Файл: Методические указания и контрольные задания по выполнению контрольной работы для заочного отделения по учебной дисциплине.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2023
Просмотров: 45
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. Предположим, что . Тогда уравнение можно переписать так: . Уравнение вида называется уравнением с разделенными переменными. Интегрируя почленно уравнение , получим общее решение уравнения : .
При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:
1) разделить переменные;
2) интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения;
3) найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).
Дифференциальное уравнение второго порядка и его общее решение
Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка.
Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно , имеет вид:
.
Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида
.
Такое уравнение решается двукратным интегрированием:
, откуда
Проинтегрировав эту функцию, получим какую-то новую функцию от , которую обозначим через . Таким образом,
или
Итак, получили общее решение данного дифференциального уравнения, содержащее две произвольные постоянные С1 и С2.
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 2-го порядка
с постоянными коэффициентами
Общий вид ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
,
где – действительные постоянные.
Уравнение , полученное заменой производных (m=0, 1, 2) искомой функции степенями , называется характеристическим уравнением для уравнения .
Задание 5
. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Задача1 . Решить уравнение .
Решение.
►Разделяем переменные: . Интегрируем: , или - общий интеграл уравнения
Задача 2.
Найти общее решение уравнения , x≠0.
Решение.
►Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение следующим образом: (полагаем здесь y≠0).
Проинтегрируем обе части последнего равенства: .
Для удобства потенцирования представим y в виде и постоянную интегрирования в виде , С≠0.Имеем: .
Потенцируя, получим , С≠0.◄
Задача 3. Найти общий интеграл уравнения .
Решение.
►Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Преобразуем левую часть уравнения
Разделим переменные, поделив обе части последнего уравнения на :
или
Обозначим произвольную постоянную через
, что допустимо, так как (при ) может принимать любое значение от до .
Следовательно, или - общий интеграл данного уравнения.◄
При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:
1) разделить переменные;
2) интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения;
3) найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).
Дифференциальное уравнение второго порядка и его общее решение
Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка.
Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно , имеет вид:
.
Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида
.
Такое уравнение решается двукратным интегрированием:
, откуда
Проинтегрировав эту функцию, получим какую-то новую функцию от , которую обозначим через . Таким образом,
или
Итак, получили общее решение данного дифференциального уравнения, содержащее две произвольные постоянные С1 и С2.
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 2-го порядка
с постоянными коэффициентами
Общий вид ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
,
где – действительные постоянные.
Уравнение , полученное заменой производных (m=0, 1, 2) искомой функции степенями , называется характеристическим уравнением для уравнения .
Корни характеристического уравнения | Общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами |
1) и - различные действительные корни; 2) - два совпавших корня; 3) два комплексно сопряжённых корня. | 1) ; 2) ; 3) . |
Задание 5
. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
.1. | | .14. | |
.2. | | .15. | |
.3. | | .16. | |
.4. | | .17. | |
.5. | | 18. | |
.6. | | 19. | |
.7. | | .20. | |
.8. | | .21. | |
.9. | | .22. | |
10. | | .23. | |
11. | | .24. | |
12. | | .25. | |
13. | | .26. | |
| | | |
Задача1 . Решить уравнение .
Решение.
►Разделяем переменные: . Интегрируем: , или - общий интеграл уравнения
Задача 2.
Найти общее решение уравнения , x≠0.
Решение.
►Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение следующим образом: (полагаем здесь y≠0).
Проинтегрируем обе части последнего равенства: .
Для удобства потенцирования представим y в виде и постоянную интегрирования в виде , С≠0.Имеем: .
Потенцируя, получим , С≠0.◄
Задача 3. Найти общий интеграл уравнения .
Решение.
►Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Преобразуем левую часть уравнения
Разделим переменные, поделив обе части последнего уравнения на :
или
Обозначим произвольную постоянную через
, что допустимо, так как (при ) может принимать любое значение от до .
Следовательно, или - общий интеграл данного уравнения.◄