Файл: Вычислит.матем_пособие.pdf

Добавлен: 06.02.2019

Просмотров: 4551

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

56 

           

 

 

 

                        х

0

       х

1

       х

n-1

   х

n

      х 

 

Рисунок 6 – Графическое изображение отклонений 

 

Рассмотрим линейную задачу наименьших квадратов.  

Пусть  даны  функции 

)

x

(

),...,

x

(

),

x

(

m

1

0

,  назовем  их  базисными  

функциями. Будем искать приближающую (аппроксимирующую) функцию в 
виде линейной комбинации  

 

)

x

(

c

...

)

x

(

c

)

x

(

c

)

x

(

Ф

y

m

m

m

1

1

0

0

.                      (5.11) 

 

Такая  аппроксимация  называется  линейной,  а  Ф

m

(х)  –  обобщенный 

многочлен.  Согласно  критерию  метода  наименьших  квадратов  вычислим 
сумму  квадратов  отклонений  таблично  заданной  функции  от  искомого 
многочлена в узлах: 

 

n

i

n

i

i

m

m

i

i

i

m

i

m

))

x

(

c

...

)

x

(

c

y

(

))

x

(

Ф

y

(

0

0

2

0

0

2

.       (5.12) 

 

Но нам неизвестна степень обобщенного многочлена. Подберем ее так, 

чтобы 

m

 было наименьшим и: 

 - аппроксимирующая кривая не проходила через узлы таблицы; 
 - получить приближение с заданной степенью точности. 

Выражение 

m

  можно  рассматривать  как  функцию  от  неизвестных 

m

c

,...,

c

0

. Нас интересует, при  каких значениях 

m

c

,...,

c

0

, значение

m

 будет 

минимально. 
       Для этого воспользуемся условием существования экстремума, а именно, 
найдем  частные  производные  от 

m

  по  всем  переменным 

m

c

,...,

c

0

  и 

приравняем их к нулю. Получим  систему вида: 
 


background image

 

57 

.

)

x

(

))

x

(

c

...

)

x

(

c

y

(

c

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

)

x

(

))

x

(

c

...

)

x

(

c

y

(

c

n

i

i

m

i

m

m

i

i

m

m

n

i

i

i

m

m

i

i

m

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

2

      (5.13) 

Система (5.13) - система линейных уравнений относительно

m

c

,...,

c

0

 Введем определение, чтобы  лучше записать (5.13). 

Определение. Скалярным произведением функции f на g на множестве  

точек 

n

x

,...,

x

0

 называется выражение 

n

i

i

i

)

x

(

g

)

x

(

f

)

g

,

f

(

0

Тогда систему  (5.13) можно записать в виде: 
 

.

)

y

,

(

)

,

(

c

...

)

,

(

c

)

,

(

c

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

)

y

,

(

)

,

(

c

...

)

,

(

c

)

,

(

c

)

y

,

(

)

,

(

c

...

)

,

(

c

)

,

(

c

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

         (5.13а) 

 

Системы  (5.13)  и  (5.13а)  будем  называть  нормальными  системами 

уравнений.  

Решив  эти  системы,  мы  найдем  коэффициенты 

m

c

,...,

c

0

,  и 

следовательно,  найдем вид аппроксимирующего многочлена. Напомним, что 
это возможно, если узлы не равноотстоящие и базисные функции линейно не 
зависимы. Осталось определить m. 

Алгоритм  выбора  степени  ‘’m’’.  В  случае,  когда  m=n  мы  получим 

интерполяционный  многочлен,  поэтому    m<<n.  Так  же  необходимо  задать 
числа 

1 

и 

2

, учитывая следующее: 

1) 

1 

>0 и 

2

>0 должны быть такими, чтобы 

m

 находилось между ними; 

2) первоначально  m  выбирают  произвольно,  но  учитывая  условие,  что  

m<<n; 

3) выбрав  m,  строят  системы  (5.13)  и  (5.13a),  решив  которые  находят   

m

c

,...,

c

0

4) используя  найденные  коэффициенты  вычисляется 

m

  и  проверяется, 

попала  ли  она  в  промежуток  между 

1

  и 

2

.  Если  попала,  то  степень 

многочлена выбрана правильно, иначе   


background image

 

58 

    а)  если 

m

1

,  то  степень  необходимо  уменьшить  хотя  бы    на 

единицу; 
    б) если 

m

<

2

, то степень необходимо увеличить хотя бы на единицу. 

5) затем строить приближающую функцию. 
 
Очень  часто  для  приближения  по  методу  наименьших  квадратов 

используются  алгебраические  многочлены  степени  m n,  т.е. 

k

k

x

)

x

(

Тогда нормальная система (5.13) принимает следующий вид: 

 

m

j

n

i

k

i

i

j

n

o

i

k

j

i

x

y

c

)

x

(

0

0

(k= 0,1,…,m).                              (5.14) 

 
Запишем  систему  (5.14)  в  развернутом  виде  в  двух  наиболее  простых 

случаях  m=1  и  m=2.  В  случае  многочлена  первой  степени  P

1

(x)=c

0

+c

1

x

нормальная система имеет вид 

.

x

y

c

)

x

(

c

)

x

(

y

c

)

x

(

c

)

n

(

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

0

1

0

2

0

0

0

1

0

0

1

                             (5.15) 

 
Для многочлена второй степени P

2

(x)=c

0

+c

1

x+c

2

x

2

, нормальная система 

имеет вид 

.

x

y

c

)

x

(

c

)

x

(

c

)

x

(

x

y

c

)

x

(

c

)

x

(

c

)

x

(

y

c

)

x

(

c

)

x

(

c

)

n

(

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

0

2

2

0

4

1

0

3

0

0

2

0

2

0

3

1

0

2

0

0

0

2

0

2

1

0

0

1

              (5.16) 


background image

 

59 

6  Численные  методы  решения  задачи  Коши  для  обыкновенных 

дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений 
 

Будем  рассматривать  задачу  Коши  для  системы  обыкновенных 

дифференциальных уравнений(ОДУ).Запишем систему в векторной форме  

 

)

,

u

f

u

t

dt

d

(6.1) 

                                                                                  

где:   u-искомая вектор-функция; t-независимая переменная; 

))

(

),...,

(

(

)

(

1

t

u

t

u

t

m

u

;  

)

,...,

(

)

(

1

f

f

t

m

f

m-порядок   системы; 

)

(

),...,

(

1

t

u

t

u

m

 координаты;  t 0; 

0

)

0

(

u

u

Запишем систему (6.1) в развернутом виде 
 

)

,...,

,

(

1

u

u

t

f

dt

u

d

m

i

i

(6.2) 

 

где:  i=1,...,m;  

0

)

0

(

i

i

u

u

.         

В случае  i=1 -это будет ОДУ 1-го порядка, а при i=2 - система из двух 

уравнений первого порядка. 

В  случае    i=1  решение  задачи  Коши  предполагает  нахождение 

интегральной 

кривой, 

проходящей 

через 

заданную 

точку 

и 

удовлетворяющую заданному начальному условию. 

Задача  состоит  в  том,  чтобы  найти  искомую  вектор-функцию  u

удовлетворяющую (6.1) и заданным начальным условиям. 

Известны  условия,  гарантирующие  существование  и  единственность 

решения (6.1) или (6.2). 

Предположим,  что  функции 

i

  (

m

i

,...,

1

)  непрерывны  по  всем           

аргументам  в  некоторой  замкнутой  области  D={t

b

u

u

a

i

i

0

,

},  где  a,b-

известные константы. 

 Из непрерывности функций следует их ограниченность, т.е. функции 

i

 сверху ограничены некоторой константой М: |

i

 |<M (где М 0) всюду в 

области  D  и  пусть  в  области  D    функции   

i

    удовлетворяют  условию 

Липшица по аргументам 

m

u

,...,

1

. Это значит, что 

                  

|)

u

u

|

....

|

u

u

L(|

)|

u

,...,

u

(t,

f

)

u

,....,

u

(t,

f

|

m

m

m

i

m

i

1

1

1

1

  

 

для любых двух точек 

)

,....,

,

(

1

u

u

t

m

    и   

)

,...,

,

(

1

u

u

t

m

    из  области  D.  Тогда 

существует единственное решение задачи (6.1) 

 

)

(

),....,

(

1

1

t

u

u

t

u

u

m

m

 ,определенное при   

M

b

a

T

t

/

,

min

   (6.3) 


background image

 

60 

 

и принимающее при t=0 заданное начальное значение. 

Существует два класса методов для решения задачи (6.1): 
1) семейство одношаговых методов(Рунге-Кутта); 
2) семейство многошаговых(m-шаговых) методов. 
 
Сначала  рассмотрим  одношаговые  методы.  Для  простоты  возьмем 

одно уравнение 

                                                                        

)

,

u

t

f

dt

du

(6.4) 

 

где: 

0

)

0

(

u

u

t>0. 

По оси t  введем равномерную сетку с шагом   

  ,  т.е.  рассмотрим 

систему  точек 

.

,....

,

,

t,n

n

t

ω

n

τ

2

1

0

.  Обозначим  через 

)

(t

u

  точное 

решение (6.4) , а через  

)

t

(

y

y

n

n

        приближенные  значения  функций    u  в 

заданной системе точек. 

 
6.1 Семейство одношаговых методов решения задачи Коши  
 
6.1.1 Метод  Эйлера (частный случай метода Рунге-Кутта) 
 
Уравнение (6.4) заменяется разностным уравнением 
                                           

)

,

(

1

n

n

n

n

y

t

f

y

y

n=0,1,2,…, 

0

0

u

y

 

 

В окончательной форме значения 

1

n

y

 можно определить по явной формуле 

                                   

)

y

,

t

f(

τ

y

y

n

n

n

1

(6.5) 

                                                                                                                        

 

  Вследствие 

систематического 

накопления 

ошибок 

метод 

используется  редко  или используется  только для оценки  вида  интегральной 
кривой. 

     
Определение  1.  Метод  сходится  к  точному  решению  в  некоторой 

точке t , если  

,

0

)

(

n

n

t

u

y

 при  

t

t

n

. 

Метод сходится  на  интервале  (0,t], если он сходится в любой точке 

этого интервала.