)
22	f(x) = x sin(x) + cos(x) + 5
23	f(x) = e–x sin(2x)
24	f(x) = sin(2x) – 2 sin(x)
25	f(x) = sin(2x) – x
26	f(x) = cos(– 2x) e–x
27	f(x) = e–x sin(– 2x)
28	f(x) = e–xcos(– 2x)
29	f(x) = cos(x + 2) + cos(2x) + x
30	f(x) = cos(2x) + 2 sin(x)

---

.

4. 1   2   3   4   5   6   7   8

---