Файл: Тема 10 Неопределенный интеграл и его свойства.pdf

 


1 1
3 3
2 3
3
dx
d
x
d
x



Тогда



 


 



1 1
cos 3 2
cos 3 2
3 2
cos 3 2
3 2
3 3
1
sin 3 2
3
x
dx
x
d
x
x
d
x
x
C














В этом примере для нахождения интеграла была использована линейная подстановка
t
kх
b


, где
k
и
b
– некоторые числа
0
k

. В общем случае справедлива следующая теорема, которая тоже позволяет упрощать процесс нахождения интегралов.
Теорема. Пусть ( )
F x
– некоторая первообразная для функции ( )
f x .
Тогда
1
)
(
)
C
(
f
F kх
b
k
kx
b dx


 

, (11.2) где
k
и
b
– некоторые числа
0
k

Доказательство. Используя определение интеграла, отметим
(
)
(
)
C
(
)
f kx
b d kx
b
F kх
b



 

.
Но
(
)
(
)
d kx
b
kx
b dx
d
k x





. Вынося постоянный множитель
k
за знак интеграла и деля левую и правую части равенства на
k
, приходим к
(11.2).
Данная теорема утверждает, что если вместо аргумента x подынтегральной функции
( )
f x
и первообразной
( )
F x
подставить выражение


kх
b

, то этоприведет к появлению дополнительного множителя
1
k
перед первообразной.
2. Интегрирование по частям
Теорема. Если функции
 
и х
и
 
v х дифференцируемы и интеграл

vdu существует, то и интеграл
udv

также существует и





vdu
uv
udv
. (11.3)
Доказательство. Дифференциал произведения двух функций:
 
d uv
vdu
udv


Интегрируя последнее равенство, получим
  

d uv
vdu
udv




,
uv
vdu
udv





udv
uv
vdu




Формула (11.3) называется формулой интегрирования по частям
для неопределенного интеграла. Эта формула дает возможность свести вычисление интеграла
udv

к вычислению интеграла
,
vdu

который может оказаться существенно более простым, чем исходный, или когда он будет ему подобен.
Для применения формулы (11.3) к некоторому интегралу
 
f x dx

следует подынтегральное выражение
 
f x dx представить в виде произведения двух множителей: u и
;
dv за
dv
всегда выбирается такое выражение, содержащее ,
dx из которого посредством интегрирования можно найти v ; за u в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается. Иногда формулу интегрирования по частям приходится использовать несколько раз.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислить методом интегрирования по частям.
1. Интегралы вида
 
,
ax
P x e dx

   
sin
,
P x
ax dx

   
cos
,
P x
ax dx

где
 
P x
– многочлен, a

число,
0
a

. Удобно положить
 
u
P x

, а за
dv
обозначить все остальные сомножители подынтегрального выражения, то есть
 
 
,
sin
,
cos
ax
e dx
dv
ax dx
ax dx


 



В данном случае формула (3) применяется столько раз, какова степень многочлена
 
P x .
2. Интегралы вида
 
arcsin
,
P x
xdx

 
arccos
,
P x
xdx

 
,
P x arctgxdx

 
,
P x arcctgxdx

 
ln
P x
xdx

В таких интегралах удобно положить
 
dv
P x dx

, а за u обозначить остальные сомножители, то есть arcsin ,
arccos ,
,
,
ln .
x
x
u
arctgx
arcctgx
x



 



3. Интегралы вида
 
sin
,
ax
e
bx dx


 
cos
,
ax
e
bx dx


где a и
b
– числа. В таком случае за u можно принять функцию
ax
u
e

или
 
 


sin cos
u
bx
u
bx


Формула интегрирования по частям будет применяться два раза. В повторном интегрировании по частям за u необходимо принять аналогичную в первом применении функцию. В таком случае получается уравнение относительно данного по условию интеграла, из которого легко найти этот интеграл. При неудачном выборе u и
dv
в повторном интегрировании получается бесполезное тождество.
Пример 11.5. Вычислить cos
x
xdx

Решение.
Данный интеграл относится к первой группе интегралов, берущихся по частям. Используя, соответствующие обозначения и формулу
(11.3), получим: cos sin sin cos cos sin sin cos
u
x
du
dx
x
xdx
x
x
xdx
dv
dx
v
dx
x
x
x
x
C















Пример 11.6.Найти интеграл
3
ln x
dx
x


Решение.Интеграл относится ко второй группе интегралов, берущихся по частям. Пусть ln
u
x

,
3
dx
dv
x

, тогда
 
ln
,
du
x dx


1
,
du
dx
x

3 1 2
3 3
2 1
3 1 2
2
dx
x
x
v
x dx
x
x
 






 
 



Подставляя полученные результаты в формулу (3) получим
3 2
2 2
3 2
2 2
2
ln ln
1 1
ln
1 2
2 2
2
ln
1 1
ln
1 2
2 2
2 4
x
x
x
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
C
C
x
x
x
x


 



 








 


  








Пример 11.7. Вычислить

xdx
e
x
cos
2
Решение.Интеграл относится к третьей группе.
2 2
2 2
2 2
cos sin sin
2
cos sin
x
x
x
x
x
u
e
du
e dx
e
xdx
e
x
x
e dx
dv
xdx
v
x



























dx
e
x
x
e
x
e
x
v
xdx
dv
dx
e
du
e
u
x
x
x
x
x
2 2
2 2
2 2
cos cos
2
sin cos sin
2




dx
xe
x
e
x
e
x
x
x
2 2
2
cos
4
cos
2
sin
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
Таким образом, мы получили алгебраическое уравнение с неизвестным интегралом:
2 2
5
cos
(sin
2cos )
x
x
e
xdx
e
x
x



, отсюда
2 2
cos
(sin
2cos )
5
x
x
e
e
xdx
x
x
C




3. Интегрирование некоторых рациональных выражений
Дробно-рациональной функцией
(или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, то есть

 
 
 
,
m
n
P x
f x
Q x

где
 
m
P x
– многочлен степени
,
m
а
 
n
Q x – многочлен степени n .
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть
;
m
n

в противном случае (если
m
n

) рациональная дробь называется неправильной.
Всякую неправильную рациональную дробь
 
 
P x
Q x
можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена
(целой части) и правильной рациональной дроби.
Следующие правильные дроби называются простейшими или элементарными:
1.
;
A
x
a

2.


,
m
A
x
a

где

m
целое число, больше единицы (то есть
,
2

m
N
m

);
3.
2
,
ax
b
x
px
q



где знаменатель дроби не имеет действительных корней, то есть
2 4
0.
D
p
q



Здесь , , , ,
A a b p q

действительные числа.
Перед интегрированием рациональной дроби
 
 
x
Q
x
P
необходимо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:
1)если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из неѐ целую часть, т.е. представить в виде
 
 
 
 
1
,
P x
P x
= М(х)
Q x
Q x

где
М(х)
– многочлен, а
 
 
1
P x
Q x
– правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
  



2
...,
n
m
Q x
х а
x
px q




где








0 4
2
q
p
3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:




















q
px
x
N
x
M
b
x
B
b
x
B
b
x
B
a
x
A
a
x
A
a
x
A
x
Q
x
P
l
l
k
k
2 1
1 2
2 1
2 2
1 1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(















m
m
m
q
px
x
N
x
M
q
px
x
N
x
M
)
(
)
(
2 2
2 2
2
, (11.4) где


,
,
,
,
,
1 1
2 1
N
M
A
A
– неопределенные
(неизвестные) коэффициенты (некоторые из них могут равняться нулю).
4) Для нахождения неопределенных коэффициентов все простейшие дроби приводим к общему знаменателю Q(x) и приравниваем числители обеих частей равенства. Затем сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х. Это приводит к системе уравнений, из которых и находим значения интересующих нас коэффициенты.
Наконец, находки интегралы выделенной целой части и всех простевших дробей, которые затем складываем.
Пример 11.8. Вычислим интеграл





dx
x
x
x
x
x
4 8
22 9
5 3
2 3
Решение. Так как подынтегральная функция является неправильной дробью, то вначале выделяем целую часть
3 2
3 3
2 5
9 22 8
4 5
5 20 9
2 8
x
x
x
x
x
x
x
x
x








Тогда подынтегральное выражение можно представить в виде суммы, а знаменатель разложим на множители
3 2
2 2
3 5
9 22 8
9 2
8 9
2 8
5 5
4
(
2)(
2)
(
2)(
2)
x
x
x
x
x
x
x
dx
dx
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x

























Теперь разложим дробь на сумму дробей

2 9
2 8
(
2)(
2)
2 2
x
x
A
B
C
x
x
x
x
x
x


 





Найдем А, В, С для этого приведем к общему знаменателю правую часть
2 2
2 2
9 2
8
(
4)
(
2 )
(
2 )
(
2)(
2)
(
2)(
2)
x
x
A x
B x
x
C x
x
x
x
x
x
x
x


 








приравниваем числители

 

A
C
B
x
C
B
A
x
x
x
4 2
2 8
2 9
2 2








, тогда два многочлена одной степени равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной х
2 0
:
9
,
:
2 2
2 ,
:
8 4 .
x
A
B
C
x
B
C
x
A
  
 

  
3,
4,
2.
B
C
A



Вернемся к интегралу и распишем его в виде суммы дробей с найденными коэффициентами
2 9
2 8
1 1
1 2
3 4
2 ln
3ln
2 4 ln
2
(
2)(
2)
2 2
x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
x
C
x
x
x
x
x
x







 
 








Возвращаясь к исходному интегралу и используя свойства логарифмической функции, получим



















dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
2 4
2 3
2 5
4 8
22 9
5 3
2 3
5 2ln
3ln
2 4ln
2
x
x
x
x
C



 
 
, или
3 2
2 3
4 3
5 9
22 8
5
ln
(
2) (
2)
4
x
x
x
dx
x
x x
x
C
x
x










Замечание. Прием, которым были найдены коэффициенты
C
,
B
,
A
, называется способом сравнения коэффициентов.
Для определения коэффициентов можно применять способ частных значений, состоящий в следующем: аргументу x придают некоторые
«удобные» значения (ими могут быть значения корней).
Вернемся к рассмотренному случаю:

4
,
8 32
,
3
,
8 24
,
2
,
4 8
2 2
0












C
C
B
B
A
A
x
x
x
Те же самые значения коэффициентов получены проще.
Замечание. При поиске неизвестных коэффициентов рекомендуется комбинировать оба этих метода.
Вопросы для самопроверки:
1.
Как осуществляется замена переменной (подстановка) в неопределенном интеграле?
2. Что значит подвести функцию под знак дифференциала?
3. Как осуществляется метода интегрирования по частям?
4. Какие функции удобно интегрировать по частям?
5. Укажите 3 типа интегралов, вычисление которых целесообразно производить с помощью метода интегрирования по частям.
6. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей
I, II, III типов.
7. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в случае простых вещественных корней знаменателя.
8. Какие алгебраические преобразования и вычисления необходимо сделать перед интегрированием рациональной дроби
 
 
x
Q
x
P
?

1. Понятие определѐнного интеграла
Пусть на отрезке
 
b
a;
задана неотрицательная функция
 
x
f
y

и необходимо найти площадь
S
криволинейной трапеции, ограниченной кривой
 
x
f
y

, прямыми
a
x

,
b
x

и осью абсцисс.
Рисунок 12.1 – Криволинейная трапеция
Выполним следующие действия:
1) с помощью точек


0 1
2 0
1 2
, , , ... ,
n
n
x
a x
x
x
b
x
x
x
x






разобьем отрезок
 
;
a b произвольным способом на n частичных отрезков длиною
;
x
,
,
1
n
1 2
2 0
1 1










n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
2) в каждом частичном отрезке


n
i
x
x
i
i
,...,
2
,
1
,
;
1


выберем произвольную точку


i
i
i
x
x
c
1


и вычислим значение функции в ней, то есть величину
 
;
i
c
f
3) умножим найденное значение функции
 
i
c
f
на длину
i
x

соответствующего частичного отрезка:
 
;
i
i
x
c
f

4) составим сумму
n
S
всех таких произведений
 
 
 
 











n
i
i
i
n
n
n
x
c
f
x
c
f
x
c
f
x
c
f
S
1 2
2 1
1
. (12.1)
Сумма вида (12.1) называется интегральной суммой функции
 
x
f
y

на отрезке
 
;
a b
.Обозначим через

длину наибольшего частичного отрезка:


;
,...,
2
,
1
max
n
i
x
i





5) найдем предел интегральной суммы (12.1), когда


n
так, что
0


Определение 1. Если интегральная сумма
n
S
(12.1) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка
 
b
a;
на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным
интегралом от функции
 
x
f
y

на отрезке
 
b
a;
и обозначается
 

b
a
dx
x
f
Таким образом,
 
 








n
i
i
i
b
a
n
x
c
f
dx
x
f
1 0
lim

(12.2)
Числа
a
и
b
называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,
 
f x
– подынтегральной функцией,
 
f x dx
подынтегральным выражением, x
– переменной интегрирования, отрезок
 
;
a b
– областью (отрезком) интегрирования.
Функция
 
y
f x

, для которой на отрезке
 
;
a b
существует определенный интеграл
 
b
a
f x dx

, называется интегрируемой на этом отрезке.
Теорема. Если функция
 
y
f x

непрерывна на отрезке
 
;
a b
то определенный интеграл
 
b
a
f x dx

существует.
Непрерывность функции является достаточным условием еѐ интегрируемости.
Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла:
( )
( )
( )
b
b
b
a
a
a
f x dx
f y dy
f t dt




