Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 4496
Скачиваний: 4
61
Определение 2. Метод имеет р-й порядок точности, если существует
такое число р>0, для которого
),
(
)
(
p
n
n
O
t
u
y
при
, где: - шаг
интегрирования; O-малая величина порядка
p
.
Так как
)
(
)
(
1
O
t
u
u
u
n
n
n
, то метод Эйлера имеет первый
порядок точности. Порядок точности метода совпадает с порядком точности
разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения.
6.1.2 Методы Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта второго порядка точности
Отличительная особенность методов Рунге-Кутта от метода (6.5)
заключается в том, что значение правой части уравнения вычисляется не
только в точках сетки, но и также в середине отрезков(промежуточных
точках).
Предположим, что приближенное значение
n
y решения задачи в
точке
n
t
t
уже известно. Для нахождения
1
n
y
поступают так:
1) используют схему Эйлера в таком виде
)
,
(
5
,
0
2
1
y
t
f
y
y
n
n
n
n
(6.6)
и отсюда вычисляют
2
1
n
y
;
2) воспользуемся разностным уравнением вида
)
,
5
,
0
(
2
1
1
n
n
n
n
y
t
f
y
y
,
(6.7)
откуда найдем значение
1
n
y
. Далее подставим значение
5
,
0
2
1
n
n
y
y
в
уравнение (6.7). Тогда
)
f
τ
,
τ,y
,
f(t
τ
y
y
n
n
n
n
n
5
0
5
0
1
,
(6.8)
где
)
,
(
n
n
n
y
t
f
f
.
Можно показать, что метод (6.8) имеет второй порядок точности, т.е.
)
(
)
(
2
O
t
u
y
n
.
62
Метод (6.8) называется методом прогноза и коррекции в том смысле,
что на первом этапе решение как бы предсказывается с точностью
)
O(τ
, а
на втором этапе - с точностью до
)
(
2
O
(второй порядок точности).
Будем рассматривать явные методы. Задаем числовые коэффициенты
i
a ,
ij
b , i=2,...,m; j=1,2,...,(m-1) и =1,2,...,m . Последовательно вычисляем
функции
)
,y
f(t
k
n
n
1
;
)
k
τ
b
τ,y
a
f(t
k
n
n
1
21
2
2
;
)
k
τ
b
k
τ
b
τ,y
a
f(t
k
n
n
2
32
1
31
3
3
;
……………………………………………..
)
k
τ
b
...
k
τ
b
τ,y
a
f(t
k
m
mm
m
n
n
n
n
1
1
1
1
.
Затем из формулы
m
i
i
i
n
n
k
y
y
1
1
находим значения
1
n
y
. Здесь
ij
i
b
a ,
,
i
-числовые параметры, которые определяются или выбираются из
соображений точности вычислений.
При m=1 и =1 получается метод Эйлера, при m=2 получаем
семейство методов
)
(
2
2
1
1
1
k
k
y
y
n
n
,
(6.9)
где:
)
,
(
1
n
n
y
t
f
k
;
)
,
(
1
21
2
2
k
b
y
a
t
f
k
n
n
; y
0
=u
0
.
Семейство определяет явные методы Рунге-Кутта. Подставив нужные
1
и
2
, получаем окончательную формулу. Точность этих методов совпадает
с точностью аппроксимирующего метода и равна
)
(
2
O
.
Невязкой, или погрешностью аппроксимации метода (6.9) называется
величина
))
,
(
,
(
)
,
(
21
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
t
f
b
u
a
t
f
u
t
f
u
u
,
полученная заменой в (6.9) приближенного решения точным решением.
При
1
+
2
=1 получим первый порядок точности. Если же потребовать
дополнительно
5
,
0
2
2
21
2
a
b
, то получим методы второго порядка
точности вида
))
,
(
,
(
)
,
(
)
1
(
1
n
n
n
n
n
n
n
n
y
t
f
a
y
a
t
f
y
t
f
y
y
63
при
5
,
0
a
.
Приведем один из методов Рунге-Кутта третьего порядка точности
)
k
k
(k
τ
y
y
n
n
3
2
1
1
4
6
1
,
где:
)
,
(
1
n
n
y
t
f
k
;
)
k
,y
τ
f(t
k
n
n
1
2
2
2
;
)
2
,
(
2
1
3
k
k
y
t
f
k
n
n
.
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности
)
k
k
k
k
(
τ
y
y
n
n
4
3
2
1
1
2
2
6
1
,
где:
;
1
)
y
,
t
f(
k
n
n
;
2
2
1
2
)
k
τ
y
,
τ
t
f(
k
n
n
;
2
2
2
3
)
k
τ
y
,
τ
t
f(
k
n
n
.
3
4
)
k
τ
y
τ,
t
f(
k
n
n
Методы Рунге-Кутта сходятся и порядок их точности совпадает с
порядком аппроксимации разностным отношением.
Теорема. Пусть правая часть уравнения (6.4)
)
,
( u
t
f
удовлетворяет
условию Липшица по аргументу u с константой L, и пусть
n
-невязка
метода Рунге-Кутта. Тогда для погрешности метода при
T
n
справедлива оценка
n
T
n
n
Te
t
u
y
max
)
(
,
где:
1
)
1
(
m
Lb
Lm
;
i
i
max
;
ij
j
i
b
b
,
max
.
На практике обычно пользуются правилом Рунге. Для этого сначала
проводят вычисления с шагом , затем - 2 . Если
n
y
- решение при шаге , а
2
2n
y
- при шаге
2 , то справедлива оценка
n
n
n
n
y
y
t
u
y
2
2
2
2
15
16
)
(
.
Тогда за оценку погрешности при шаге 2 принимают величину
15
max
2
2n
n
i
y
y
.
64
6.2 Многошаговые разностные методы решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения
)
,
( u
t
f
dt
du
,
(6.10)
где
0
)
0
(
u
u
.
Для решения задачи Коши для уравнения (1) при t>0 введем
равномерную сетку с постоянным шагом
,...
,
τ,n
n
t
ω
n
τ
1
0
.
Введем понятие линейного m шагового разностного метода для
решения задачи (6.10). Линейным m-шаговым методом называется система
разностных уравнений
m
n
m
n
n
m
n
m
n
n
f
b
...
f
b
f
b
τ
y
a
...
y
a
y
a
1
1
0
1
1
0
,
(6.11)
где: n=m,m+1...;
k
k
b
,
a
-числовые коэффициенты не зависящие от n;
k=0,1,…,m.
Систему (6.11) будем рассматривать как рекуррентные соотношения,
выражающие новое значения
)
(
n
n
t
y
y
через ранее найденные значения
m
n
n
n
y
y
y
,...,
,
2
1
, причем расчет начинают с индекса n=m, т.е. с уравнения
0
1
1
0
0
1
1
0
f
b
...
f
b
f
b
τ
y
a
...
y
a
y
a
m
m
m
m
m
m
.
Отсюда следует, что для начала расчета по формулам (6.11) надо знать m
предыдущих значений функции y, причем y
0
=u
0
. Эти предыдущие m
значений могут быть найдены одним из одношаговых методов Рунге-Кутта.
Отличие от одношаговых методов состоит в том, что по формулам
(6.11) расчет ведется только в точках сетки.
Определение. Метод (6.11) называется явным, если коэффициент
b
0
=0. Тогда значение
n
y легко выражается через
m
n
n
n
y
y
y
,...,
,
2
1
. В
противном случае метод называется неявным, и для нахождения y придется
решать нелинейное уравнение вида
m
k
k
n
k
k
n
k
n
n
n
)
y
τ
a
t
(b
)
,y
f(t
b
y
τ
a
1
0
0
.
(6.12)
65
Обычно это уравнение решают методом Ньютона при начальном
значении
1
)
0
(
n
n
y
y
. Коэффициенты уравнения (6.11) определены с
точностью до множителя, тогда, чтобы устранить этот произвол, вводят
условие
m
k
k
b
0
1, с тем условием, что правая часть (6.11) аппроксимирует
правую часть уравнения (6.10).
На практике используют частный случай методов (6.11), т.н. методы
Адамса, т.е. когда производная
)
(t
u
аппроксимируется разностным
отношением, включающим две соседние точки
n
t и
1
n
t
. Тогда
1
1
0
a
a
;
k
a =0, k=2,...,m и
m
k
k
n
k
n
n
f
b
y
y
0
1
.
(6.13)
Это и есть методы Адамса. При b
0
=0 метод будет явным, в противном
случае - неявным.
6.2.1 Задача подбора числовых коэффициентов a
к
, b
к
Выясним, как влияют коэффициенты a
k
, b
k
на погрешность
аппроксимации уравнения (6.11), на устойчивость и сходимость.
Определение. Невязкой, или погрешностью аппроксимации методов
(6.11) называется функция
m
k
m
k
k
n
k
n
k
k
n
k
n
u
t
f
b
u
a
r
0
0
)
,
(
,
(6.14)
где
)
(t
u
-точное решение дифференциального уравнения (6.10).
Если разложить функции
)
,
(
k
t
u
u
n
k
n
в ряд Тейлора в точках
n
t
t
равномерной сетки, окончательно получим функцию
p
l
p
n
l
m
k
k
k
l
n
m
k
k
n
O
l
t
U
b
l
k
a
k
t
U
a
r
1
)
(
0
1
0
)
(
)!
1
(
)
(
)
)
(
)
(
(
)
(
)
(
. (6.15)
Из вида функции
n
r следует, что порядок аппроксимации будет равен
p, если выполнены условия