Файл: Вычислит.матем_пособие.pdf

Добавлен: 06.02.2019

Просмотров: 4492

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

51 

).

x

x

)...(

x

x

)(

x

x

(

ha

n

...

)

x

x

(

ha

ha

)

x

(

P

n

n

n

n

n

1

2

1

1

2

1

2

1

 

 

Отсюда,  полагая  х=х

n-1

  получим 

h

y

a

1

1

.  Из  выражения  для  второй 

конечной  разности  найдем  а

2

2

2

2

2

h

!

y

a

n

.  Общая  формула  для 

коэффициента а

i

 имеет вид 

i

i

n

i

i

h

!

i

y

a

Подставим    эти  коэффициенты  в    формулу  многочлена  и  получим 

вторую интерполяционную формулу Ньютона: 

 

).

x

x

)...(

x

x

(

h

!

n

y

...

)

x

x

(

h

y

y

)

x

(

P

n

n

n

n

n

n

n

1

0

1

 

 
На практике используют формулу Ньютона в другом виде. Положим 

q=(x-x

n

)/h. Тогда  

0

2

2

1

1

1

2

1

y

!

n

)

n

q

)...(

q

(

q

...

y

!

)

q

(

q

y

q

y

)

x

(

P

n

n

n

n

n

 
5.3 Интерполирование сплайнами 

 
 

Многочлен  Лагранжа  или  Ньютона  на  всем  отрезке 

a b

,

  с 

использованием  большого  числа  узлов  интерполирования  часто  приводит  к 
плохому  приближению,  что  объясняется  накоплением  погрешностей  в  ходе 
вычислений.  Кроме  того,  из-за  расходимости  процесса  интерполирования 
увеличение  числа  узлов  не  обязано  приводить  к  повышению  точности 
вычислений.  В  силу  вышесказанного  на  практике  весь  отрезок 

a b

,

 

разбивается  на  частичные  интервалы  и  на  каждом  из  них  приближающая  
функция 

f x

( )

  заменяется  многочленом  невысокой  степени.  Такая 

интерполяция называется  кусочно-полиномиальной интерполяцией. 

Определение. Сплайн - функцией называют кусочно-полиномиальную 

функцию,  определенную  на  отрезке 

a b

,

  и    имеющую  на  этом  отрезке 

некоторое число непрерывных производных. 

Слово  сплайн    означает  гибкую  линейку,  которую  используют  для 

проведения  гладких  кривых   через определенное число  точек  на плоскости. 
Преимущество сплайнов - сходимость и устойчивость процесса вычисления. 
Рассмотрим частный случай (часто используемый на практике), когда сплайн 
определяется многочленом третьей степени.   
 


background image

 

52 

 
 


background image

 

53 

5.3.1 Построение кубического сплайна 

 

Пусть  на  отрезке 

a b

,

  в  узлах  сетки  заданы  значения  некоторой 

функции 

f x

( )

, т.е. 

b

x

...

x

x

x

a

n

2

1

0

y

f x

i

i

( )

(i= 0,1,…, n). 

Сплайном,  соответствующим  этим  узлам  функции 

f x

( )

  называется 

функция S(х), которая: 

1) на каждом частичном отрезке является многочленом третьей степени; 
2) функция 

)

x

(

S

  и  ее  первые  две производные   

)

x

(

S

),

x

(

S

  непрерывны  

на  

a b

,

3)  S x

f x

i

i

( )

( ) . 

На  каждом  частичном  отрезке 

x

x

i

i

1

,

  будем  искать  сплайн 

S x

S x

i

( )

( ) , где  

S x

i

( )

 многочлен третьей степени 

 

S x

a

b x x

c

x x

d

x x

i

i

i

i

i

i

i

i

( )

(

)

(

)

(

)

2

6

2

3

.                    (5.8) 

 

То есть для 

x

x

x

i

i

1

,

 нужно построить  такую  функцию

)

x

(

S

i

, где 

a b c d

i

i

i

i

, , ,

  подлежат  определению.  Для  всего  отрезка  интерполирования 

a b

,

,  таким  образом,  необходимо  определить  4 n  неизвестных 

коэффициента. 

.

y

a

)

x

(

S

),

x

x

(

d

c

)

x

(

S

,

)

x

x

(

d

)

x

x

(

c

b

)

x

(

S

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

2

2

 

 

Доопределим 

a

f x

y

0

0

0

( )

.  Требование  непрерывности  функции  S(x) 

приводит к условиям 

S x

S

x

i

i

i

i

( )

( ),

1

 (i=0, 1,…,n-1). 

Отсюда из (5.8) получаем следующие уравнения: 

3

1

1

2

1

1

1

1

1

6

2

)

x

x

(

d

)

x

x

(

c

)

x

x

(

b

a

a

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

(i= 1,2,…,n-1). 

Введем шаг интерполирования 

1

i

i

i

x

x

h

. Тогда последнее равенство 

можно  переписать  в  виде 

1

3

2

6

2

i

i

i

i

i

i

i

i

f

f

d

h

c

h

b

h

(i=  1,2,…,n).  Из 

непрерывности  первой  производной  следует     

1

2

2

i

i

i

i

i

i

b

b

d

h

c

h

  (i= 

2,3,…,n),  а  из  непрерывности  второй  производной 

1

i

c

i

c

i

d

i

h

(i= 

2,3,…,n). 


background image

 

54 

 

Объединив  все  три  вида  уравнений,  получим  систему  из  3n-2 

уравнений  относительно  3n  неизвестных 

b c d

i

i

i

, ,

.  Два  недостающих 

уравнения  получим,  задав  граничные  условия  для  функции  S(x).  Для  этого 
воспользуемся  граничными  условиями  для  сплайн-функции  в  виде 

0

)

b

(

S

)

a

(

S

(концы гибкой линейки свободны). 

Тогда получим систему уравнений  

 

).

n

,...,

,

i

(

,

f

f

d

h

c

h

b

h

)

n

,...,

,

i

(

,

b

b

d

h

c

h

)

n

,...,

,

i

(

,

c

c

,

c

c

d

h

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

n

i

i

i

i

2

1

6

2

3

2

2

2

1

0

1

3

2

1

2

0

1

            (5.9) 

 

Решая систему методом подстановки (исключаем из (5.9) неизвестные 

b

i

,d

i

), получим систему: 

 

0

6

2

0

1

1

1

1

1

1

1

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

c

c

)

h

y

y

h

y

y

(

c

h

c

)

h

h

(

c

h

        (5.10) 

(i= 1,2,…,n-1).   

Система  (5.10)  имеет  трехдиагональную  матрицу.  Эта  система  может 

быть решена методом прогонки или Гаусса. После ее решения коэффициенты 
сплайна 

d b

i

i

,

 определим через коэффициенты с

i

 с помощью явных формул 

i

i

i

i

h

c

c

d

1

 

i

i

i

i

i

i

i

i

h

y

y

d

h

c

h

b

1

2

6

2

(i= 1,2,…,n). 

 

5.3.2 Сходимость процесса интерполирования кубическими сплайнами 

 
Доказывается,  что  при  неограниченном  увеличении  числа  узлов  на 

одном  и  том  же  отрезке 

b

,

a

  S x

f x

( )

( ) .  Оценка  погрешности 

интерполяции

)

x

(

S

)

x

(

f

)

x

(

R

  зависит  от  выбора  сетки  и  степени 

гладкости функции f(x). 

При равномерной сетке 

x

a i h

i

(i=0,1,…,n) 

,

h

M

)

x

(

S

)

x

(

f

h

8

4

4

 


background image

 

55 

где 

|

)

x

(

f

|

max

M

IV

]

b

,

a

[

4

 

Другие постановки задачи интерполирования функций. 
 
1.  Если функция периодическая, то используется тригонометрическая 

интерполяция 

с 

периодом 

l

которая 

строится 

с 

помощью 

тригонометрического  многочлена 

n

K

k

k

n

l

kx

sin

b

l

kx

cos

a

a

)

x

(

T

1

0

коэффициенты  которого  находятся  из  системы 

)

x

(

f

)

x

(

T

i

i

n

  (i= 

1,2,…,2n+1). 

2.  Выделяют  приближение  функций  рациональными,  дробно  – 

рациональными  и  другими  функциями.    В  данной  книге  эти  вопросы  не 
рассматриваются. 
 
 

5.4 Аппроксимация функций методом наименьших квадратов 

 
 

К 

такой 

задаче 

приходят 

при 

статистической 

обработке 

экспериментальных  данных  с  помощью  регрессионного  анализа.  Пусть  в 
результате  исследования  некоторой  величины  x  значениям 

n

x

,...,

x

,

x

,

x

3

2

1

 

поставлены в соответствие значения 

n

y

,...,

y

,

y

,

y

3

2

1

 некоторой величины у. 

Требуется  подобрать  вид  аппроксимирующей  зависимости  y=f(x),  

связывающей переменные х и у. Здесь  могут иметь место следующие случаи. 
Во-первых: значения функции f(x) могут быть заданы в достаточно большом 
количестве  узлов;  во-вторых:  значения  таблично  заданной  функции 
отягощены  погрешностями.  Тогда  проводить  приближения  функции  с 
помощью многочлена нецелесообразно, т.к. 
 - это неудобно делать, поскольку число узлов велико и пришлось бы строить 
несколько интерполяционных многочленов; 
 -  построив  интерполяционные  многочлены,  мы  повторили  бы  те  же  самые 
ошибки, которые присущи таблице.   

Будем искать приближающую функцию из следующих соображений: 

1) приближающая  функция  не  проходит  через  узлы  таблицы  и  не  повторяет 
ошибки табличной функции; 
2) чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции от таблично 
заданной была минимальной. 
 
 

                                            

             у                                                   отклонения