Файл: Тема 10 Неопределенный интеграл и его свойства.pdf

поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы.
Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интеграл существенно различные понятия.
Так неопределенный интеграл
 
f x dx

– это совокупность первообразных функций, а определенный интеграл
 
b
a
f x dx

– это число.
2.Геометрический,
физический
и
экономический
смысл
определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
 
0
y
f x


, снизу – осью
,
Ox сбоку – прямыми
x
a

и
x
b

( )
b
a
f x dx
S


Физический смысл определенного интеграла неоднозначен.
1. Если
( )
F x − сила, параллельная оси 0Х и ориентированная в положительном направлении оси 0Х, действующая на материальную точку при прямолинейном перемещении по промежутку
 
;
a b
, то работа А силы
( )
F x
при этом равна:


b
a
dx
x
F
A
)
(
2. Если
)
(t
V
− скорость неравномерного прямолинейного движения материальной точки, то путь
S
, пройденный точкой за промежуток времени


2 1
, t
t
, при этом равен:


2 1
)
(
t
t
dt
t
V
S

3. Если
)
(x

− плотность неоднородного прямолинейного стержня с концами в точках
b
x
a
x


,
, то масса m такого стержня равна:


b
a
dx
x
m
)
(

Экономический смысл интеграла. Если
 
t
f
– производительность труда в момент времени
t
, то объем выпускаемой продукции за промежуток
 
T
;
0
равен:
 
0
T
V
f t dt


3. Основные свойства определенного интеграла
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке
 
;
a b
1. Если
c
– постоянное число и функция
 
f x
интегрируема на
 
;
a b
, то
 
 
,
b
b
a
a
c f x dx
c
f x dx

 


то есть постоянный множитель
c
можно выносить за знак определенного интеграла.
2. Если функции
 
1
f x
и
 
2
f
x
интегрируемы на
 
;
a b
, тогда интегрируема на
 
;
a b
их алгебраическая сумма и то есть интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов. Это свойство распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
 
 


 
 
1 2
1 2
,
b
b
b
a
a
a
f x
f
x dx
f x dx
f
x dx







3. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла изменяется на противоположный:
 
 
b
a
a
b
f x dx
f x dx
 


4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования
(интеграл в точке) равен нулю:
 
0.
a
a
f x dx


5. Если функция
 
f x
интегрируема на
 
;
a b
и
a
c
b
 
, то
 
 
 
,
b
c
b
a
a
c
f x dx
f x dx
f x dx





то есть интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла. Кроме того, свойство справедливо при любом расположении точек
, ,
a b c
(считаем, что функция
 
f x
интегрируема на большем из получающихся отрезков).
6. «Теорема о среднем». Если функция
 
f x
непрерывна на отрезке
 
;
a b
, то существует точка
 
;
с
a b

такая, что
 
  

b
a
f x dx
f c
b
a

 

7. Если функция
 
f x
сохраняет знак на отрезке
 
;
a b
, где
a
b

, то интеграл
 
b
a
f x dx

имеет тот же знак, что и функция. Так, если
 
0
f x

на отрезке
 
;
a b
, то
 
0
b
a
f x dx


8. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке
 
;
a b


a
b

можно интегрировать. Так, если
 
 
1 2
f x
f
x

при
 
;
x
a b

, то

 
 



b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
2 1
4.Связь определенного интеграла с неопределенным, формула Ньютона-
Лейбница
Рассмотрим основную формулу интегрального исчисления, традиционно связываемую с именами великих ученых И. Ньютона и
Г.В. Лейбница.
Для этого воспользуемся условием следующей вспомогательной теоремы.
Теорема. Непрерывная на отрезке
 
;
a b
функция
 
f x
имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция:
( )
( )
x
a
F x
f t dt


Здесь переменная интегрирования обозначена буквой
t
, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом
x
Поскольку всякая другая первообразная отличается от
( )
F x
на постоянную величину, то связь между неопределенным и определенным интегралами имеет вид:
 
( )
x
a
f x dx
f t dt
C




, где С – произвольная постоянная.
Согласно рассмотренной теореме, непрерывная на отрезке
 
;
a b
функция
 
f x
имеет на этом отрезке первообразную, которая определяется формулой
( )
( ) C
x
a
f t dt
F x



, (12.3)
где С – некоторая постоянная. Подставляя в это равенство x a

и учитывая свойства определенного интеграла, получим:
( )
( ) C,
0
( ) C,
( )
a
a
f t dt
F a
F a
C
F a






 


Тогда из (12.3)имеем
( )
( )
( )
x
a
f t dt
F x
F a



Полагая
x
b

, получим формулу
 
 
 
b
a
f x dx
F b
F a



. (12.4)
Равенство (12.4) называется основной формулой интегрального
исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница.
Если ввести обозначение
 
 
 
b
F b
F a
F x
a


то формулу Ньютона-
Лейбница (12.4) можно переписать так:
 
 
b
a
b
f x dx
F x
a


(12.5)
Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции
 
f x на отрезке
 
;
a b
надо найти еѐ первообразную функцию
 
F x
(в этом состоит связь определенного интеграла с неопределенным) и взять разность
 
 
F b
F a

значений этой первообразной на концах отрезка
 
;
a b .
Вопросы для самопроверки:
1. Дать понятие интегральной суммы.
2. Дать понятие определенного интеграла.
3. В чем состоит достаточное условие интегрируемости функции.
4. В чем существенное различие понятий неопределенного и определенного интегралов?
5. Поясните геометрический, физический и экономический смысл определенного интеграла.
6. Основные свойства определенного интеграла.
7. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.

8. При каких условиях справедлива формула Ньютона-Лейбница?
9. Пусть функция
)
(x
f
интегрируема на
]
;
[
c
a
и неинтегрируема на
]
;
[
b
c
Что можно сказать о ее интегрируемости на
]
;
[
b
a
?
Тема13. Методы вычисления определенного интеграла
План лекции:
1. Метод непосредственного интегрирования
2. Замена переменной в определенном интеграле
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле
1. Метод непосредственного интегрирования
Согласно формуле Ньютона-Лейбница (12.4):
 
 
 
 
b
a
b
f x dx
F x
F b
F a
a




при вычислении определенного интеграла надо сначала найти первообразную
 
F x
или неопределенный интеграл
 
 
f x dx
F x
C



, а затем вычислить разность
 
 
F b
F a

значений первообразной, поэтому таблица неопределенных интегралов, справедлива и для определенных интегралов.
Метод непосредственного интегрирования в определенном интеграле основывается не только на формуле Ньютона-Лейбница, включающей умение находить первообразные по таблице интегралов, использованию основных свойств определенного интеграла, а так же на тождественных преобразованиях подынтегральной функции.
Пример 13.1.Вычислить интеграл


1 2
0 1
x
dx


Решение.Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрата суммы двух слагаемых:





1 0
1 1
1 1
1 1
2 2
0 0
0 0
0 1
1 3
1 1
1 2
2 2
0 0
0 1
1 2 2
4 1
4 1
17 2
1 0 0 1 0
1 2
3 2
3 2
16 1
2
x
dx
x
x dx
dx
x dx
xdx
x
x
x
x










 

  
      






Пример 13.2.Вычислить интеграл
4 2
6 1
cos
dx
x



Решение.
4 4
2 6
6 1
3 3
3 1
cos
4 6
3 3
dx
tgx
tg
tg
x










 


Пример 13.3. Вычислить интеграл
2 2
2 0
1
dx
x


Решение.
2 2
0 2
2 2
0 2
arcsin arcsin arcsin 0 0
2 4
4 1
dx
x
x





  


2.Замена переменной в определенном интеграле
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы
Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.
Теорема. Пусть функция
 
t

имеет непрерывную производную на отрезке
 
;
 
,
 
a
  
,
( )
b
  
и функция
 
f x непрерывна в каждой точке x вида
 
x
t
 
, где
 
;
t
  
Тогда справедливо следующее равенство:

 
 
 
b
a
f x dx
f
t
t dt





 






. (13.1)
Формула (13.1) носит название формулы замены переменной в
определенном интеграле.
Доказательство. По нашему предположению левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральных функций. Пусть
 
 



C
x
F
x
x
f
d
. Тогда
 
 
 
 
 
C
t
F
t
t
t
f







d
Это можно проверить дифференцированием обеих частей, причем правая часть дифференцируется как сложная функция. Применим формулу
Ньютона-Лейбница к рассматриваемым интегралам:
 
 
 
a
F
b
F
x
x
f
b
a



d
,
 
 
 
 


 


 
 
a
F
b
F
F
F
t
t
t
f














d
Так как правые части одинаковы, то одинаковы и левые части. Приравняв их, переходим к равенству (13.1). Теорема доказана.
Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования

и

по новой переменной
t
как решение относительно переменной
t
уравнений
 
t
a


и
 
t
b


. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение
 
t
x
 
новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной
t
упрощается:
 
 
,
a
b
  
  

Пример 13.4. Вычислить интеграл
2 1
ln
e
x
dx
x

Решение. Положим ln x
t

, тогда
dx
dt
x

. Если
1
x

, то
0
t

; если
x
e

, то
1
t

. Следовательно,


1 1
2 2
3 3
3 1
0 0
ln ln
1 1
1 1
0 3
3 3
1 0
1
e
x
t
dx
dt
x
dx
t dt
t
x
x
x
t
x
e
t








  
  


Пример 13.5. Вычислить
dx
x
x



8 3
1 1
Решение.




8 9
9 9
9 3
4 4
4 4
1 3
9 9
1 1
2 2
9 9
2 2
4 4
4 4
1
,
1 1
1 1
2 2
1 3
4 8
9 2 2 2
2 38 26 2
4 9
4 9 3 4 2 4
1 3
3 3
3
x
t x
t
x
t
t
dt
t
dx
dx
dt
dt
dt
dt
x
t
t
t
t
x
t
x
t
t
t
t dt
t dt

 
 

 









  
  
 







  
 
 







Пример 13.6. Вычислить
dx
x
x
tg

3 0
2 3
cos

Решение.
2 3
3 3
4 4
4 3
3 2
0 0
0
,
cos
( 3)
0 9
0 0
cos
4 4
4 4
3 3
dx
tgx
t
dt
x
tg x
t
dx
x
t
t dt
x
x
t




  






  



Пример 13.7. Вычислить интеграл


2 0
2 2
4
dx
x
x
Решение.
Положим
t
x
sin
2

, тогда
tdt
dx
cos
2

. Если
0

x
, то
0

t
; если
2

x
, то
2


t
. Поэтому










2 0
2 2
2 0
2 2
2 0
2 2
cos sin
16
cos
2
sin
4 4
sin
4 4


tdt
t
tdt
t
t
dx
x
x












 
















0 2
2 4
sin
4 1
2 2
4
cos
1 4
2
sin
4 1
16 2
0 2
0 2
0 2
0 2
t
t
dt
t
tdt