Файл: Вычислит.матем_пособие.pdf

Добавлен: 06.02.2019

Просмотров: 4489

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

31 

продолжая подстановку, находим х

(2)

 и т.д. Получим последовательность 

точек 

}

х

,...,

х

,

х

{

)

к

(

)

(

)

(

1

1

0

, которая приближается к исходному решению 

х

 
3.1.1 Условия сходимости метода. 
 
Пусть   '(x) - матрица Якоби (якобиан), соответствующая системе (3.4) 

и  в  некоторой 

-окрестности  решения  х  функции 

)

х

(

i

(i=1,2,…,m) 

дифференцируемы и выполнено неравенство вида: 

 

q

х )

(

где (0   q < 1), q - постоянная. 

 

Тогда независимо от выбора х

(0)

 из  -окрестности корня итерационная 

последовательность  {х

k

}  не  выходит  за  пределы данной окрестности,  метод 

сходится  со  скоростью  геометрической  прогрессии  и  справедлива  оценка 
погрешности 

x

x

n

q

х

n

х

)

0

(

)

(

 
3.1.2 Оценка погрешности. 

 

В  данной  окрестности  решения  системы,  производные  функции 

i

(x) 

(i=1,…,m)  должны  быть  очень  малы  по  абсолютной  величине,  т.е.  сами 
функции  должны  быть  почти  постоянными.  Тогда  исходную  систему  (3.1) 
следует преобразовать к виду (3.3) с учетом условий сходимости. 

Пример.  Рассмотрим  предыдущий  пример  и  приведем  систему  к 

удобному для итераций виду 

.

x

ln

x

x

ln

x

x

x

,

x

x

x

x

1

1

2

2

2

2

3

3

2

2

1

1

8

 

 

Проверяем условие сходимости вблизи точки С. Вычислим матрицу 

Якоби 

 

2

2

2

1

1

2

3

2

3

2

2

1

2

2

1

3

2

3

2

1

2

2

1

1

1

1

1

1

8

3

3

8

8

3

8

x

ln

x

ln

x

ln

x

ln

)

x

x

x

(

x

x

)

x

x

(

x

)

x

,

x

(


background image

 

32 

 

Так как x

1

3.8,  x

2

2, то при этих значениях вычисляем норму матрицы 

)

x

(

 

 

||

)

x

(

|| ||

)

,

.

(

2

8

3

||  0.815. 

 
Запишем итерационную процедуру 
 

.

)

k

(

x

ln

)

k

(

x

)

k

(

x

ln

)

k

(

x

)

k

(

x

)

k

(

x

,

)

)

k

(

x

(

)

k

(

x

)

k

(

x

)

k

(

x

1

1

2

2

2

1

2

3

3

2

2

1

8

1

1

 

Следовательно, метод простых итераций будет сходиться со скоростью 

геометрической  прогрессии,  знаменатель  которой  q 0.815.  Вычисления 
поместим в таблице 1. 
 
Таблица 1 Решение системы нелинейных уравнений 

К 

… 

)

k

(

x

1

 

3.80000 

3,75155 

…. 

3,77440 

x

1

=3,77418 

)

k

(

x

2

 

2.00000 

2,03895 

… 

2,07732 

x

2

=2,07712 

 
При К=9 критерий окончания счета выполняется при  =10

-3

 и можно 

положить    x

1

 =3.774 0.001 

          x

=2.077  0.001

 

3.2 Метод Ньютона 

 
Суть  метода  состоит  в  том,  что  система  нелинейных  уравнений 

сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. Пусть дана 
система (3.1) и задано начальное приближение x

(0)

, приближение к решению 

х строим в виде последовательности

)

(

,...,

)

(

,

)

(

n

х

х

х

1

0

В  исходной  системе  (3.1)  каждую  функцию 

),

x

,...,

x

,

x

(

f

n

i

2

1

где  i=

m

,

1

раскладывают  в  ряд  Тейлора  в  точке  х

(n)

  и  заменяют  линейной  частью  её 

разложения 

 

 
Для каждого уравнения получаем 

m

j

)

n

(

j

j

j

)

n

(

i

)

n

(

i

i

)

x

x

(

x

)

x

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

 

1

 
 


background image

 

33 

 

 
В матричной форме 
 

где f ' - матрица Якоби. 
 

Предположим, что матрица не вырождена, то есть существует обратная 

матрица 

1

)

(

)

n

x

f

Тогда  система  (3.6)  имеет  единственное  решение,  которое  и 

принимается  за  очередное  приближение  x

(n+1)

.  Отсюда  выражаем  решение 

x

(n+1)

 по итерационной формуле: 

 

Формула  (3.7)  и  есть  итерационная  формула  метода  Ньютона  для 

приближенного решения системы нелинейных уравнений. 

Замечание.  В  таком  виде  уравнение  (3.7)  используется  редко  в  виду 

того,  что  на  каждой  итерации  нужно  находить  обратную  матрицу.  Поэтому 
поступают  следующим  образом:  вместо  системы  (3.6)  решают  систему 
линейных алгебраических уравнений вида 

 

 

Это  система  линейных  алгебраических  уравнений  относительно 

поправки  x

(n+1)

= x

(n+1)

- x

(n)

. Затем полагают  

 

 

3.2.1 Сходимость метода 

 

Теорема.  Пусть  в  некоторой  окрестности  решения  х  системы  (3.1) 

функции  f

i

  (при  i=

m

,

1

)  дважды  непрерывно  дифференцируемы  и  матрица 

Якоби  не  вырождена.  Тогда  найдется  такая  малая      окрестность  вокруг 
решения х, что при выборе начального приближения x

0

 из этой окрестности 

0

0

1

1

1

1

m

j

)

n

(

j

j

j

)

n

(

m

)

n

(

m

m

j

)

n

(

j

j

j

)

n

(

)

n

(

)

x

x

(

x

)

x

(

f

)

x

(

f

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

)

x

x

(

x

)

x

(

f

)

x

(

f

 
 
 

(3.5) 

0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n

n

n

x

x

x

f

x

f

 

(3.6) 

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

n

n

n

n

x

f

x

f

x

x

1

1

(3.7) 

f (x

(n)

)* x

(n+1)

 =-f(x

(n)

)

(3.8) 

x

(n+1)

 =x

(n)

 + x

(n+1)

(3.9) 


background image

 

34 

итерационный  метод  (3.7)  не  выйдет  за  пределы  этой  окрестности 
решения и справедлива оценка вида 

2

1

1

x

x

x

x

n

n

)

(

)

(

  

где n  - номер итерации. 

Метод  Ньютона  сходится  с  квадратичной  скоростью.  На  практике 

используется следующий критерий остановки: 

 

)

(

)

(

1

n

n

x

x


background image

 

35 

4 Решение проблемы собственных значений 

 
 
Пусть дана квадратная матрица A размерностью (m*m) и существует 

такое число  , что выполняется равенство 

 

0

x

   

,

x

x

А

 

тогда  такое  число    называется  собственным  значением  матрицы  А,  а  x– 
соответствующим ему собственным вектором.  

Перепишем это равенство в эквивалентной форме 
 

 
Система  (4.1)  -  однородная  система  линейных  алгебраических 

уравнений.  Для  существования  нетривиального  решения  системы  (4.1) 
должно выполняться условие 

 

 

Определитель  в  левой  части  уравнения  является  многочленом  m-ой 

степени относительно  , его называют - характеристическим определителем 
(характеристическим многочленом). Следовательно, уравнение (4.2) имеет m 
корней  или  m  собственных  значений.  Среди  них  могут  быть  как 
действительные, так и комплексные корни. 

Задача  вычисления  собственных  значений  сводится  к  нахождению 

корней  характеристического  многочлена  (4.2).  Корни  могут  быть  найдены 
одним из итерационных методов (в частности методом Ньютона). 

Если  найдено  некоторое  собственное  значение  матрицы  A,  то 

подставив  это  число  в  систему  (4.1)  и  решив  эту  систему  однородных 
уравнений,  находим  собственный  вектор  х,  соответствующий  данному 
собственному значению. 

Собственные  вектора  будем  при  нахождении  нормировать  (вектор  х 

умножаем  на  ||х||

-1

,  и  таким  образом  они  будут  иметь  единичную  длину), 

нахождение  собственных  значений  матрицы  A  и  соответствующих  им 
собственных  векторов  и  есть  полное  решение  проблемы  собственных 
значений. 

А 

нахождение 

отдельных 

собственных 

значений 

и 

соответствующих  им  векторов  -  называется  решением  частной  проблемы 
собственных значений. 

Эта проблема имеет самостоятельное значение на практике. 
Например,  в  электрических  и  механических  системах  собственные 

значения отвечают собственным частотам колебаний, а собственные вектора 
характеризуют соответствующие формы колебаний. 

(A -  E) *

x

= 0 . 

(4.1) 

det(A -  E) = 0  . 

(4.2)