. Предположим, что . Тогда уравнение можно переписать так: . Уравнение вида называется уравнением с разделенными переменными. Интегрируя почленно уравнение , получим общее решение уравнения : .

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:

1) разделить переменные;

2) интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения;

3) найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).
Дифференциальное уравнение второго порядка и его общее решение

Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно , имеет вид:

.

Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида

.

Такое уравнение решается двукратным интегрированием:

, откуда

Проинтегрировав эту функцию, получим какую-то новую функцию от , которую обозначим через . Таким образом,

---

или Итак, получили общее решение данного дифференциального уравнения, содержащее две произвольные постоянные С₁ и С_2.Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 2-го порядкас постоянными коэффициентамиОбщий вид ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами ,где – действительные постоянные.Уравнение , полученное заменой производных (m=0, 1, 2) искомой функции степенями , называется характеристическим уравнением для уравнения .

Корни характеристического уравнения	Общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
1) и - различные действительные корни; 2) - два совпавших корня; 3) два комплексно сопряжённых корня.	1) ; 2) ; 3) .

---

Задание 5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.1.		.14.
.2.		.15.
.3.		.16.
.4.		.17.
.5.		18.
.6.		19.
.7.		.20.
.8.		.21.
.9.		.22.
10.		.23.
11.		.24.
12.		.25.
13.		.26.

---

Задача1 . Решить уравнение .Решение. ►Разделяем переменные: . Интегрируем: , или - общий интеграл уравненияЗадача 2.Найти общее решение уравнения , x≠0.Решение.►Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение следующим образом: (полагаем здесь y≠0).Проинтегрируем обе части последнего равенства: .Для удобства потенцирования представим y в виде и постоянную интегрирования в виде , С≠0.Имеем: .Потенцируя, получим , С≠0.◄Задача 3. Найти общий интеграл уравнения .Решение. ►Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Преобразуем левую часть уравнения Разделим переменные, поделив обе части последнего уравнения на : илиОбозначим произвольную постоянную через

---

, что допустимо, так как (при ) может принимать любое значение от до .

Следовательно, или - общий интеграл данного уравнения.◄

---

Смотрите также файлы

• Доверенность на получение трудовой книжки.doc

• Комплект оценочных средств к зачету по дисциплине Основы алгоритмизации и программирования.docx

• Цель сформировать умения планировать, проектировать и моделировать различные формы логопедической работы на основе знания основных принципов их организации и проведения. 34.docx

• План мероприятий для устранение 1 Прочитать 3 книги по тайм менеджменту 2 Внедрить правила из книг в работу.docx

• Решение дифференциального уравнения. Найти решение задачи Коши.docx