Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 4552
Скачиваний: 4
51
).
x
x
)...(
x
x
)(
x
x
(
ha
n
...
)
x
x
(
ha
ha
)
x
(
P
n
n
n
n
n
1
2
1
1
2
1
2
1
Отсюда, полагая х=х
n-1
получим
h
y
a
n 1
1
. Из выражения для второй
конечной разности найдем а
2
:
2
2
2
2
2 h
!
y
a
n
. Общая формула для
коэффициента а
i
имеет вид
i
i
n
i
i
h
!
i
y
a
.
Подставим эти коэффициенты в формулу многочлена и получим
вторую интерполяционную формулу Ньютона:
).
x
x
)...(
x
x
(
h
!
n
y
...
)
x
x
(
h
y
y
)
x
(
P
n
n
n
n
n
n
n
1
0
1
На практике используют формулу Ньютона в другом виде. Положим
q=(x-x
n
)/h. Тогда
0
2
2
1
1
1
2
1
y
!
n
)
n
q
)...(
q
(
q
...
y
!
)
q
(
q
y
q
y
)
x
(
P
n
n
n
n
n
.
5.3 Интерполирование сплайнами
Многочлен Лагранжа или Ньютона на всем отрезке
a b
,
с
использованием большого числа узлов интерполирования часто приводит к
плохому приближению, что объясняется накоплением погрешностей в ходе
вычислений. Кроме того, из-за расходимости процесса интерполирования
увеличение числа узлов не обязано приводить к повышению точности
вычислений. В силу вышесказанного на практике весь отрезок
a b
,
разбивается на частичные интервалы и на каждом из них приближающая
функция
f x
( )
заменяется многочленом невысокой степени. Такая
интерполяция называется кусочно-полиномиальной интерполяцией.
Определение. Сплайн - функцией называют кусочно-полиномиальную
функцию, определенную на отрезке
a b
,
и имеющую на этом отрезке
некоторое число непрерывных производных.
Слово сплайн означает гибкую линейку, которую используют для
проведения гладких кривых через определенное число точек на плоскости.
Преимущество сплайнов - сходимость и устойчивость процесса вычисления.
Рассмотрим частный случай (часто используемый на практике), когда сплайн
определяется многочленом третьей степени.
52
53
5.3.1 Построение кубического сплайна
Пусть на отрезке
a b
,
в узлах сетки заданы значения некоторой
функции
f x
( )
, т.е.
b
x
...
x
x
x
a
n
2
1
0
,
y
f x
i
i
( )
(i= 0,1,…, n).
Сплайном, соответствующим этим узлам функции
f x
( )
называется
функция S(х), которая:
1) на каждом частичном отрезке является многочленом третьей степени;
2) функция
)
x
(
S
и ее первые две производные
)
x
(
S
),
x
(
S
непрерывны
на
a b
,
;
3) S x
f x
i
i
( )
( ) .
На каждом частичном отрезке
x
x
i
i
1
,
будем искать сплайн
S x
S x
i
( )
( ) , где
S x
i
( )
многочлен третьей степени
S x
a
b x x
c
x x
d
x x
i
i
i
i
i
i
i
i
( )
(
)
(
)
(
)
2
6
2
3
. (5.8)
То есть для
x
x
x
i
i
1
,
нужно построить такую функцию
)
x
(
S
i
, где
a b c d
i
i
i
i
, , ,
подлежат определению. Для всего отрезка интерполирования
a b
,
, таким образом, необходимо определить 4 n неизвестных
коэффициента.
.
y
a
)
x
(
S
),
x
x
(
d
c
)
x
(
S
,
)
x
x
(
d
)
x
x
(
c
b
)
x
(
S
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
2
2
Доопределим
a
f x
y
0
0
0
( )
. Требование непрерывности функции S(x)
приводит к условиям
S x
S
x
i
i
i
i
( )
( ),
1
(i=0, 1,…,n-1).
Отсюда из (5.8) получаем следующие уравнения:
3
1
1
2
1
1
1
1
1
6
2
)
x
x
(
d
)
x
x
(
c
)
x
x
(
b
a
a
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(i= 1,2,…,n-1).
Введем шаг интерполирования
1
i
i
i
x
x
h
. Тогда последнее равенство
можно переписать в виде
1
3
2
6
2
i
i
i
i
i
i
i
i
f
f
d
h
c
h
b
h
(i= 1,2,…,n). Из
непрерывности первой производной следует
1
2
2
i
i
i
i
i
i
b
b
d
h
c
h
(i=
2,3,…,n), а из непрерывности второй производной
1
i
c
i
c
i
d
i
h
(i=
2,3,…,n).
54
Объединив все три вида уравнений, получим систему из 3n-2
уравнений относительно 3n неизвестных
b c d
i
i
i
, ,
. Два недостающих
уравнения получим, задав граничные условия для функции S(x). Для этого
воспользуемся граничными условиями для сплайн-функции в виде
0
)
b
(
S
)
a
(
S
(концы гибкой линейки свободны).
Тогда получим систему уравнений
).
n
,...,
,
i
(
,
f
f
d
h
c
h
b
h
)
n
,...,
,
i
(
,
b
b
d
h
c
h
)
n
,...,
,
i
(
,
c
c
,
c
c
d
h
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
i
i
2
1
6
2
3
2
2
2
1
0
1
3
2
1
2
0
1
(5.9)
Решая систему методом подстановки (исключаем из (5.9) неизвестные
b
i
,d
i
), получим систему:
0
6
2
0
1
1
1
1
1
1
1
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
c
c
)
h
y
y
h
y
y
(
c
h
c
)
h
h
(
c
h
(5.10)
(i= 1,2,…,n-1).
Система (5.10) имеет трехдиагональную матрицу. Эта система может
быть решена методом прогонки или Гаусса. После ее решения коэффициенты
сплайна
d b
i
i
,
определим через коэффициенты с
i
с помощью явных формул
i
i
i
i
h
c
c
d
1
,
i
i
i
i
i
i
i
i
h
y
y
d
h
c
h
b
1
2
6
2
(i= 1,2,…,n).
5.3.2 Сходимость процесса интерполирования кубическими сплайнами
Доказывается, что при неограниченном увеличении числа узлов на
одном и том же отрезке
b
,
a
S x
f x
( )
( ) . Оценка погрешности
интерполяции
)
x
(
S
)
x
(
f
)
x
(
R
зависит от выбора сетки и степени
гладкости функции f(x).
При равномерной сетке
x
a i h
i
(i=0,1,…,n)
,
h
M
)
x
(
S
)
x
(
f
h
8
4
4
55
где
|
)
x
(
f
|
max
M
IV
]
b
,
a
[
4
.
Другие постановки задачи интерполирования функций.
1. Если функция периодическая, то используется тригонометрическая
интерполяция
с
периодом
l,
которая
строится
с
помощью
тригонометрического многочлена
n
K
k
k
n
l
kx
sin
b
l
kx
cos
a
a
)
x
(
T
1
0
,
коэффициенты которого находятся из системы
)
x
(
f
)
x
(
T
i
i
n
(i=
1,2,…,2n+1).
2. Выделяют приближение функций рациональными, дробно –
рациональными и другими функциями. В данной книге эти вопросы не
рассматриваются.
5.4 Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
К
такой
задаче
приходят
при
статистической
обработке
экспериментальных данных с помощью регрессионного анализа. Пусть в
результате исследования некоторой величины x значениям
n
x
,...,
x
,
x
,
x
3
2
1
поставлены в соответствие значения
n
y
,...,
y
,
y
,
y
3
2
1
некоторой величины у.
Требуется подобрать вид аппроксимирующей зависимости y=f(x),
связывающей переменные х и у. Здесь могут иметь место следующие случаи.
Во-первых: значения функции f(x) могут быть заданы в достаточно большом
количестве узлов; во-вторых: значения таблично заданной функции
отягощены погрешностями. Тогда проводить приближения функции с
помощью многочлена нецелесообразно, т.к.
- это неудобно делать, поскольку число узлов велико и пришлось бы строить
несколько интерполяционных многочленов;
- построив интерполяционные многочлены, мы повторили бы те же самые
ошибки, которые присущи таблице.
Будем искать приближающую функцию из следующих соображений:
1) приближающая функция не проходит через узлы таблицы и не повторяет
ошибки табличной функции;
2) чтобы сумма квадратов отклонений приближающей функции от таблично
заданной была минимальной.
у отклонения