Файл: Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений.docx

дифференциальное уравнение ;
интервал [a;b] , где ищется решение дифференциального уравнения;
начальные условия x0, y0;
шаг интегрирования h0.
Найти аналитическое решение заданного дифференциального уравнения, полагая его точным.
Вычислить значения полученного решения на отрезке [a;b] с шагомh0.
Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера - в точках отрезка [a;b] с шагом h0 с помощью «ручного счета».
Вычислить значения погрешностей для , , .
Составить схему алгоритма, написать программу интегрирования дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага и провести контрольное тестирование на примере, рассмотренном в п. 5.5.
Получить решение с расчетом на ПК» с шагом h0 и E =10-4.
Вычислить значения погрешностей ,
Графически проиллюстрировать решения .

5.3. Варианты задания

Таблица 1.5-1

№ вар	Уравнение	x₀	y₀	h₀	a	b
1	y' = x y²	0	-2	0.4	0	4
2	y' = y² (x²+ x + 1)	0	-2	0.2	0	2
3	y' = x³ y²	0	-2	0.2	0	2
4	y' = y / cos²(x)	0	1	0.1	0	1
5	y' = y cos(x)	0	1	0.5	0	5
6	y' = y²cos(x)	0	-1	0.4	0	4
7	y' = x² y + y	0	1	0.2	0	2
8	y' = (x – 1)² y²	0	-1	0.5	0	5
9	y' = x³ y	0	1	0.2	0	2
10	y' = y² sin(x)	0	0.5	0.2	0	2
11	y' = y sin(x)	0	1	0.4	0	4
12	y' = x y	0	1	0.2	0	2
13	y' = y² / x	1	1	0.2	1	2
14	y' = x² y	0	1	0.2	0	2
15	y' = y² (2 – x)	0	-1	0.4	0	4
16	y' = 3 x² y²	0	-4	0.2	0	2
17	y' = y² (e^x + 4x)	0	-1	0.4	0	4
18	y' = y (x – 1)	0	1	0.4	0	4
19	y' = x (1 + y²)	0	0	0.2	0	1.6
20	y' = x / (2y)	0	1	0.4	0	4
21	y' = y / (3 x²)	1	1	0.2	1	3
22	y' = 4 x e^-3y	1	0	0.2	1	3
23	y' = 2 x y	0	1	0.2	0	2
24	y' = 2 x (y^1/2)	0	1	0.4	0	4
25	y' = y² e^x	0	-2	0.4	0	4
26	y' = x (1 – y²)^1/2	0	0	0.4	0	1.6
27	y' = (1 + x) y	0	1	0.2	0	2
28	y' = x² (1 – y²)^1/2	0	0	0.4	0	1.6
29	y' = (x² + x) y²	0	-1	0.4	0	4
30	y' = y² / cos²(x)	0	-1	0.3	0	1.5

5.4. Содержание отчета

Индивидуальное задание.

Решение ОДУ аналитическим методом.
Значения полученного решения y(x) на отрезке [a;b] с шагом , записанные в табл. 5-2.
Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Эйлера - в точках отрезка [a;b] с шагом h0, используя «ручной расчет», и записанные в табл. 5-2.
Значения погрешностей для , , , записанные в табл. 5-2.
Схема алгоритма, программа решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты, результаты контрольного тестирования.
Значения решения с шагом h0 и E =10-4 , полученные по программе, записанные в табл. 5-2 с указанием числа разбиений и фактического шага интегрирования для каждой точки.
Значения вычисленных погрешностей , , записанные в табл. 5-2.
Графическая иллюстрация решений .

Все решения в итоге должны быть оформлены в виде табл. результатов 5-2.Таблица 5-2

x_i
…	…	…	…	…	…

5.5 Пример выполнения задания

Задание для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

дифференциальное уравнение ;
интервал [0;1];
начальные условия x0=0, y0=1;
шаг интегрирования h0=0.1.

Точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения

Найдем точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения (решение y=y(x)) методом разделения переменных. Для этого запишем уравнение в виде и проинтегрируем с учетом начальных условий. Получим . Из начальных условий следует, что с=0.Аналитическое решение дифференциального уравнения .

Значения точного решения ОДУ –y(x)

Вычислим значения полученного решения y(xi) на отрезке [0;1] с шагом изменения аргумента h=0.1:

x_i	y(x_i)
0	1
0.1	1.1051711
0.2	1.2214026
0.3	1.3498585
0.4	1.4918243
0.5	1.6487202
0.6	1.8221179
0.7	2.0137515
0.8	2.2255394
0.9	2.4596014
1	2.7182798

Численное решение заданного ДУ методом Эйлера

Найдем значения численного решение ОДУ методом Эйлера (

)в точках отрезка[0;1]с шагом h=0.1. Для этого ДУ записывают в виде y’=f(x,y) . Тогда общая формула для определения очередного значения функции по методу Эйлера имеет вид yi+1=yi+hf(xi,yi), где , :

x_i
0
0.1	1.1000
0.2	1.210000
0.3	1.331000
0.4	1.4641001
0.5	1.6105101
0.6	1.7715611
0.7	1.9487172
0.8	2.1435795
0.9	2.3579478
1	2.5937426

Значения погрешностей

Вычислим значения погрешностей

для

x_i	E_i
0
0.1	0.005171
0.2	0.011403
0.3	0.018858
0.4	0.027724
0.5	0.038211
0.6	0.050557
0.7	0.065034
0.8	0.081960
0.9	0.101654
1	0.124537

Схема алгоритма и программа решения ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага
Схема алгоритма интегрирования ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага приведена на рис.5.3-2 и рис. 5.3-3 в [2], а программу студенты должны написать самостоятельно.
Решения, полученные по составленной программе «расчетом на ПК»