Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 4493
Скачиваний: 4
56
х
0
х
1
х
n-1
х
n
х
Рисунок 6 – Графическое изображение отклонений
Рассмотрим линейную задачу наименьших квадратов.
Пусть даны функции
)
x
(
),...,
x
(
),
x
(
m
1
0
, назовем их базисными
функциями. Будем искать приближающую (аппроксимирующую) функцию в
виде линейной комбинации
)
x
(
c
...
)
x
(
c
)
x
(
c
)
x
(
Ф
y
m
m
m
1
1
0
0
. (5.11)
Такая аппроксимация называется линейной, а Ф
m
(х) – обобщенный
многочлен. Согласно критерию метода наименьших квадратов вычислим
сумму квадратов отклонений таблично заданной функции от искомого
многочлена в узлах:
n
i
n
i
i
m
m
i
i
i
m
i
m
))
x
(
c
...
)
x
(
c
y
(
))
x
(
Ф
y
(
0
0
2
0
0
2
. (5.12)
Но нам неизвестна степень обобщенного многочлена. Подберем ее так,
чтобы
m
было наименьшим и:
- аппроксимирующая кривая не проходила через узлы таблицы;
- получить приближение с заданной степенью точности.
Выражение
m
можно рассматривать как функцию от неизвестных
m
c
,...,
c
0
. Нас интересует, при каких значениях
m
c
,...,
c
0
, значение
m
будет
минимально.
Для этого воспользуемся условием существования экстремума, а именно,
найдем частные производные от
m
по всем переменным
m
c
,...,
c
0
и
приравняем их к нулю. Получим систему вида:
57
.
)
x
(
))
x
(
c
...
)
x
(
c
y
(
c
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
x
(
))
x
(
c
...
)
x
(
c
y
(
c
n
i
i
m
i
m
m
i
i
m
m
n
i
i
i
m
m
i
i
m
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
(5.13)
Система (5.13) - система линейных уравнений относительно
m
c
,...,
c
0
.
Введем определение, чтобы лучше записать (5.13).
Определение. Скалярным произведением функции f на g на множестве
точек
n
x
,...,
x
0
называется выражение
n
i
i
i
)
x
(
g
)
x
(
f
)
g
,
f
(
0
.
Тогда систему (5.13) можно записать в виде:
.
)
y
,
(
)
,
(
c
...
)
,
(
c
)
,
(
c
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
)
y
,
(
)
,
(
c
...
)
,
(
c
)
,
(
c
)
y
,
(
)
,
(
c
...
)
,
(
c
)
,
(
c
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
(5.13а)
Системы (5.13) и (5.13а) будем называть нормальными системами
уравнений.
Решив эти системы, мы найдем коэффициенты
m
c
,...,
c
0
, и
следовательно, найдем вид аппроксимирующего многочлена. Напомним, что
это возможно, если узлы не равноотстоящие и базисные функции линейно не
зависимы. Осталось определить m.
Алгоритм выбора степени ‘’m’’. В случае, когда m=n мы получим
интерполяционный многочлен, поэтому m<<n. Так же необходимо задать
числа
1
и
2
, учитывая следующее:
1)
1
>0 и
2
>0 должны быть такими, чтобы
m
находилось между ними;
2) первоначально m выбирают произвольно, но учитывая условие, что
m<<n;
3) выбрав m, строят системы (5.13) и (5.13a), решив которые находят
m
c
,...,
c
0
;
4) используя найденные коэффициенты вычисляется
m
и проверяется,
попала ли она в промежуток между
1
и
2
. Если попала, то степень
многочлена выбрана правильно, иначе
58
а) если
m
>
1
, то степень необходимо уменьшить хотя бы на
единицу;
б) если
m
<
2
, то степень необходимо увеличить хотя бы на единицу.
5) затем строить приближающую функцию.
Очень часто для приближения по методу наименьших квадратов
используются алгебраические многочлены степени m n, т.е.
k
k
x
)
x
(
.
Тогда нормальная система (5.13) принимает следующий вид:
m
j
n
i
k
i
i
j
n
o
i
k
j
i
x
y
c
)
x
(
0
0
(k= 0,1,…,m). (5.14)
Запишем систему (5.14) в развернутом виде в двух наиболее простых
случаях m=1 и m=2. В случае многочлена первой степени P
1
(x)=c
0
+c
1
x,
нормальная система имеет вид
.
x
y
c
)
x
(
c
)
x
(
y
c
)
x
(
c
)
n
(
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
0
1
0
2
0
0
0
1
0
0
1
(5.15)
Для многочлена второй степени P
2
(x)=c
0
+c
1
x+c
2
x
2
, нормальная система
имеет вид
.
x
y
c
)
x
(
c
)
x
(
c
)
x
(
x
y
c
)
x
(
c
)
x
(
c
)
x
(
y
c
)
x
(
c
)
x
(
c
)
n
(
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
0
2
2
0
4
1
0
3
0
0
2
0
2
0
3
1
0
2
0
0
0
2
0
2
1
0
0
1
(5.16)
59
6 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений
Будем рассматривать задачу Коши для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений(ОДУ).Запишем систему в векторной форме
)
,
( u
f
u
t
dt
d
,
(6.1)
где: u-искомая вектор-функция; t-независимая переменная;
))
(
),...,
(
(
)
(
1
t
u
t
u
t
m
u
;
)
,...,
(
)
(
1
f
f
t
m
f
, m-порядок системы;
)
(
),...,
(
1
t
u
t
u
m
координаты; t 0;
0
)
0
(
u
u
.
Запишем систему (6.1) в развернутом виде
)
,...,
,
(
1
u
u
t
f
dt
u
d
m
i
i
,
(6.2)
где: i=1,...,m;
0
)
0
(
i
i
u
u
.
В случае i=1 -это будет ОДУ 1-го порядка, а при i=2 - система из двух
уравнений первого порядка.
В случае i=1 решение задачи Коши предполагает нахождение
интегральной
кривой,
проходящей
через
заданную
точку
и
удовлетворяющую заданному начальному условию.
Задача состоит в том, чтобы найти искомую вектор-функцию u,
удовлетворяющую (6.1) и заданным начальным условиям.
Известны условия, гарантирующие существование и единственность
решения (6.1) или (6.2).
Предположим, что функции
i
f (
m
i
,...,
1
) непрерывны по всем
аргументам в некоторой замкнутой области D={t
b
u
u
a
i
i
0
,
}, где a,b-
известные константы.
Из непрерывности функций следует их ограниченность, т.е. функции
i
f сверху ограничены некоторой константой М: |
i
f |<M (где М 0) всюду в
области D и пусть в области D функции
i
f удовлетворяют условию
Липшица по аргументам
m
u
u ,...,
1
. Это значит, что
|)
u
u
|
....
|
u
u
L(|
)|
u
,...,
u
(t,
f
)
u
,....,
u
(t,
f
|
m
m
m
i
m
i
1
1
1
1
для любых двух точек
)
,....,
,
(
1
u
u
t
m
и
)
,...,
,
(
1
u
u
t
m
из области D. Тогда
существует единственное решение задачи (6.1)
)
(
),....,
(
1
1
t
u
u
t
u
u
m
m
,определенное при
M
b
a
T
t
/
,
min
(6.3)
60
и принимающее при t=0 заданное начальное значение.
Существует два класса методов для решения задачи (6.1):
1) семейство одношаговых методов(Рунге-Кутта);
2) семейство многошаговых(m-шаговых) методов.
Сначала рассмотрим одношаговые методы. Для простоты возьмем
одно уравнение
)
,
( u
t
f
dt
du
,
(6.4)
где:
0
)
0
(
u
u
; t>0.
По оси t введем равномерную сетку с шагом
, т.е. рассмотрим
систему точек
.
,....
,
,
t,n
n
t
ω
n
τ
2
1
0
. Обозначим через
)
(t
u
точное
решение (6.4) , а через
)
t
(
y
y
n
n
приближенные значения функций u в
заданной системе точек.
6.1 Семейство одношаговых методов решения задачи Коши
6.1.1 Метод Эйлера (частный случай метода Рунге-Кутта)
Уравнение (6.4) заменяется разностным уравнением
)
,
(
1
n
n
n
n
y
t
f
y
y
, n=0,1,2,…,
0
0
u
y
.
В окончательной форме значения
1
n
y
можно определить по явной формуле
)
y
,
t
f(
τ
y
y
n
n
n
n 1
.
(6.5)
Вследствие
систематического
накопления
ошибок
метод
используется редко или используется только для оценки вида интегральной
кривой.
Определение 1. Метод сходится к точному решению в некоторой
точке t , если
,
0
)
(
n
n
t
u
y
при
,
t
t
n
.
Метод сходится на интервале (0,t], если он сходится в любой точке
этого интервала.