Файл: Тема 10 Неопределенный интеграл и его свойства.pdf

3. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема. Пусть функции
 
u
u x

и
 
v
v x

имеют непрерывные производные на отрезке
 
;
а b . Тогда




b
a
a
b
b
a
u
v
uv
v
u
d d
, (13.2) где
       
b
a
uv
u b v b
u a v a


Формула (13.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Доказательство. Проинтегрируем равенство
 
vdu
udv
uv
d


в пределах от a до
b
(используя формулу Ньютона – Лейбница):
 





b
a
b
a
b
a
u
v
v
u
uv
d d
d
, где
 
a
b
b
a
uv
uv


d
Тогда

 





b
a
b
a
b
a
u
v
uv
v
u
d d
d
,




b
a
a
b
b
a
u
v
uv
v
u
d d
Пример 13.8. Вычислить следующие интегралы:
2 3
1 1)
ln
x
xdx

;2)
4 0
cos 2
x
xdx

Решение.
2 2
2 4
4 2
3 3
4 1
3 1
1 1
2 4
1 1
ln ,
1 1
1)
ln ln
4ln 2 4
4 4
,
4 1
1 15 4ln 2 4ln 2 1 4ln 2 16 16 16
u
x
du
dx
x
x
x
x
xdx
x
dx
x dx
x
x
dv
x dx
v
x













 





4 4
4 0
0 0
4 0
,
1 1
2)
cos 2
sin 2
sin 2 1
2 2
cos 2 ,
sin 2 2
1 1
cos 2 8
4 8
4
u
x
du
dx
x
xdx
x
x
xdx
dv
x v
x
x








 
 







Вопросы для самопроверки:
1. В чем состоит сущность и особенности метода непосредственного интегрирования в определенном интеграле?
2. В чем состоит сущность и особенности метода замены переменной в определенном интеграле?
3. В чем состоит сущность и особенности метода интегрирования по частям в определенном интеграле?
4. Какие функции удобно интегрировать по частям?
5. Укажите 3 типа интегралов, вычисление которых целесообразно производить с помощью метода интегрирования по частям.

6. Для вычисления, каких типов интегралов удобен метод интегрирования по частям?
Тема 14. Геометрические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы
План лекции:
1.Вычисление площадей плоских фигур.
2. Вычисление объемов тел вращения.
3.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода).
4. Несобственные интегралы от неограниченных функций (второго рода).
1.Вычисление площадей плоских фигур
Задача об определении площадей фигур, ограниченных кривыми линиями, рассматривалась ещѐ Архимедом (3 век до нашей эры), который, применив совершенно новый метод, определив площадь сегмента параболы и площади некоторых других фигур. При решении этой задачи Архимед разбивал данную фигуру не всѐ более мелкие части, площади которых было легко найти, и затем, выражаясь современным языком, находил предел суммы площадей этих частей. Между тем развитие астрономии и физики требовало нахождения общего метода решения поставленных задач. Таким общим методом и явилось интегральное исчисление.
Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат основано на геометрическом смысле определѐнного интеграла. Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке
 
,
a b
а) Пусть функция
)
(x
f
y

неотрицательна и непрерывна на отрезке
]
;
[
b
a
. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь

S
под кривой
)
(x
f
y

на
]
;
[
b
a
(рисунок 14.1) численно равна определенному интегралу от ( )
f x
на данном отрезке:


b
a
dx
x
f
S
)
(
. (14.1)
Рисунок 14.1 – Криволинейная трапеция
б) Пусть функция
)
( y
f
x

неотрицательна и непрерывна на отрезке
]
;
[
d
c
. Тогда площадь фигуры
S
, ограниченная кривой
)
( y
f
x

, прямыми
,
y
c
y
d


и осью Oy (рисунок 14.2), численно равна определенному интегралу от
)
( y
f
x

на данном отрезке:


d
c
dy
y
f
S
)
(
(14.2)
Рисунок 14.2 – Площадь фигуры, ограниченная кривой
)
( y
f
x


в) Пусть функция
)
(x
f
y

неположительна и непрерывна на отрезке
 
b
a,
, то площадь
S
надкривой
)
(x
f
y

на
]
;
[
b
a
(рисунок 14.3) равна определенному интегралу от ( )
f x
на
 
b
a,
, взятому со знаком «минус»:



b
a
dx
x
f
S
)
(
. (14.3)
Рисунок 14.3 – Площадь фигуры надкривой
)
(x
f
y

на
]
;
[
b
a
г) Пусть на отрезке
 
b
a,
заданы непрерывные функции
)
(
1
x
f
y

и
)
(
2
x
f
y

такие, что
)
(
)
(
1 2
x
f
x
f

(рисунок 14.4). Тогда площадь
S
фигуры, заключенной между кривыми
)
(
1
x
f
y

и
)
(
2
x
f
y

, на отрезке
 
b
a,
вычисляется по формуле:





b
a
dx
x
f
x
f
S
)
(
)
(
1 2
. (14.4)

Рисунок 14.4 – Площадь фигуры, заключенной между кривыми
)
(
1
x
f
y

и
)
(
2
x
f
y

, на отрезке
 
b
a,
Если фигура имеет сложную Форму, то прямыми, параллельными оси
Oy
, ее следует разбить на части, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.
Пример 14.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой sin
у
x

, прямыми
7
,
,
0 6
4
x
x
y

  


Решение.
Рисунок 14.5 – Площадь фигуры, примера 14.1
Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 14.5. Площадь ее состоит их трех частей, две из которых расположины выше оси абсцисс, одна – ниже, поэтому



0 4
0 4
7 0
7 6
0 6
sin sin sin cos cos cos
3 2
1 1
1 1 1
8 3
2 .
2 2
2
S
x dx
x dx
x dx
x
x
x





 

 



 



 
  
 





2. Вычисление объемов тел вращения
Пусть на отрезке
 
a,b
задана непрерывная знакопостоянная функция
y
)
f ( x

. Необходимо найти объем
x
V
тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями
 
x
f
y

,
a
x

,
b
x

и осью абсцисс (рисунок 14.6).
Рисунок 14.6 – Тело вращения
Для решения задачи применим тот же подход, который был использован для нахождения площади криволинейной трапеции. Разобьем отрезок на элементарные отрез отрезки точками:
0 1
2
, , , ... ,
n
x
a x
x
x
b


и на каждом из отрезков разбиения


1
;
i
i
x
x

некоторым образом выберем точку ,
i

где
1,2,...,
i
n

Тогда некоторое приближение для искомого объема даст следующая сумма:
 
2 1
n
i
i
i
f
x


 

i -е слагаемое которой
1,2,...,
i
n

) – это объем цилиндра с высотой
1
i
i
i
x
x
x

  
и радиусом основания
 
i
f

(рисунок 14.6). Бесспорно, что приближение для искомого объема
x
V
будет тем лучше, чем меньше длина

отрезков разбиения
i
x

, поэтому за искомый объем
x
V
нужно взять следующий предел
 
2
max
0 1
lim
i
n
x
i
i
x
i
V
f
x
 



 

где max
i
x

– максимальная из длин отрезков разбиения. Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, не что иное, как предел интегральной суммы для функции
 
 
2
i
i
x
f
x

 
 
. Поэтому (см. определение определенного интеграла) окончательно получаем, что объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:
2
b
x
a
V
y dx
 

(14.5)
Аналогично, можно показать, что объѐм тела, образованного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией x
( y )
 
, отрезком оси ординат
d
y
c


и прямыми
d
y
c
y


,
, вычисляется по формуле:
2
d
y
c
V
x dy
 

. (14.6)
Пример 14.2. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
2
,
0,
2 2 2
x
y
x
y



вокруг оси Oy .
Решение.
Рисунок 14.6 – К примеру 14. 2

Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 14.6. По формуле (14.6) находим:
2 2 2 2 2
0 0
2 8
y
V
y dy
y
 
 
 

3.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования (первого рода)
Определенный интеграл
 

b
a
dx
x
f
, где промежуток интегрирования


b
a ;
конечный, а подынтегральная функция
 
x
f
непрерывна на отрезке


b
a ;
, называют также собственным интегралом.
Рассмотрим теперь так называемые несобственные интегралы, то есть определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.
Определение 1. Пусть функция
 
x
f
непрерывна на промежутке




;
a
. Если существует конечный предел
 
lim
b
b
a
f x dx


, то его называют
несобственным интегралом первого рода и обозначают
 


a
dx
x
f
Таким образом, по определению:
 
 
lim
b
b
a
a
f x dx
f x dx





. (14.7)
В этом случае говорят, что несобственный интеграл
 


a
dx
x
f
сходится.
Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл
 


a
dx
x
f
расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке


b
;


:
 
 
lim
b
b
a
a
f x dx
f x dx





Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:
 
 
 











c
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
, где с – произвольное число.
В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция
 
0

x
f
на промежутке




;
a
и интеграл
 


a
dx
x
f
сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (рисунок 14.7).
Рисунок 14.7 – Площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции
Пример 14.3.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: 1)


1 2
x
dx
; 2)



0
cos xdx
; 3)


1
x
dx
Решение. Работая по определению (14.7), переход, получим:
1)


2 2
1 1
1 1
lim lim
0 1 1
b
b
b
b
dx
x dx
x
x





 
   


, следовательно, несобственный интеграл сходится.

2)
0 0
0
cos lim cos lim sin
0
lim sin
a
a
a
a
a
xdx
xdx
x
a






 


, интеграл расходится, так как при


a
предел lim sin
a
a

не существует.
3)
1 1
lim lim ln
b
b
b
dx
dx
b
x
x





 


, интеграл расходится.
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.
Используя формулу Ньютона - Лейбница можно убедиться, что
1
m
dx
x


является сходящимся к
1 1
m

при
1
m

, и расходящимся при
1
m

4. Несобственные интегралы от неограниченных функций (второго
рода)
Определение 2. Пусть функция
 
x
f
непрерывна на промежутке


b
a ;
и имеет бесконечный разрыв при
b
x

. Если существует конечный предел
 
0
lim
b
a
f x dx



, то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
 

b
a
dx
x
f
Таким образом, по определению
 
 
0
lim
b
b
a
a
f x dx
f x dx





. (14.8)
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл
 

b
a
dx
x
f
сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл
 

b
a
dx
x
f
расходится.

Аналогично, если функция
 
x
f
терпит бесконечный разрыв в точке
a
x

, то полагают
 
 
0
lim
b
b
a
a
f x dx
f x dx





Если функция
 
x
f
терпит разрыв во внутренней точке
с отрезка


b
a ;
, то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
 
 
 





b
с
с
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.
В случае, когда
 
0

x
f
, несобственный интеграл второго рода
 

b
a
dx
x
f
(разрыв в точке
b
x

) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (рисунок 14.8).
Рисунок 14.8 – Площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции
Пример 14.4. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: 1)

1 0
2
x
dx
; 2)

2 0
cos

x
dx
Решение. 1) При
0

x
функция
2 1
y
x

терпит бесконечный разрыв;
1 1
1 2
2 0
0 0
0 0
0 1
1
lim lim
1 lim
dx
x dx
x
x









 
  
 







, следовательно, интеграл расходится.