; (4)

Передаточная функция замкнутой следящей системы по углу : =

= =

= . (5)

Данные передаточные функции позволяют провести анализ динамики следящей системы, а именно исследовать устойчивость, установившейся режим, построить ЛАЧХ и ЛФЧХ системы.

3. Анализ динамики системы

3.1. Исследование устойчивости движения следящей системы по критерию Гурвица

Алгебраический критерий Гурвица позволяет судить об устойчивости линейной системы по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой САУ



Формулировка критерия:

Для того, чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения системы, а также старший определитель Гурвица и все его диагональные миноры были бы положительные.

Правило записи старшего определителя:

В верхней строчке записываются по порядку коэффициенты с нечётными индексами, начиная с а₁. Главная диагональ заполняется от а_n-1 до а₀. Столбцы заполняются сверху вниз от коэффициента с большим индексом к коэффициенту с меньшим индексом. На места недостающих коэффициентов ставятся нули.

Полином знаменателя замкнутой следящей системы имеет вид:

(6)







Тогда полином знаменателя передаточной функции примет вид:

; (7)

Все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы положительны.

---

Запишем старший определитель Гурвица:

= =

Определитель четвертого порядка будет положительным, если положительны определитель третьего порядка и . Коэффициент положителен исходя из формулы (6), следовательно проверим определитель третьего порядка .



Так как определитель третьего порядка положителен, следовательно определитель четвертого порядка тоже положителен.

Посчитаем определители второго и первого порядка:





Так как все коэффициенты характеристического уравнения и определители Гурвица положительны, то делаем вывод, что следящая система устойчива.

3.2. Исследование устойчивости движения следящей системы по критерию Михайлова

Критерий Михайлова относится к графическим критериям. Он позволяет судить об устойчивости САУ любого порядка по годографу характеристического полинома

,

который при замене p = примет вид:



Годограф характеристического многочлена, который описывает вектор который строится в координатах а меняется от 0 до

---

Формулировка критерия:

Для того, чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор характеристического полинома при изменении от 0 до повернулся в положительном направлении на угол , где n – порядок характеристического уравнения.

Характеристический полином следящей системы определяется по формуле (7):

.

Произведём замену тогда полином примет вид







где

Определяем точки пересечения годографа Михайлова с осями координат.

1. 
   = 0;
   

=0;

2. 
   = 0;
   

Таблица 2. Опорные точки для построения годографа Михайлова

ω	0	1,436	3.162	14.72
U(ω)	1,43	1.4∙	–5.249	-6.387∙
V(ω)	0	1.14	5.552∙	-304.231

---

Рис. 3 – Годограф Михайлова для следящей системы



Рис. 3.1 – Годограф Михайлова для следящей системы при малых частотах

Годограф Михайлова начинает свое движения с точки (1.43;0), расположенной на действительной оси, двигаясь против часовой стрелки, последовательно проходит 4 квадранта координатной плоскости. При годограф мнимую и ось уходит в минус бесконечность в четвертом квадранте. Таким образом система 4 порядка устойчива.

3.3. Исследование устойчивости движения следящей системы по критерию Найквиста

Частотный критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы, которая строится в координатах действительной и мнимой части.

Формулировка критерия:

Для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой САУ не охватывала точку (-1;0i), т. е. пересекала действительную ось в диапазоне от -1 до 0.

Передаточная функция разомкнутой следящей системы:



Проверяем устойчивость движения следящей системы с помощью программы Matlab.

Годограф разомкнутой следящей системы изображён на рис. 3.2.



Рис. 3.2 – Годограф Найквиста для следящей системы

Анализируя полученный график, имеем следующее: годограф комплексной частотной характеристики (АФХ) разомкнутой следящей системы при изменении частоты от 0 до не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0). Значит, следящая система устойчива.

3.4. Исследование переходного режима следящей системы. Определение установившегося значения выходной величины

---

На практике переходный процесс можно считать завершённым, когда экспоненциальные составляющие станут настолько малыми, что полное решение уравнения лишь незначительно (обычно 5% от максимального значения соответствующей функции) будет отличаться от его частного решения, определяющего вынужденное движение САУ.

Точность САУ в установившемся режиме характеризуется ошибками системы при различных воздействиях – постоянном (единичном ступенчатом), а также изменяющихся по определённым законам. Для вычисления установившихся значений пользуются теоремой из операционного исчисления о предельном значении функции. Данная теорема утверждает, что если x(t) есть оригинал изображения X(p) и функция pX(p) – аналитична на мнимой оси и не имеет корней в правой полуплоскости, то



где – установившееся значение функции

Если выходной сигнал θвых(p) представить в виде произведения передаточной функции (p) и входного сигнала , то получим, что



где – порядок астатизма системы (в нашем случае ).

При ступенчатом воздействии ( (t)=1(t)) изображение входного сигнала равно



Установившееся значение выходной величины при ступенчатом воздействии равняется: =

= 0,001386 рад (8)

---

Смотрите также файлы

• Методические рекомендации по суммативному оцениванию Информатика 7.pdf

• 1 Общая часть 1 Краткое описание технологического процесса.docx

• Лекция 1 по ms word 2007 Редактирование и форматирование документов Оглавление 1Свойства документа 2.docx

• Практическое задание 5 по учебному курсу Предпринимательская деятельность.docx

• Закон рк Об образовании.pptx