Файл: Тема 10 Неопределенный интеграл и его свойства.pdf

Раздел 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 10: Неопределенный интеграл и его свойства
План лекции:
1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование.
1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции.
Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.
Определение 1. Функция
 
F x называется первообразной функции
 
f x на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка выполнятся равенство:
 
 
F x
f x


. (10.1)
Например,
4
( )
F x
x

является первообразной для
3
( )
4
f x
x

, так как
4 3
(
)
4
x
x
 
. Любая функция вида
4
( )
F x
x
C


, где С – произвольная постоянная также является первообразной для
3
( )
4
f x
x

Приведем основные теоремы о первообразных без доказательства.
Теорема 1. Если
 
F x – первообразная функции
 
f x
, то функция
 
F x
C

, где
C
const

определяет все возможные первообразные функции
 
f x .
Теорема 2. Если
1
( )
F x
и
2
( )
F x
– две первообразные для функции ( )
f x
на некотором промежутке Х, то найдется такое число С, что будет справедливо равенство:
2 1
( )
( )
C
F x
F x



(две первообразные одной функции отличаются на постоянную).
Определение 2.
Совокупность всех первообразных для функции
 
x
f
на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции
 
x
f
и обозначается
 
f x dx

, где

– знак интеграла;
 
f x – подынтегральнфя функция;
 
f x dx – подынтегральное выражение. ;
 
x
F
- первообразная функция;
C
- произвольная постоянная.
Таким образом,
 
 
f x dx
F x
C



, (10.2) где,
 
F x – некоторая первообразная для
 
f x ;
C
– произвольная постоянная.
Знак интеграла есть вытянутый символ S от латинского Summa. Введен
Лейбницем. Термин «интеграл» введен Якобом Бернулли от латинского слова integralis(целостный) или, по другому предположению от integro
(восстанавливать).
Отыскание для данной произвольной функции
 
f x
ее первообразной называется интегрированием (а весь комплекс связанных с этим вопросов —
интегральным исчислением). Как видим, эта задача является обратной по отношению к дифференцированию, поэтому верность интегрирования проверяется дифференцированием функции, полученной в результате решения.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых
 
y
F x
C


(каждому числовому значению
C
соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Рисунок 10.1– семейство интегральных кривых
Имеет место теорема, утверждающая, что всякая непрерывная на интервале
 
;
a b функция имеет на этом интервале первообразную, а следовательно, и неопределенный интеграл.
2. Основные свойства неопределенного интеграла
1.
Производная от неопределѐнного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
 


 
f x dx
f x



Доказательство:
 


 


 
 
f x dx
F x
C
F x
C
f x










2.
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению , т.е.
 


 
d
f x dx
f x dx


Доказательство:
 


 


 
d
f x dx
f x dx dx
f x dx





3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е
 
 
dF x
F x
C



Доказательство:
 
 
 
 
dF x
F x dx
f x dx
F x
C









4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
 
 
kf x dx
k f x dx



, где
k
– некоторое число.
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:


( )
( )
( )
( )
f x
g x dx
f x dx
g x dx






Это свойство остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.
6.(Инвариантность формулы интегрирования).
Если
 
 
,
f x dx
F x
C



то и
 
 
,
f u du
F u
C



где
 
u
x
 

произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Это свойство говорит о том, что формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от неѐ, имеющей непрерывную производную.
3.
Таблица
основных
интегралов.
Непосредственное
интегрирование
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций:
1)
0
dx
С




2)
1
dx
x
C

 

3)







).
1
(
1 1
n
C
n
x
dx
x
n
n
4)




).
0
(
ln
x
C
x
x
dx
5)
).
1 0
(
ln





a
C
a
a
dx
a
x
x
6)
x
x
e dx
e
C



7) sin cos
xdx
x
C
 


8) cos sin
xdx
x
C



9)



cos
2
C
tgx
x
dx
10)




sin
2
C
ctgx
x
dx
11)
2 2
2 1
1
dx
x
dx
arctg
C
arctgx C
x
a
a
a
x








12)
2 2
arcsin
dx
x
C
a
a
x




13)






ln
2 2
C
k
x
x
k
x
dx
14)







).
0
(
ln
2 1
2 2
a
C
a
x
a
x
a
a
x
dx
15)
ln | cos |
tgxdx
x
C
 


16)
c ln | sin |
tgxdx
x
C



Справедливость записанной таблицы интегралов проверяется непосредственным дифференцированием.
Метод непосредственного интегрирования основан на применении таблицы интегралов, свойств неопределенного интеграла и на

тождественных преобразованиях подынтегральной функции. Рассмотрим его на примерах.
Пример 10.1.Найти интеграл
3
dx
x

и проверить результат дифференцированием.
Решение.Преобразуем подынтегральную функцию
3 3
1
,
x
x


тогда
3 1 2
3 3
2 1
3 1 2
2
dx
x
x
x dx
C
C
C
x
x
 




 
  

 



Проверка.Найдем дифференциал полученной функции:
 
 
2 2
2 2
2 1 3
3 1
1 1
0 2
2 2
1 1
2 2
2
d
C
d
d C
d
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x dx
x


 














 















 

   







Пример 10.2.Найти неопределенный интеграл
3 5
x
x
dx


и проверить результат дифференцированием.
Решение.Так как
 
3 5 3 5 15 ,
x
x
x
x
  

тогда получим
15 3 5 15
ln15
x
x
x
x
dx
dx
C
 





Проверка.Найдем производную от полученного результата:
 
 
15 15 1
1 15 0
15
ln15 15 .
ln15
ln15
ln15
ln15
x
x
x
x
x
C
C












 











Пример 10.3. Найти неопределенный интеграл
2 2
6
du
u


Решение.В знаменателе подынтегральной функции общий множитель
2 вынесем за скобку, тогда постоянный множитель подынтегральной функции
1 2
вынесем за знак интеграла (используем четвертое свойство):


 
2 2
2 2
2 1
1 2
6 2
3 2
2 3
3
du
du
du
du
u
u
u
u












Воспользуемся формулой из таблицы интегралов, где
3,
a

тогда получим:
2 1
1 3
1 3
ln ln
2 6
2 2 3 3
4 3 3
du
u
u
C
C
u
u
u


 
 





Пример 10.4. Найти неопределенный интеграл
x xdx

Решение.Так как
1 1
3 1
2 2
2
,
x x
x x
x
x

 


тогда получим:
3 5
1 3
2 2
5 2
2 3
5 5
1 2
2
x
x
x xdx
x dx
C
C
x
C



 
 




Пример 10.5.Найти неопределенный интеграл
2 1
x
dx
x








Решение.Преобразуем подынтегральную функцию:
2 2
2 2
2 1
1 1
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x





   

 




Тогда получим (согласно пятому свойству)


2 2
2 2
2 2 1 2 1 3
1 3
1 2
2 1
2 2
2 2 1 2 1 3
1 3
x
dx
x
x
dx
x dx
dx
x dx
x
x
x
x
x
x
dx
x
C
x
C
x



 





 














 

 

 







Пример 10. 6.Найти неопределенный интеграл
2
tg xdx

Решение.
2 2
2 2
2 2
2 2
2
sin
1 cos
1
cos
1 1.
cos cos cos cos cos
x
x
x
tg x
x
x
x
x
x







Используя преобразованный вид функции и свойства интегралов, получим:
2 2
2 1
1
cos cos
dx
tg xdx
dx
dx
tgx
x
C
x
x







 








Пример 10.7.Найти неопределенный интеграл
3 2
3 5
7
x
x
x
dx
x



Решение.Преобразуем подынтегральную функцию:

3 2
3 2
1 2 1 3 1 3 1 3 3
1 1
1 1 8
5 1
3 2
3 3
2 3 3
3 6
5 7
5 7
5 7
5 7
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x















Данный интеграл будет равен:


3 2
8 3 5 3 1 6 8 3 5 3 3
8 3 1 5 3 1 1 6 1 11 3 8 3 1 6 7 6 11 3 8 3 7 6 11 8
3 3
7 6
5 7
5 7
5 7
5 7
5 8 3 1 5 3 1 1 6 1 11 3 8 3 3
3 6
3 15 7
5 7
7 6 11 8
7 11 8
6
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x dx
x dx
x
x
x
x
x
x
x dx
C
x
C
x
x
x
C
x
x
x
C













 
 
 





 
 
 
 
 









Вопросы для самопроверки:
1. Дайте определение первообразной функции для функции
)
(x
f
на промежутке Х.
2. Приведите примеры функций, имеющих первообразные.
3. Приведите примеры двух различных первообразных для одной и той же функции
)
(x
f
4. Что называется неопределенным интегралом?
5.Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
6. Напишите таблицу основных интегралов.
7. В чем состоит метод непосредственного интегрирования?
Тема11. Основные методы интегрирования
План лекции:
1. Замена переменной (подстановка) в неопределенном интеграле.
2. Интегрирование по частям.
3. Интегрирование некоторых рациональных выражений.
1. Замена переменной (подстановка) в неопределенном интеграле

В отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и интегралов (первообразных).
Метод непосредственного интегрирования применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев при интегрировании применяются метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
Теорема. Если требуется найти интеграл

dx
x
f
)
(
, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены
 
t
x


и
 
dx
t dt

 
получается:
( )
( ( )) ( )
f x dx
f
t
t dt






(11.1) где
 
t
x


– функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Доказательство. Найдем производные по переменной t от левой и правой частей (1):

 



( )
( )
( )
( ),
( ( )) ( )
( ( )) ( )
t
t
x
t
f x dx
f x dx
x
f x
t
f
t
t dt
f
t
t





 
 











(свойство 1 неопределенного интеграла).
Так как
 
t
x


, то эти производные равны, что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением.
Замечание. После интегрирования в новой переменной необходимо от переменной
t
вернуться к переменной x .

Формула (11.1) показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении.
Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному.
Пример 11.1. Найти неопределенный интеграл sin cos
x
xdx

Решение. Сделаем замену
t
sinx

, тогда dt
cosx dt

1/2 3/2 3/2 2
2
sin cos sin
3 3
t
sinx
dt
cosx d
x
xdx
tdt
t dt
t
C
x
t
C





 




Пример 11.2. Найти интеграл


)
1
(
2
/
3 2
dx
x
x
Решение:
2 5/2 2
3/2 3/2 3/2 5/2 2
5/2 1
1 1 2 2
;
(
1)
2 2
2 5 5
2
(
1)
5
t
x
dt
t
dt
xdx
x x
dx
t
t dt
t
C
C
dt
dx
x
x
C







 
 
 







Пример 11.3. Найти
dx
x
x


3 2
Решение:










3 3
2 3
2 6
3 3
1 3
7 4
7 4
3 3
2
,
2 2
3
,
2 3 3
2 2
3 3
3 2
2 2
7 4
7 2
x
t
x
t
x
x dx
dx
t dt
t t
t dt
t
t
dt
t
x
t
t
C
x
x
C
 
 














 











Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно
(в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком
дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала).
Пример 11.4. Найти интеграл


cos 3 2
x
dx


Решение. Используя свойства дифференциала, получим: